Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

Такт — это понятие, созданное с целью упростить запись ритмов и чтение музыкальной нотации. Такты подчиняются общему принципу: они делят музыкальную композицию на строго равные части.

Такты начинаются с наиболее сильной доли, за которой следует еще одна или несколько более слабых долей. Например, двухдольный такт звучит как РАЗ-два, РАЗ-два, трехдольный — РАЗ-два-три, РАЗ-два-три. В современной нотации размеры тактов обозначаются дробями вида х/у, где х обозначает число нот в такте, у — вид нот (к примеру, 1 обозначает целую ноту, 2 — половинную, 4 — четвертную и так далее). Подробнее о том, как обозначаются и записываются такты, мы расскажем в следующих главах.

Вернемся к системе Филиппа де Витри. В «Новом искусстве» описывались четко определенные ритмические структуры, отличающиеся друг от друга вариантами сочетания темпуса и пролации с различными видами долей. Обозначались они следующим образом:

— круг с точкой в центре обозначал трехдольный такт с трехдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 9/8;

— круг без точки в центре обозначал трехдольный такт с двухдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 3/4;

— полукруг с точкой внутри обозначал двухдольный такт с трехдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 6/8;

— полукруг без точки обозначал двухдольный такт с двухдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 2/4.

В следующей таблице описываются эти четыре разновидности ритма, приведены обозначения той эпохи и соотношения между различными фигурами. Для темпус перфектум и большой пролации бревис (обозначен квадратом) равен трем семибревисам (ромбам), каждый из которых равен трем минимам (обозначены ромбом с вертикальной чертой):

* * *

ЯВЛЕНИЯ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Подобно тому как математические модели являются отображением реальности, так и музыкальная нотация является графическим представлением физического явления, но не наоборот. Партитура незнакомого произведения дает музыканту лишь приближенное представление о том, что хотел выразить композитор. Достаточно послушать одно и то же произведение в исполнении различных музыкантов, чтобы оценить различия. Нечто подобное происходит, когда мы читаем написанный текст или слышим, как его произносит кто-то другой: когда актер декламирует стихотворение, он наделяет слова необъяснимой экспрессией, и эту магию актерской игры нельзя передать на бумаге. Карта страны — лишь двумерное графическое представление территории. Карта — это не страна, но карта содержит указания, которые помогут путешественнику найти дорогу. Партитура передает технические аспекты исполнения музыки, но ее интерпретация зависит от музыканта. Именно музыкант завершает произведение и наделяет его смыслом.

* * *

Ударные: чистый ритм

На ритм «накладываются» мелодия, лиги, изменения высоты и интенсивности звуков. При игре на ударных, напротив, ритм остается «обнаженным». Он содержит резкие скачки громкости, высоты и тембра звуков, однако при игре на ударных, по сути, возможны только два варианта: удар или его отсутствие. Здесь ритм проявляется во всей безупречности, раскрывает всю свою сущность. Ритм идеально подходит для изучения с точки зрения математики.

При игре на ударных инструментах циклические последовательности звуков характеризуются распределением артикуляций. Будем записывать исключительно артикуляции без учета эха, удлиняющего звуки. Так мы сможем зафиксировать четкую артикуляцию и понять последовательность звуков.

Можно выделить три различных ощущения ритма в зависимости от его быстроты:

— первый уровень, самая быстрая артикуляция, соответствующая ритмическому делению долей. Удары нумеруются начиная с первой доли по порядку: 1, 2, 3 и так далее. Когда начинается новая доля, отсчет возобновляется с единицы;

— второй уровень образуют относительно сильные доли, которые обозначаются цифрой 1;

— на третьем уровне появляются акценты — доли, которые звучат сильнее других.

Ритмическая последовательность размером 9/8 на трех описанных уровнях будет выглядеть так:

Рассмотрим подробнее вторую строку таблицы, где записаны только доли. Заполнив пустые ячейки таблицы нулями, мы получим четкое представление о последовательности долей. Каждая единица означает удар, ноль — паузу. В результате мы получаем чистый ритм.

Доли образуют структуру, лежащую в основе всей музыки подобно тому, как ткань формируется переплетением тонких нитей с нитями основы. Выберем в качестве единицы измерения ударов восьмую ноту, которую укажем как . Так как ритм образован последовательностью ударов и пауз, будем использовать только восьмые ноты и восьмые паузы. Восьмые паузы обозначим . Назовем четвертной нотой последовательность из удара и паузы (из восьмой ноты и восьмой паузы). Отметим ее . И наконец, добавим в нашу нотацию еще один новый символ, так называемую четвертную ноту с точкой,  — для обозначения тех случаев, когда за одной паузой следует другая, то есть последовательность нот и пауз выглядит как .

По сути, мы рассматриваем двоичную систему, где нотам и паузам присваиваются значения 1 и 0 соответственно. Эквиваленты этих символов для такта размером 4/4 записываются так:

Заметим, что последовательность удар-пауза-удар-пауза повторяется дважды. Двухдольный такт, каждая из долей которого длится одну четвертную ноту с точкой (6/8), будем обозначать так:

Покрытие пространства звуков

В следующей главе мы более подробно проанализируем структуру канонов, а пока ограничимся их ритмическим аспектом, который называется ритмическим каноном.

Одновременное исполнение различных ритмических единиц — серьезная задача для исполнителя, как для солиста, так и для группы. Чтобы познакомиться с тем, что такое ритмический канон, рассмотрим упражнение.

Начнем с ритма  = 3 + 3 + 2= 10010010, который циклически исполняют два музыканта. Второй музыкант начинает играть после первой артикуляции первого исполнителя:

Можно увидеть, что в столбцах таблицы под номерами 3, 6, 11 и так далее (выделены жирным шрифтом) паузы обоих ритмов совпадают. Существуют ритмические рисунки, которые можно исполнить в каноне так, что будут выполняться следующие условия:

1) два музыканта не начинают играть одновременно;

2) паузы ритмических рисунков никогда не накладываются друг на друга.

Эту ситуацию можно сравнить с математической задачей замощения плоскости, в которой требуется покрыть всю плоскость правильными геометрическими фигурами. Однако в нашем случае мы хотим покрыть всю «звуковую плоскость».

Простой ритм, например = 100100, удовлетворяет приведенным выше условиям. Чем длиннее ритмический рисунок, тем сложнее решить поставленную задачу. Следующая последовательность из 12 ударов

полностью покрывает «звуковую плоскость» так, что при исполнении ее трио с начальным сдвигом в четыре артикуляции паузы полностью отсутствуют:

* * *

ПРОПОСТА И РИСПОСТА

Изначально слово «канон» обозначало свод правил, которыми руководствовались певцы при исполнении песен. Начиная с XVI века этим словом стали обозначать конкретную разновидность композиции, в которой ведущий (также называемый пропоста) исполнял ту же мелодию, что повторяли голоса, вступающие позже (риспосты). Мелодия риспосты могла быть ритмически эквивалентной мелодии ведущего или, напротив, отличаться по сложности. Детская песенка «Братец Якоб» (фр. Frere Jacques) — известный пример канона, в котором имитирующие голоса в точности повторяют основную мелодию без каких-либо изменений.

К преобразованиям имитирующих голосов канона относятся: число имитирующих голосов; интервал ожидания между первым и последующим голосом либо между различными голосами, если они вступают по очереди; темп мелодии, исполняемой имитирующими голосами; инверсия мелодии ведущего; запаздывание мелодии и так далее.

Каноны были очень популярны в церковной музыке. Наивысшего расцвета они достигли в произведениях композиторов позднего Средневековья, например Гийома де Машо, и композиторов эпохи Возрождения, например Жоскена Депре. Однако наиболее ярко технику канона, как и многие другие более сложные техники, использовал Иоганн Себастьян Бах, создавший произведения, по праву называемые каноническими.