Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

Интенсивность звука пропорциональна амплитуде звуковой волны.

Единица измерения громкости звука — бел, хотя на практике используется децибел (дБ), равный одной десятой части бела. При определении этой величины учитывалось, что интенсивность ощущения звука человеком пропорциональна не интенсивности звука, а его логарифму. Иными словами, при относительно высокой интенсивности звука неприятные ощущения нарастают со все большей скоростью. Шкала интенсивности звука начинается с 0 дБ (порога слышимости) и заканчивается 120 или 140 дБ — болевым порогом. В следующей таблице приведены некоторые примеры физических явлений и соответствующей им интенсивности звука:

* * *

ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЛНЫ

Чтобы лучше понять природу звука, интересно рассмотреть различные виды волн. Существуют одномерные волны, которые распространяются вдоль прямой линии. Другие распространяются на поверхности и являются двумерными. К таким волнам относятся колебания, возникающие при падении камня на поверхность воды. Фронт этих волн представляет собой концентрические окружности, в центре которых расположен источник звука. Звуковые волны относятся к третьему виду — трехмерным волнам. Фронтом звуковой волны является сферическая поверхность. Хотя звуковые волны описываются синусоидальными кривыми, звук распространяется в трехмерном пространстве. Интенсивность звука — это энергия потока, проходящего через поверхность единичной площади. Так как речь идет о ряде концентрических сфер, интенсивность рассчитывается по следующей формуле:

I = P/S

где I — интенсивность, Р — энергия, S — площадь поверхности. Так как S = 4π2, то интенсивность звука обратно пропорциональна квадрату расстояния до его источника.

* * *

Наконец, тембр определяет «индивидуальность» звука. Так, мы узнаем именно тембр голоса определенного человека. Тембр также позволяет различать звуки одинаковой интенсивности и высоты, извлекаемые из разных инструментов. Какова же физическая природа тембра? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо подробнее изучить природу звука.

Чистые и настоящие тона

График синусоидальной функции соответствует чистым звуковым колебаниям, которые не так часто встречаются в реальном мире. Примерами чистых звуков являются звуки камертона, свист, а также звук трения мокрого пальца о стекло.

Однако звук гитарной струны, колокола или флейты образуется основными колебаниями вкупе со множеством волн меньшей интенсивности и большей частоты. Эти волны называются обертонами. Любой звук, который не является чистым, состоит из множества одновременно звучащих звуков. В основе анализа отдельных обертонов каждого звука лежат открытия, совершенные французским математиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768–1830), который доказал, что любую периодическую несинусоидальную волну можно разложить в ряд синусоидальных волн.

Звуковую волну можно представить как совокупность волн ее отдельных обертонов и волны основного звука. Этот кажущийся хаос в действительности представляет собой строго упорядоченную систему. В зависимости от структуры материала источника звука, окружающей среды, резонаторов и других факторов формируются обертоны основного тона, частоты которых непосредственно связаны с частотой основного звука. При анализе и оценке обертоны упорядочиваются и нумеруются в порядке возрастания частоты. В целом можно говорить, что с ростом частоты звука увеличивается его интенсивность. Однако интенсивность обертонов определяется множеством факторов, среди которых форма источника звука, форма полостей в нем, материал, из которого он изготовлен, и многие другие параметры. Сочетание этих параметров определяет, какие обертоны будут иметь большую интенсивность, какие — меньшую. Таким образом, многообразие возможных значений параметров порождает различные тембры, наделяющие звук особым звучанием.

Звук, издаваемый инструментом, обладает следующими четырьмя характеристиками, связанными с распространением звуковых волн:

— атака — время от начала игры на инструменте до момента, когда звук достигает наибольшей высоты;

— спад — временной интервал от точки наибольшей высоты до момента стабилизации звука;

— задержка — время, в течение которого извлечение звука продолжается, а его высота остается неизменной;

— затухание — время, в течение которого высота звука падает после того, как было прекращено извлечение звука.

График, соответствующий извлечению звука постоянной частоты.

Суперпозиция волн

При построении графика звуковой волны образуется кривая, которая получается наложением друг на друга отдельных волн, соответствующих основному звуку и его обертонам. Рассмотрим простой пример наложения волн для двух звуков одинаковой частоты, но разной высоты. Если фазы звуковых колебаний совпадают, амплитуда звуковых колебаний увеличивается:

Напротив, если колебания находятся в противофазе, то амплитуда звуковых колебаний уменьшается:

Каким образом эта особенность проявляется на практике? Не углубляясь в подробности, скажем, что этот эффект можно наблюдать в концертных залах: многочисленный хор звучит заметно громче, чем ансамбль из четырех или восьми исполнителей, а струнный оркестр — громче, чем струнный квартет.

В более сложных случаях, например, когда звук издается музыкальным инструментом, звуковая волна будет несинусоидальной, так как она будет состоять из множества отдельных волн. Благодаря преобразованию Фурье при анализе периодических волн можно определить частоту каждой составляющей.

Функция обертонов

Обертоны, выражающиеся степенями двойки (2, 4, 8, …), соответствуют октавам основного звука и усиливают его интенсивность. Обертоны, выражающиеся числами, кратными 3 (3, 6, 12, …), соотносятся с цепочкой квинт. Присутствие таких обертонов приводит к появлению назализованного тембра. Обертоны, выражающиеся числами ряда 5, 10, 20, …, соответствуют терциям основного звука и придают звуку теплоту. Наконец, обертоны, соответствующие диссонирующим интервалам, добавляют звуку шероховатость.

Синтез звука

Первые попытки сконструировать электрический орган были предприняты свыше 100 лет назад. Пионерами в этом направлении были американец Таддеус Кэхилл (1867–1934), который в 1900 году придумал телармониум; русский ученый Лев Термен (1896–1993), который в 1924 году изобрел инструмент, носящий его имя, — терменвокс, и француз Морис Мартено (1898–1980), усилиями которого в 1928 году свет увидел инструмент «волны Мартено». Эти открытия дали начало новому направлению развития технологий. Работы по созданию электронных музыкальных инструментов достигли пика после Второй мировой войны. В XX веке технологические открытия в области звука позволили глубоко изучить его природу и особенности, а также открыть эффективные способы синтеза звуков.

Для синтеза звука первым делом нужно его сгенерировать. Для этого используются два способа: в первом применяются отдельные источники для каждого из 12 звуков верхней октавы, во втором генерируется лишь самый высокий звук этой октавы, а оставшиеся 11 полутонов получаются путем электронных преобразований. После того как сформированы звуки верхней октавы, частоты звуков остальных октав получаются с помощью электронных делителей частоты делением частоты на 2.

Итак, базовый звук создан. Теперь можно изменять его различные параметры, что позволит добиться нужного звучания. Это ключевой момент: поискам синтетических звуков, максимально приближенных к реальным, сопутствует желание создавать совершенно новые, неповторимые звуки. Успехи в синтезе звуков, достигнутые в последнее время, охватывают различные аспекты. Некоторые заслуживают упоминания. Таковы, в частности, фильтры и усилители, которые обрабатывают обертоны и тем самым позволяют изменять тембр звука, сгенерированного осциллятором. Если звук не богат обертонами, его обогащают с помощью усилителей, генерирующих обертоны, частоты которых кратны частоте основного тона. Также применяются фильтры, позволяющие ограничить или подавить составляющие определенной частоты. Комбинирование обертонов используется для создания определенного тембра, что позволяет имитировать, например, звук трубы, скрипки или любого другого музыкального инструмента. Чаще всего используются следующие фильтры: