Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

Хотя интервалы между любыми двумя нотами мелодии строго соблюдаются, из эстетических соображений композитор изменил длительность последней ноты каждой музыкальной фразы. Однако это не нарушает симметрию, так как мелодическая линия, которую мысленно рисует композитор, зависит от порядка исполнения звуков, а не от диезов и бемолей.

* * *

ПЕЧАТЬ БАХА

Иоганн Себастьян Бах создал собственную идеально симметричную печать. В ней сочетаются три символа: корона, символизирующая Бога, инициалы композитора — JSB, и их зеркальное отображение. Сочетание симметрично отраженной J и исходной буквы S образует греческую букву . Эта буква обозначает крест и является первой буквой в имени Христа, записанном по-гречески. Аналогичная симметрия затем используется еще два раза.

* * *

В Canon Concordia Discors, BWV 1086 Иоганна Себастьяна Баха имитация основной мелодии является инверсией, ось симметрии проходит по линии ноты ми. Если бы мы захотели «классифицировать» это произведение, то сказали бы, что в нем используется отражение относительно горизонтальной оси в сочетании с переносом (канон).

Еще одной особенностью некоторых сочинений Баха является использование шифров в их музыкальной записи. В каноне, имеющем номер 1073 по каталогу BWV, Бах записал на нотном стане всего одну мелодию, однако поместил в начало партитуры не один, а четыре ключа. Каждый ключ определяет записанные ноты по-разному; таким образом, мелодия переобозначается для каждого ключа. По порядку записи ключей мелодия начинается с ноты до, затем с ноты соль, далее с ре и, наконец, с ля. Именно на эти четыре ноты настроены струны виолы — одного из любимых инструментов Баха.

Переписав партитуру для стандартных ключей соль и фа и начав каждый голос с позиции, указанной композитором, можно восстановить полную нотную запись канона.

* * *

КОРОЛЕВСКАЯ ТЕМА

В 1740 году Карл Филипп Эммануил Бах (1714–1788), второй из пяти сыновей Иоганна Себастьяна Баха, стал членом королевского двора Фридриха II Великого, короля Пруссии. Во дворце ежедневно давались концерты камерной музыки. Король был меломаном, композитором и играл на флейте. Ему стало известно об искусстве Баха, и он захотел познакомиться с ним. После долгих уговоров Карлу удалось добиться согласия отца. Он посетил Потсдам, где располагался королевский дворец, и по просьбе короля попробовал сыграть на всех фортепиано Зильбермана, которые находились в залах дворца. Желая показать свои способности, Бах попросил короля сымпровизировать и сыграть мелодию, на основе которой хотел написать фугу. Бах уехал в Лейпциг и в благодарность за радушный прием сочинил «Музыкальное приношение», взяв за основу мелодию, придуманную королем. Этот цикл произведений, в котором композитор демонстрирует свои удивительные способности, был завершен спустя два месяца после встречи с королем и состоит из двух ричеркаров (старинное название фуги), десяти канонов и одной сонаты. В рукописи Бах озаглавил первый ричеркар Regis lussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Resoluta, что означает «Данная повелением короля тема и прочее, исполненное в каноническом роде». Эта фраза содержит игру слов — акростих: если записать слова фразы одно под другим, первые буквы образуют слово RICERCAR — «РИЧЕРКАР».

Портрет Карла Филиппа Эммануила Баха. Внизу — партитура темы короля Фридриха II Великого.

* * *

Преобразования, изменяющие размеры

Три вида преобразований, которые мы рассмотрели (перенос, отражение и поворот), являются изометрическими, то есть сохраняют исходные размеры музыкальных фигур и расстояния между ними.

Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотношение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко различать два «измерения» музыкальной плоскости.

Горизонтальное масштабирование

Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растяжение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование и, следовательно, изменить скорость, с которой исполняется произведение, необходимо изменить темп метронома:

Изменение скорости путем изменения темпа метронома.

Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами меньшей длительности:

«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса

Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833–1897), представитель романтизма, использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В первых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано образована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные — половинными и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем теноры (tenors на партитуре):

Puttin' on the Ritz

Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Берлин (1888–1989) — «величайший песенный композитор всех времен», по словам его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие известные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запутанной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из четырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех, за счет чего образуется неравномерный ритм:

Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот. На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом. Стрелкой обозначена граница такта.

Вертикальное масштабирование

Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование — самое необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все интервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.

Подобное повторение расширенной мелодической кривой исходной мелодии иногда может давать пародийный эффект. Известный пример вертикального мас штабирования связывает между собой Баха и Джона Кейджа и упоминается в классической научно-популярной книге «Гедель, Эшер, Бах» американского автора Дугласа Хофштадтера (р. 1945).

Если использовать латинскую систему, в которой ноты обозначаются буквами от А до G, то с помощью масштабирования можно превратить тему ВАСН («Бах») в CAGE («Кейдж»).

Интервалы темы BACH: —1|+3 |—1.

Умножив эти интервалы на 3, получим —3 |+9 |—3, что почти совпадает с темой CAGE, интервалы которой равны —3 |+10 |—3.

Гармоническая симметрия

Симметричные аккорды

Одна октава состоит из 12 полутонов. Эти 12 полутонов можно разделить на симметричные аккорды всего двумя способами: в первом случае аккорды из 3 нот будут разделены 4 полутонами, во втором случае аккорды из 4 нот будут разделены 3 полутонами.

В первом случае образуется аккорд увеличенной квинты, состоящей из двух больших терций, во втором — аккорд уменьшенной септимы. Благодаря своей симметричности этот аккорд занял очень важное место в истории музыки, так как его можно «прочитать» многими способами одновременно.

Симметричные звукоряды

В своей книге «Техника моего музыкального языка» французский композитор Оливье Мессиан (1908–1992) приводит классификацию звукорядов, которые он называет ладами ограниченной транспозиции. В этих звукорядах, ступени которых образуют полную октаву, интервалы, разделяющие ноты, распределяются симметрично. Такие звукоряды основаны на хроматической системе из 12 звуков и состоят из различных симметричных групп. После определения звукоряда он последовательно транспонируется до тех пор, пока при транспозиции не образуется звукоряд, в котором будут полностью повторяться ноты исходной группы.