Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

• Название: Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0717-5

На пути своего развития математика периодически переживает переломные моменты, и эти кризисы всякий раз вынуждают мыслителей открывать все новые и новые горизонты. Стремление ко все большей степени абстракции и повышению строгости математических рассуждений неминуемо привело к размышлениям об основах самой математики и логических законах, на которые она опирается. Однако именно в логике, как известно еще со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы — неразрешимые на первый (и даже на второй) взгляд утверждения, которые, с одной стороны, грозят разрушить многие стройные теории, а с другой — дают толчок их новому осмыслению.

Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя, Алана Тьюринга ассоциируются именно с рождением совершенно новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изученные явления. Так давайте же повторим удивительный путь, которым прошли эти ученые, выстраивая новый фундамент математики.

---

* * *

Включение в перечень возможных значений истинности значения «возможно» стало настоящим прорывом за пределы черно-белого мира классической логики.

Однако этого прорыва оказалось недостаточно: значение «возможно» само по себе никак не помогает нам принимать решения. Допустим, что журналист решил подать в отставку после смены редакционной политики издания. Обозначим через Р высказывание «я не согласен с новой политикой редакции». Следовательно, классическое решение будет выглядеть так: «Если Р истинно, я ухожу» и «Если Р ложно, я остаюсь». Так как любое решение всегда сопровождается множеством тонкостей, журналист с радостью согласился бы иметь возможность выбора из трех вариантов.

Но как в этом случае следует понимать значение «возможно»? Если Р возможно, то нужно уходить в отставку или оставаться? Что отделяет одно решение от другого? Если мы хотим, чтобы наша логика позволяла принимать подобные решения, необходим более высокий уровень точности.

И здесь на сцену выходит профессор Калифорнийского университета в Беркли Лотфи Заде, который в 1965 году предположил, что значение принадлежности элемента множеству или значение истинности высказывания может описываться любым числом, лежащим на интервале от 0 до 1. Таким образом, игроки в Scattergories могут установить, что правильными ответами будут, например, только те, что принадлежат рассматриваемому семантическому полю более чем на 0,6, а журналист может решить уйти в отставку, если степень его несогласия с новой редакционной политикой будет превышать, допустим, 0,45. Заде обозначил новые множества английским словом fuzzy, которое можно перевести как «нечеткое, не имеющее четко обозначенных пределов». Следовательно, на вопрос о принадлежности элемента нечеткому множеству существует бесконечно много ответов.

Создатель нечеткой логики Лотфи Заде

(источник: Вольфганг Хюнше).

Читатель, возможно, поддастся искушению интерпретировать нечеткие множества в терминах теории вероятностей. Возможно, в этом случае объяснение станет более понятным, но говорить, что степень принадлежности элемента к множеству является вероятностью того, что он принадлежит к этому множеству, некорректно — это идет вразрез с духом нечеткой логики, предложенной Заде. Посмотрим, что происходит, когда мы бросаем в воздух монету. Мыс детства знаем, что вероятность выпадания решки равна 50 %, и это означает, что если мы подбросим монету много раз, например 10 тысяч, то примерно в половине случаев выпадет орел, в половине — решка. Но результат каждого броска будет единственным: орел или решка. Вероятность, по меньшей мере в упрощенной трактовке, отражает ограниченность наших знаний о ситуации: если бы нам с абсолютной точностью была известна сила, с которой мы подбросили монету, если бы мы могли уподобиться богу Эолу и повелевать ветрами, то смогли бы с точностью предсказать результат броска монеты. Это означает, что глубинный принцип, лежащий в основе теории вероятностей в ее простейшем понимании, совпадает с принципом классической логики, в то время как в мире нечетких множеств при броске монеты может выпасть решка, скорее решка, чем орел, скорее орел, чем решка, орел или любое из промежуточных значений, выраженных с бесконечной точностью.

В отличие от классических множеств, граница которых подобна отвесному утесу, множества, изучаемые в нечеткой логике, определяются функцией принадлежности, которая воспроизводит форму пологого склона. Рассмотрим в качестве примера множество высоких людей. Если считать, что люди ниже 1,60 м низкие, выше 1,90 м — высокие, то функция принадлежности этого множества примет следующий вид:

Функция принадлежности нечеткого множества высоких людей. График функции имеет форму склона.

Выполнив некоторые вычисления, можно доказать, что степень принадлежности тех, чей рост менее 1,60 м, к множеству высоких людей равна 0. Если рост человека больше или равен 1,90 м, он будет абсолютно точно считаться высоким, а если его рост находится на интервале между этими двумя значениями, то для определения степени принадлежности к множеству нужно умножить его рост в метрах на 10, вычесть 16, а затем разделить полученное число на 3. Если известно, что степень высоты человека равна 0,3, как, например, для автора этой книги, то этого достаточно, чтобы определить его рост.

В других случаях график функции принадлежности может иметь форму треугольника или трапеции. Если считать, например, что «слишком холодно» — это любая температура ниже +10 °C, «слишком жарко» — температура выше +30 °C, а идеальная температура находится на интервале между +18 и +22 *С, то график функции принадлежности ко множеству благоприятных температур будет напоминать изображенный на рисунке ниже. Если мы сравним этот график с климатограммами для разных городов, то сможем выбрать тот, где будет комфортнее всего жить, или, по крайней мере, исключим совсем уж неподходящие варианты.

Функция принадлежности нечеткого множества благоприятных температур. График функции имеет форму трапеции.

Нечеткие множества, имитирующие шкалу оттенков серого, описывающую реальность, помогают разрешить некоторые парадоксы, поскольку благодаря им мы можем рассматривать понятия в самом широком смысле. Представим, что в кафе нам подали очень горький кофе. Скорее всего, прежде чем выпить кофе, вы добавите в него немного сахара. Нет сомнений, что если мы добавим в чашку единственную крупинку сахара, вкус совершенно не изменится. Следовательно, действие «добавить крупинку сахара» не влияет на горечь кофе. Добавим еще одну крупинку сахара, затем еще и еще одну — всего десять ложек сахара. Если наше исходное предположение верно и ни на одном шаге вкус не изменился, значит кофе, в который добавлено десять ложек сахара, по вкусу ничем не будет отличаться от горького кофе, который нам подали в начале, — этот результат выглядит, по меньшей мере, подозрительно. Нетрудно понять, что ситуация не описывается классическими множествами, о которых мы говорили в предыдущей главе. Горький кофе, который невозможно пить, и слишком сладкий, приторный кофе разделяет не бездна, а пологий склон. Хотя мы не способны ощутить изменение вкуса кофе при добавлении в него всего одной крупинки сахара, степень принадлежности ко множеству «кофе, приятного на вкус» возрастет, сколь бы малым ни было изменение вкуса. Если мы добавим в кофе еще одну крупинку, степень принадлежности к этому множеству возрастет еще больше, и, наконец, когда мы добавим в кофе в общей сложности десять ложек сахара, его вкус станет невыносимо приторным.

При обобщении любого математического понятия (это и попытался совершить Заде, введя нечеткую логику) нужно обязательно убедиться в том, что новая теория корректна для всех исходных объектов. Классические множества являются частными случаями нечетких множеств: для них функция принадлежности из всего бесконечного множества значений принимает только два значения: 0 и 1. Тем не менее отношение включения множества в другое, а также операции объединения и пересечения, которые, как вы увидели в главе 3, являются основными в теории множеств, обобщить не так просто. На эти и другие вопросы Заде дал ответ в своей статье, опубликованной в 1965 году.

Обозначим как А и В два нечетких множества, соответствующие функции принадлежности к которым мы будем обозначать fA и fB. Это означает, что для данного элемента х число fA (х), указывающее степень принадлежности х к множеству А, заключено в интервале от 0 до 1, и это же верно для fB(х). Использовав эту нотацию, Заде установил, что А включено в В тогда, когда для любого элемента х число fA (х) меньше или равно fB(х).

Рассмотрим пример. Вместо того чтобы считать людей ниже 1,60 м низкими, выше 1,90 м — высокими, мы понизим границу множества и будем считать низкими людей ниже 1,50 м, далее степень принадлежности ко множеству будет постепенно возрастать, как и ранее, до значения 1,90 м. Таким образом мы получим еще одно нечеткое множество высоких людей. Степень принадлежности автора к этому множеству будет равна уже не 0,5, а 0,625. Согласно Заде, первое множество содержится во втором, и это соответствует интуитивному представлению о том, что высокие люди остаются таковыми, даже если снизить нижнюю границу множества.

Описав нечеткую логику, Лотфи Заде, изучавший электротехнику, предположил, что новую логику можно применить при обработке информации и распознавании образов — в двух областях, где нечеткость играет определяющую роль. История показала, что Заде недооценил свою идею, и наиболее широко созданная им логика применяется именно в той стране, жители которой едят чайные трюфели «со сливками, без сливок или как-то еще». В конце 90-х годов в японских магазинах начали продаваться копировальные аппараты и стиральные машины с нечеткой логикой, а в небоскребах Токио стали устанавливать лифты, нечеткая логика которых позволяла сводить время ожидания к минимуму. Как говорилось в рекламном ролике одной из этих стиральных машин, наступила нечеткая эра.