Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

Также можно применять преобразования к нотам как к геометрическим фигурам на плоскости, но результаты этих преобразований не всегда будут различимы для слушателя.

Важно помнить, что преобразования применяются к кривой, соединяющей головки нот. Рассмотрим пример мелодии из четырех нот. Соединив ноты линиями, получим следующее изображение:

Применим к этой ломаной линии геометрическое преобразование:

и восстановим головки и штили всех нот:

Геометрическо-музыкальные преобразования — еще одно средство, которое может использовать композитор, но применять его следует аккуратно и разумно.

Изометрические преобразования

«Изометрический» означает «сохраняющий расстояние». Существует три различных изометрических преобразования на плоскости: перенос, отражение и поворот. Они находят соответствие в различных символах нотной записи. Если рассматривать преобразования высоты звуков и их длительности отдельно, то число возможных их видов возрастет. В следующей таблице вкратце перечислены все возможные преобразования такого типа:

При комбинировании некоторых из этих преобразований число возможных вариантов возрастает еще больше:

Переносы

Перенос — это геометрическое преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в заданном направлении на одно и то же расстояние, при этом форма фигуры не изменяется. В нашем случае достаточно рассмотреть горизонтальный и вертикальный перенос. Они показаны на рисунке справа.

Горизонтальный перенос: повторение и канон

Горизонтальный перенос применительно к партитуре обозначает перенос во времени и может выражаться двумя способами:

— Повторение. Мелодия или ее фрагмент исполняются несколько раз подряд, один за другим:

O —> O —> O —> O —> O —> O —> O —> O

При простейшем горизонтальном переносе мотив повторяется, продолжая прежнюю мелодическую линию.

— Канон. Как вы уже знаете из предыдущей главы, канон — это музыкальное произведение, в котором мелодия исполняется несколькими голосами, вступающими один после другого через некоторый промежуток времени.

Рассмотрим в качестве примера очень известный канон — французскую детскую песенку «Братец Якоб». Если мы будем считать исходной мелодией первые четыре восьмых ноты песенки, то увидим, что она повторяется (используется перенос). После того как сыграны первые ноты мелодии, она продолжается в следующих тактах, а также начинается исполнение копии исходной мелодии (на рисунке далее исходная мелодия и ее копия изображены на разных нотных станах). Далее обе мелодии (оригинал и смещенная копия) исполняются параллельно, смещение между ними не меняется. Рассмотрим первые четыре такта:

При горизонтальном переносе изменяется момент времени, в который исполняется нота. При вертикальном переносе нота сдвигается вверх или вниз по партитуре. Такой перенос называется транспозицией.

* * *

КОЛЫБЕЛЬНАЯ ДЛЯ ВСЕХ

Происхоедение мелодии и текста песенки «Братец Якоб» точно неизвестно. Предположительно она была впервые записана в конце XVIII века под названием «Братец Блез». Однако некоторые исследователи указывают на явную схожесть этой песенки с произведением Джироламо Фрескобальди, написанном в 1615 году. Есть версия, что ее текст («Frére Jacques, fr£re Jacques // Dormez-vous? Dormez-vous? // Sonnez les matines! Sonnez les matines!», что можно перевести как «Братец Якоб, братец Якоб! // Ты не спишь? Ты не спишь? // Слышишь колокольчик? Слышишь колокольчик? // Динь-динь-динь! Динь-динь-динь!») — насмешка над протестантами, иудеями или над самим Мартином Лютером. Кто-то считает, что песенка содержит упрек в адрес монахов-якобинцев: во Франции многие считали, что они ведут праздную жизнь. Эта колыбельная, переведенная на множество языков, распространена настолько широко, что, согласно недавно проведенному опросу, китайские школьники считают ее китайской народной.

* * *

Вертикальный перенос: транспозиция

Изометрический перенос нот вдоль вертикальной оси называется транспозицией. В результате транспозиции получается та же мелодия, но более высокая или более низкая в зависимости от направления переноса:

Транспозиция мелодии заслуживает более подробного рассмотрения. В вышеприведенном примере показана простейшая транспозиция мелодии.

В следующих примерах, взятых из различных стилей, продемонстрированы некоторые наиболее характерные способы использования переноса в музыкальных композициях. В 14-й сонате, известной как Лунная соната, Людвиг ван Бетховен (1770–1827) использовал в качестве основы произведения арпеджио из трех нот.

Риффы в рок-музыке — это короткие и ритмичные мелодии, как правило, исполняемые на гитаре, которые обычно повторяются несколько раз подряд. В песне (I Can’t Get No) Satisfaction группы Rolling Stones звучит один из самых известных риффов всех времен.

Многократное повторение мелодической фигуры (как в двух предыдущих примерах) называется остинато.

В качестве примера такого повторения в каноне рассмотрим произведение величайшего автора канонов — Иоганна Себастьяна Баха (1685–1750). Бах использовал этот формальный прием поистине гениальным образом. Его мастерство было столь высоко, что он часто преподносил в подарок небольшие каноны, специально написанные по случаю торжества. Мы рассмотрим его «Канон ре мажор BWV 1075» — небольшое музыкальное произведение из восьми тактов, исполняемое в два голоса, смещенных относительно друг друга на два такта. Структура композиции такова, что она может повторяться бесконечно:

Ниже представлена партитура канона.

Автором, возможно, одного из самых известных канонов всех времен является немецкий композитор Иоганн Пахельбель (1653–1706). Его «Канон в ре мажор» стал особенно известен после того, как прозвучал в фильме «Обыкновенные люди» (1980). Это произведение написано одновременно в форме канона и чаконы, поэтому в нем используются обе разновидности горизонтального переноса.

Чакона — это композиция, в которой неизменная тема повторяется в басу, а остальные голоса варьируются, накладываясь поверх нее. В каноне Пахельбеля вариации исполняются тремя верхними голосами канона. Поверх циклически повторяющегося ритма (который также использовался в разное время во множестве других произведений) плавно, без резких скачков, звучит основная мелодия произведения, непрестанно изменяясь от спокойной, меланхоличной до радостной и оживленной.

Также стоит упомянуть павану, соч. 50 французского композитора Габриэля Форе (1845–1924), в начале которой исходный мотив дважды исполняется (1-й такт и половина 2-го такта) виолончелями, виолами и вторыми скрипками.

Знаменитая Симфония № 5 до минор, соч. 67 Людвига ван Бетховена (1770–1827) — еще один пример диагонального переноса, в котором сочетаются вертикальный и горизонтальный переносы. Для верхнего голоса (выделен на партитуре, приведенной ниже) повторяется одна и та же мелодическая фигура, которая с каждым разом транспонируется все выше.

Отражения

Отражение — это преобразование, которое заменяет фигуру ее зеркальным отражением. Результатом отражения фигуры является ее хиральная копия, то есть такая фигура, которую нельзя совместить с исходной с помощью поворотов (представьте, например, отражение в зеркале человека с повязкой на правом глазу).

Чтобы вернуться к исходной фигуре, необходимо выполнить двойное отражение, то есть отразить отраженную фигуру еще раз. Мы рассмотрим два вида отражений: относительно горизонтальной и относительно вертикальной оси. Комбинация отражений относительно вертикальной и горизонтальной оси является поворотом на 180°, что показано на рисунке:

Если применить отражение к партитуре, получатся новые композиции: инвертированные и ракоходные.

Отражение относительно вертикальной оси: ракоход

В этом случае мелодия записывается заново, начиная с последней ноты, так что ноты исходной мелодии идут в обратном порядке: