Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

Этот такт состоит из восьми восьмых нот и пауз и совпадает с тактом 4/4. Однако он имеет совершенно иной ритмический рисунок, так как в такте 4/4 содержатся четыре доли, разделенные на две части каждая. Рассматриваемый нами такт, напротив, представляет собой смесь из долей, разделенных на две и три части. Подобную неравномерность обозначают числом частей, на которые делится каждая доля, разделенных знаком +. В нашем примере такт будет обозначаться

3 + 3 + 2.

Многослойные ритмы

В различных культурах присутствует особая техника игры на ударных — полиритмия. В полиритмии единое сложное и организованное произведение образуется сочетанием различных артикуляций. Полиритмия звучит в высшей степени красиво, поскольку и ритмический, и мелодический рисунок отличаются огромным разнообразием. Это живое искусство, которое можно проанализировать математически.

Ритмы могут полностью совпадать, но быть сдвинутыми друг относительно друга, как при исполнении канона, в котором голоса вступают один за другим спустя определенные промежутки времени. Ритмы также могут быть инвертированными.

Во всех этих случаях результатом будет полиритмия. El pajarillo, el seis corrido и el seis derecho — три формы полиритмии в музыке хоропо, распространенной на равнинах Венесуэлы и Колумбии. Хоропо отличается разнообразием ритмов, одновременно исполняемых на традиционных музыкальных инструментах — бандолах, арфах, четырехструнных гитарах и маракасах. Одна из особенностей ритма хоропо — параллельное исполнение тактов размером 6/8. Полученный ритм выглядит так:

Еще один пример ритма, чрезвычайно распространенного в латиноамериканской и европейской музыке, — смесь трехдольного и двухдольного деления, которое обычно записывается в виде такта размером 6/8 и такта размером 3/4, исполняющихся одновременно. В виде единиц и нулей этот ритм можно представить так:

Смешанные размеры

Для написания более свободных композиций, а также для записи партитур народной музыки, отличающейся богатым ритмическим рисунком, в XX веке были придуманы новые способы записи ритмов. Так, начали использоваться сочетания тактов различной длительности. Например, часто встречаются группы из семи четвертных нот, которые являются сочетанием тактов размером 3/4 и 4/4 либо трех тактов: размером 2/4, 3/4 и 2/4. В такте из пяти четвертных нот могут объединяться такты размером в 2/4 и 3/4 или наоборот.

Партитура «Концертино для струнного квартета» Игоря Стравинского, на примере которой вы можете оценить огромное разнообразие ритмов, используемых этим великим композитором-новатором XX века.

Скорость: метроном

Исполнить записанную последовательность нот и пауз непросто. Если исполнитель никогда не слышал эту композицию раньше, он сможет приблизительно передать ритм, задуманный композитором, но ему будет не хватать важнейшего параметра — скорости исполнения. Этот параметр указывается в начале партитуры произведения, а также всякий раз, когда изменяется темп произведения. Он обозначается нотой, рядом с которой указывается число. Это число означает, сколько раз в минуту должна уложиться нота указанной длительности. Так, обозначение

означает, что в минуту исполняется 60 долей. В этом случае для определения скорости исполнения достаточно обычных часов, так как исполняется ровно одна доля в секунду. В других случаях используется прибор, равномерно отсчитывающий доли в заданном ритме, — метроном. Механический метроном представляет собой маятник, частота колебаний которого изменяется посредством смещения противовеса.

Чем выше частота колебаний маятника, тем больше тактовых долей воспроизводится в минуту. Начинающие музыканты используют метроном, когда учатся выдерживать одинаковую скорость игры. Метроном также помогает композиторам определить скорость исполнения музыкального произведения. Первым, кто использовал метроном для задания скорости исполнения, был Людвиг ван Бетховен.

Хотя метроном является объективным средством измерения скорости, его недостатком оказывается излишняя строгость: при исполнении музыкальных произведений строгий и четкий ритм часто ускоряется, что естественно. Живительно, но метроном нередко используется в качестве ударного инструмента, как, например, в известной песне Blackbird группы The Beatles из альбома White Album. Выдающийся композитор Эннио Морриконе, автор музыки для множества фильмов, использовал искаженные и замедленные звуки метронома в композиции Farewell to Cheyenne в музыке из фильма «Однажды на Диком Западе».

Исключительный случай использования метронома в качестве музыкального инструмента принадлежит венгерскому композитору Дьёрдю Лигети, который в произведении «Симфоническая поэма для 100 метрономов» (1962) одновременно использует 100 этих приборов. Произведение завершается, когда заканчивается завод последнего метронома.

* * *

МУЗЫКАЛЬНЫЕ ЧАСЫ

Механический метроном изобрел немец Дитрих Винкель в 1812 году, но первый патент на этот прибор принадлежит его соотечественнику Иоганну Мельцелю. Сейчас используются электронные метрономы, но изначально их изготовлением занимались часовщики. Классический метроном содержит часовой механизм и перевернутый маятник, состоящий из стержня и противовеса, который можно перемещать по всей его длине. В нем находятся два противовеса, по одному с каждой стороны от центра колебаний: один внешний, с переменным положением, второй внутренний, с фиксированным положением. Чем ближе противовес к центру колебаний, тем выше темп, отмеряемый метрономом, чем дальше от центра, тем медленнее будет темп. На каждое колебание маятника внутренний механизм метронома издает щелчок. Некоторые метрономы можно настроить так, что они будут издавать особый звук на каждые две, три или четыре доли. В настоящее время используются электронные метрономы, которые содержат камертон, настроенный на частоту 440 Гц.

ЗАДАЧА, КОТОРУЮ НЕ СМОГ РЕШИТЬ ЭЙНШТЕЙН

Физик Альберт Эйнштейн, создатель теории относительности, увлекался игрой на скрипке, хотя добился на этом поприще куда более скромных успехов, чем в физике. Как-то раз он репетировал сонату вместе с выдающимся пианистом Артуром Шнабелем. Эйнштейн раз за разом пропускал такт, и Шнабелю раз за разом приходилось задерживаться. Когда Эйнштейн ошибся в третий раз, Шнабель огорченно посмотрел на него и язвительно спросил: «Альберт, неужели вы никогда не научитесь считать до трех?»

* * *

Изолированная неравномерность

Иногда среди равномерного ритма (например, состоящего из долей с ритмическим делением на две части) необходимо точно сыграть несколько долей, разделенных на три части. Подобная смена ритма будет означать, что потребуется смена темпа и такта. Чтобы избежать неоднозначности при записи этой неравномерности (и при восстановлении равномерного ритма), используются дуоли, триоли и так далее.

— Дуоль: ритмическая фигура из двух нот, равная по времени звучания трем нотам:

— Триоль: ритмическая фигура из трех нот, равная по времени звучания двум нотам:

Дуоли и триоли обозначаются дугой поверх группы нот, под которой указывается число, соответствующее новому числу нот. Рассмотрим пример сложного ритма, в котором меняется темп и размер такта:

Аналогичная упрощенная запись, в которой используются триоли, будет выглядеть так:

* * *

ДРОБНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ТАКТОВ

Интересно сравнить дроби, которыми отмечаются такты, с обычными дробными числами и операциями над ними. Какие операции над дробями, обозначающими такты, совпадают с операциями над дробными числами?

— Сложение дробей. Например, такт размером 3/4 имеет длительность половинной ноты с точкой, что равнозначно половинной ноте (обозначаемой символом и четвертной:

Если заменить обозначения нот соответствующими дробями, получим:

3/4 = 1/2 + 1/4.

— Сокращение дробей. Если сократить дробь, обозначающую такт, полученная дробь будет обозначать новый такт:

6/8 = 3/4.

В этом случае математическое равенство не означает равенство с точки зрения музыки. Длительность обоих тактов будет одинаковой и равной длительности шести восьмых нот (для такта 3/4 — длительности трех четвертных нот, каждая из которых равна двум восьмым).