Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

а2 + Ь2 = с2.

Это уравнение имеет бесконечно много целых решений, которые называются пифагоровыми тройками. Любые три числа, образующие пифагорову тройку, являются длинами сторон угольника — инструмента, используемого в сельском хозяйстве и различных ремеслах для построения прямых углов.

* * *

Таким образом, становится очевидно, что если длины струн удовлетворяют соотношению

(n + 1)/n,

то соответствующие им звуки будут гармоническими, приятными слуху. Пифагорейцы считали это доказательством прямой взаимосвязи между числами и гармонией, красотой.

Абсолютная высота звуков

Чтобы лучше понять важность открытий, совершенных пифагорейцами, следует различать абсолютную и относительную высоту звука. Каждая музыкальная нота задает высоту, в зависимости от которой звук называется низким или высоким. Высота звука определяется частотой колебаний соответствующей звуковой волны (мы поговорим об этом позже). Чем больше частота, тем выше звук. (В приложении I приводится подробное объяснение этого и других понятий музыки.)

Клавиши пианино, соответствующие низким звукам, расположены слева; клавиши, соответствующие высоким звукам, — справа.

* * *

ЛОПАЮЩЕЕСЯ СТЕКЛО И ТОНУЩИЕ МОСТЫ

Во многих художественных и мультипликационных фильмах можно увидеть, как певец берет очень высокую ноту и силой своего голоса разбивает стеклянный бокал. Это абсолютно реальное физическое явление. Твердые тела обладают собственной частотой колебаний, зависящей от материала, формы и других свойств. Источник звука испускает звуковые волны, вызывающие колебания окружающего воздуха. Если частота звуковой волны и частота собственных колебаний предмета совпадают, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это физическое явление называется резонансом. Если при этом увеличивается акустическая энергия (иными словами, громкость звука), то амплитуда колебаний предмета становится еще больше. Струна не рвется от подобных колебаний благодаря своей гибкости. Другие тела, не столь упругие, не справляются с колебаниями и разрушаются. Именно из-за этого лопается стеклянный бокал. Известны и более серьезные случаи. 7 ноября 1940 года, спустя несколько месяцев после постройки, из-за колебаний, вызванных сильным ветром, обрушился висячий Такомский мост в американском штате Вашингтон. В авиации такое явление известно под названием флаттер.

* * *

Человеческое ухо способно различать звуковые колебания частотой примерно от 20 до 20000 герц. 1 герц (Гц) означает одно колебание в секунду. Колебания более низкой частоты называются инфразвуком, более высокой — ультразвуком. Частота звука каждой ноты является абсолютным значением, однозначно определяющим конкретную ноту. Известно, что нота ля настраивается на 440 Гц, но следует различать звук частотой 440 Гц и название, которое носит звук такой частоты. Этот звук обозначается нотой ля из соображений удобства. Эта частота была выбрана произвольно, подобно метру, который лежит в основе всей метрической системы измерений, и утверждена была похожим образом. Частота в 440 Гц была принята в качестве стандарта ноты ля в 1939 году на Международной конференции в Лондоне. Ранее это значение не было унифицированным. В разное время и в разных регионах производители музыкальных инструментов использовали разные значения. В настоящее время многие оркестры все еще предпочитают настраивать инструменты на другие частоты, и в некоторых случаях частота ноты ля достигает 444 Гц и более.

* * *

ПРОБЛЕМЫ С ПРОСТЫМ ЧИСЛОМ

В начале XX века была установлена стандартная частота ноты ля в 439 Гц. Почему же в итоге была выбрана частота в 440 Гц? Согласно гипотезе одного из членов Британского института стандартов, «частота, используемая в трансляциях ВВС, определялась осциллятором, в котором использовался пьезоэлектрический кристалл с частотой колебаний в миллион герц. Эта частота уменьшалась электронными средствами до тысячи герц, затем умножалась на 11 и делилась на 25. Так получилась частота в 440 Гц. Так как число 439 является простым, то его нельзя получить подобным способом».

* * *

Интервалы и относительная высота звуков

Перед тем как рассказать об относительной высоте звуков, следует объяснить понятие интервала. Как вы только что увидели, каждой ноте соответствует определенная частота, которая отличает эту ноту от других. Однако пифагорейцы анализировали не отдельные ноты, а отношения между ними. Две любые ноты разделяет расстояние, называемое интервалом. Существует два подхода к этому понятию. Согласно первому, интервал — это расстояние между нотами. Каждый интервал носит название в соответствии с числом нот, содержащихся в границах интервала. Так, интервал между до и фа содержит четыре ноты: до-ре-ми-фа. Интервал до — фа называется квартой. Также говорят, что расстояние между до и фа равно кварте. Уже известный нам интервал октава подчиняется этому же правилу: чтобы перейти от до к следующему до, нужно восемь нот: до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до. Указанные выше интервалы являются восходящими. Нисходящие интервалы начинаются с более высокой ноты и читаются в обратном направлении: интервал до — ля называется терцией, так как охватывает три ступени: до-си-ля. (Полная классификация интервалов несколько сложнее. О ней подробно рассказано в приложении I.)

Согласно второму подходу, интервалы можно также представлять в численном виде как соотношение частот нот. В этом случае имеет значение не абсолютная частота звука каждой ноты, а отношение между их частотами. Тогда две ноты можно сравнить, указав разделяющий их интервал в виде отношения частот соответствующих звуков. Если, например, мы сыграем две ноты, разделенные интервалом в одну кварту, то более высокая нота будет иметь частоту, равную 4/3 частоты более низкой ноты. Если два звука разделены интервалом в одну квинту, то их частоты относятся как 3:2. Например, для ноты ля частотой 440 Гц следующая нота ми, отделенная интервалом в одну квинту, будет иметь частоту в 660 Гц.

* * *

ЛИНЕЙНЫЙ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ

Интервал между двумя нотами называется по числу нот, их разделяющих, включая границы интервала. Из-за этого операция сложения интервалов не является интуитивно понятной. Чему равна сумма секунды и терции? Квинте? Достаточно выполнить несложные расчеты, чтобы показать, что это не так. Пусть началом интервала, равного искомой сумме, будет нота до. Прибавив секунду, мы получим ноту ре. Прибавив терцию, получим фа. Таким образом, сумма этих интервалов равна не квинте, а кварте.

Сумма интервалов подчиняется линейному закону. Если мы пронумеруем клавиши пианино, обозначив за 1 самую низкую ноту, за 88 — самую высокую, то увидим, что клавиши, соответствующие ноте ля, имеют номера 1, 8, 15, 22, 29 и так далее. Иными словами, чтобы перейти от одной ноты ля к следующей, нужно перейти на семь клавиш вправо или влево. Однако если мы рассмотрим не клавиши пианино, а частоты соответствующих звуков, то увидим, что они возрастают не линейно, а экспоненциально. Так, самый низкий звук пианино, соответствующий ноте ля, настраивается на частоту 27,5 Гц. Чтобы перейти к следующему ля, нужно не прибавить к этой частоте какое-то фиксированное число, а умножить эту частоту на 2. Таким образом, следующая ля настраивается на 55 Гц, следующая — на 110 Гц и так далее.

* * *

Отношение между длинами двух струн обратно отношению между частотами звуков, издаваемых этими струнами. Например, если звуки разделены квинтой, то есть их частоты относятся как 3:2, то длины этих струн относятся друг к другу как 2:3. Далее мы не будем упоминать о длинах струн, а будем говорить только о частотах звуков.

Так, две ноты, частоты которых равны 440 Гц и 880 Гц, разделены интервалом в одну октаву и настроены в точном соответствии со стандартом для ноты ля. Ноты, частоты которых равны 442 Гц и 884 Гц, также разделены интервалом в одну октаву, хотя настроены не по стандарту. И наконец, ноты, частоты которых равны 443 Гц и 887 Гц, не разделены интервалом в одну октаву. На слух они распознаются как «ненастроенная октава».

* * *

ПРОКЛЯТИЕ АБСОЛЮТНОГО СЛУХА

Абсолютный слух — это способность, позволяющая на слух определять ноты. Если мы нажмем любую клавишу пианино, человек с абсолютным слухом сможет назвать прозвучавшую ноту. Абсолютный слух и музыкальное дарование не связаны между собой. На самом деле многие музыканты страдают от своего абсолютного слуха. Например, в хоровой музыке партитуры часто транспонируют, подстраивая их под тон, в котором будет лучше звучать хор. Песня может исполняться в полном соответствии с партитурой, но на полутон ниже. Исполняемые ноты не совпадут с нотной записью, и музыкант с абсолютным слухом придет в замешательство.