Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

— фильтр нижних частот, подавляющий высокие частоты;

— фильтр верхних частот, подавляющий низкие частоты;

— полосовой фильтр, пропускающий частоты из определенного интервала;

— полосно-заграждающий фильтр, не пропускающий частоты в определенном интервале.

Цифровое аудио

Все звуки, которые мы слышим в повседневной жизни, попадают в наши уши в виде волн, распространяющихся в воздухе, воде и других звукопроводящих средах. С момента изобретения фонографа Томасом Эдисоном в 1877 году были созданы различные аналоговые средства хранения и воспроизведения звука.

В аналоговых системах звук должен быть преобразован в последовательность электрических сигналов с помощью преобразователя, например микрофона. Эти сигналы, которые в конечном итоге будут фиксироваться и впоследствии воспроизводиться, могут быть преобразованы в звуковые волны с помощью другого преобразователя, например репродуктора.

* * *

«У МЭРИ БЫЛ БАРАШЕК» ИЛИ «В СВЕТЕ ЛУНЫ»?

До 2008 года первой в истории записью человеческого голоса считалась сделанная самим Томасом Эдисоном, который 21 ноября 1877 года прочитал стихотворение Mary had a little lamb («У Мэри был барашек») для проверки изобретенного им фонографа. Спустя несколько дней он впервые продемонстрировал свое изобретение на публике. Через год он запатентовал его и представил Французской академии наук. Члены Академии были настолько поражены увиденным, что сначала посчитали фонограф подделкой и заподозрили, что в зале сидит чревовещатель. Звуковые колебания записывались на оловянной фольге, обернутой поверх цилиндрического валика, который вращался вокруг своей оси. Позднее вместо олова стал использоваться воск. Звук записывался на фольге в виде спиралевидных дорожек, которые затем считывались и снова преобразовывались в звук.

Изначально фонограф использовался в качестве диктофона на предприятиях и в правительственных учреждениях. Сам Эдисон никогда не думал, что его изобретение будет широко использоваться для записи и воспроизведения музыки, и сначала даже запретил применять фонограф подобным образом. Однако музыкальный цилиндр распространился по всему миру, и в 1890-е годы ему на смену пришли плоские диски.

За 20 лет до первой записи Эдисона француз Эдуар Леон Скоп изобрел фоноавтограф, который мог записывать звуковые колебания, но не воспроизводил их. Записи фоноавтографа хранились в Библиотеке Конгресса США. В 2008 году группе исследователей удалось воспроизвести эти записи, датируемые 1860 годом. Они услышали известную французскую песню Au claire de la Lune («В свете луны») — первую в истории запись звука.

* * *

Аналогово-цифровое преобразование

Аналогово-цифровое преобразование выполняется посредством импульсно- кодовой модуляции сигналов (англ. РСМ — Pulse-Code Modulation) аналогово-цифровым преобразователем (англ. ADC — Analog-to-Digital Converter). Аналоговый звуковой сигнал легко представить в виде кривой, которую можно описать численно.

Аналогово-цифровое преобразование заключается в дискретизации этой кривой: сигнал замеряется с заданной частотой и разбивается на множество одинаковых интервалов. Чем больше число интервалов, тем ближе к исходному будет записанный и воспроизводимый сигнал и тем выше качество записанного звука. Это же происходит и в кино: чем больше кадров демонстрируется в секунду, тем плавнее выглядят движения на экране. Можно привести и другой пример: чем больше точек, лежащих на кривой, нам известно, тем точнее мы сможем восстановить исходную кривую.

Чем больше число измерений (вертикальных линий) звука, тем ближе к исходной кривой будет ее представление в виде прямоугольников сетки.

По теореме Найквиста — Шеннона (в русскоязычной литературе теорема Котельникова) при определенных условиях аналоговый сигнал с максимальной частотой М может быть восстановлен однозначно и без потерь, если количество измерений в секунду превышает 2М. Так как максимальная частота, которую необходимо зафиксировать, равняется 20000 Гц (это порог слышимости звука человеком), частота дискретизации при записи музыки на CD равна 44100 раз в секунду — эта величина несколько больше удвоенной максимальной частоты звука.

Существует и другой фактор, влияющий на точность преобразования, — глубина кодирования звука. Графически измерения при дискретизации можно представить в виде линий определенной высоты, длину которых нужно измерить. Это измерение может выполняться с различной точностью: чем больше бит используется для записи измеренной величины, тем выше будет точность измерения.

Чем подробнее измерения (иными словами, чем выше плотность горизонтальных линий), тем ближе к исходной кривой будет ее представление в виде прямоугольников сетки.

Возврат к аналоговому сигналу

Цифро-аналоговый преобразователь (англ. DAC — Digital-to-Analog Converter) отвечает за преобразование цифрового аудио в аналоговый сигнал. Происходит преобразование, обратное аналогово-цифровому: нам известно определенное число точек на кривой, и мы хотим восстановить ее с помощью интерполяции — математического метода, позволяющего определить промежуточные значения между уже известными. Первой моделью интерполяции стала экстраполяция нулевого порядка, которая заключается в том, что значение во всех точках интервала считается одинаковым. Другим методом является экстраполяция первого порядка, при котором кривая аппроксимируется ломаной линией, соединяющей известные значения.

Слева — интерполяция нулевого порядка. При восстановлении значений на интервале предполагается, что они неизменны и принимаются равными левой границе интервала. Участок кривой аппроксимируется горизонтальной линией.

Справа — интерполяция первого порядка. Значения на интервале аппроксимируются прямой, соединяющей границы интервала.

* * *

БЕТХОВЕН, БАЙРОЙТ, НАЦИЗМ И РОЖДЕНИЕ CD

В 1980-е годы технология производства компакт-дисков была достаточно совершенной для выхода на массовый рынок. Лидерами аудиорынка и рынка электроники в то время были две компании: голландская Philips и японская Sony. Sony представила прототип компакт-диска диаметром 120 мм, на который можно было записать 74 минуты звучания. В свою очередь Philips разработала прототип диаметром 115 мм, на которой можно было записать 60 минут звука. Предпочтение было отдано прототипу Sony. Так был определен стандарт, который использовался повсеместно в течение следующих 30 лет.

Привлекает внимание нестандартная емкость CD, вмещающего запись длиной не более 74 минут. Почему было выбрано именно это число? В свое время Sony указывала среди преимуществ своего прототипа возможность записи на одном диске величайших шедевров мировой музыки, в частности Девятой симфонии Бетховена. Этот стандарт предложил президент компании Sony Норио Оrа, который до этого был дирижером. Меломаны сходятся во мнении, что образцовой записью этого великого произведения является запись оркестра под управлением Вильгельма Фуртвенглера, сделанная в 1951 году на первом после окончания Второй мировой войны Байройтском фестивале.

На этом фестивале, ежегодно проходившем в немецком городе Байройт, с 1876 года исполнялись оперы Рихарда Вагнера. Так как его наследники симпатизировали нацистам, перед войной фестиваль стал символом агрессивного и воинственного пангерманизма. Повторное открытие фестиваля, которое ждали во всей Германии, считалось поворотным моментом в истории нации, остро чувствовавшей свою вину. Эмоциональная Девятая симфония, оканчивающаяся бессмертной «Одой к радости», ознаменовала присоединение Германии к цивилизованным странам. Трагическая страница в истории страны была перевернута. В этот исторический момент оркестр под управлением Фуртвенглера продемонстрировал высочайший уровень исполнительского мастерства, и потрясенная публика несколько секунд пребывала в молчании, прежде чем разразиться овациями, которые не утихали в течение часа. Разумеется, аплодисменты не вошли в запись концерта, и Девятая симфония Бетховена в исполнении оркестра под управлением Фуртвенглера в Байройте сохранилась для потомков в записи продолжительностью ровно 74 минуты.

Памятная марка, выпущенная по случаю смерти Вильгельма Фуртвенглера в 1954 году.

* * *

Сжатие звука

«Сырой» звук

Звуковая волна графически изображается на временной оси. Чтобы изобразить этот график на бумаге, нам потребуется лист, длина которого будет прямо пропорциональна длительности звука: