Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

Решить эту задачу нам помогут цепи Маркова. Суть их использования заключается в следующем. С помощью методов статистики мы изучаем порядок следования различных «состояний» системы. Применительно к созданию мелодий цепи Маркова позволяют воспроизвести закономерности, которые указывают, как определенные последовательности нот влияют на звучащие в дальнейшем ноты.

День рождения Маркова

В следующем примере мы используем цепи Маркова, чтобы создать мелодию в стиле известной песни Happy Birthday.

В следующей таблице показано, сколько раз каждая нота встречается в этой мелодии:

Может показаться, что если мы хотим написать мелодию в этом же стиле, в новой мелодии ноты должны располагаться в точно таком же соотношении. Но в действительности такая мелодия будет иметь мало общего с оригиналом.

Вместо того чтобы анализировать, сколько раз в мелодии встречается каждая нота, с помощью цепей Маркова можно определить, в какой последовательности они располагаются. 26 нот мелодии упорядочены с помощью 25 переходов: первый переход соль-соль, второй — соль-ля и так далее. Максимально возможное число переходов равняется 8·8 = 64, но не все они используются в этой мелодии.

В следующей таблице приведено число переходов каждого типа:

Даже если мы выберем первую ноту произвольным образом, следующие ноты будут выбраны в соответствии с информацией о числе переходов каждого типа, которая содержится в таблице.

Начнем новую мелодию с ноты соль — с этой же ноты начинается оригинальная мелодия. Какие ноты могут следовать за начальным соль? В последней строке таблицы показано, что в мелодии Happy Birthday ноту, следующую за нотой соль, можно выбрать восьмью способами: один раз за ней следует соль второй октавы, один раз ре, один раз до, два раза ля, три раза та же нота соль. Обозначим каждый из этих переходов числом от 1 до 8 и выберем случайным образом число, лежащее в этом интервале, чтобы определить вторую ноту мелодии. Если выпадет 1, этой нотой будет соль второй октавы, если 2 — ре, если 3 — до, если 4 или 5 — ля, если 6, 7 или 8 — соль. Допустим, выпало число 3. Это означает, что второй нотой в новой мелодии будет нота до.

Повторим эти же действия для пяти возможных вариантов выбора ноты, следующей за до: ре, до, си, си и соль. Случайно выбранное число в интервале от 1 до 5 укажет третью ноту новой мелодии. Допустим, выпало число 4. Третьей нотой новой мелодии станет нота си. Эти действия повторяются требуемое число раз. Далее приведена мелодия, написанная с помощью этой техники:

Второй Happy Birthday

Мы только что проанализировали музыкальное произведение с помощью марковского процесса первого порядка, учитывая, как каждая нота зависит от предыдущей. Попробуем теперь использовать марковский процесс второго порядка и определить, как каждая нота зависит от двух предыдущих. Проанализируем исходную мелодию еще раз. Первый переход второго порядка — это соль-соль => ля. Следующий — соль-ля => соль.

Хотя число возможных переходов второго порядка равняется 64·8 = 512, в мелодии используется лишь несколько из них. Они представлены в таблице:

При создании мелодии второго порядка нужно выполнить те же действия, что и в предыдущем случае. Разница заключается только в том, что останется совсем немного способов «свернуть» с пути, заданного исходной мелодией. Далее приведена мелодия, созданная по этому методу:

Эти мелодии воссоздают исходную Happy Birthday лишь порядком следования нот друг за другом. Эту же технику можно применять и к другим музыкальным «измерениям» и определять с ее помощью длительности нот, гармонические последовательности, регистры, оркестровку и так далее.

EMI

Программа EMI (англ. Experiments in Musical Intelligence — «Эксперименты в области музыкального искусственного интеллекта») не только имитирует стили великих композиторов, но также способна создавать собственные композиции.

Разработанная американцем Дэвидом Коупом программа EMI анализирует произведения выбранного композитора и выделяет их фрагменты — музыкальные «клетки», затем комбинирует их в новом порядке и создает композиции в том же стиле, что и проанализированные произведения. На основе этих фрагментов произведений под руководством опытного пользователя EMI формирует таблицы подобные той, что используется в игре Моцарта Musikalisches Würfelspiel. Далее EMI использует различные приемы искусственного интеллекта для объединения этих изолированных фрагментов. Произведения, созданные EMI, «прошли проверку» слушателей-людей: некоторым понравилась услышанная музыка, другие пришли в ярость, а кто-то всерьез обеспокоился способностью машины воспроизводить плоды человеческого гения. Коуп не согласен с тем, что в будущем слушатели будут реагировать на компьютерную музыку подобным образом: «По сути, компьютер — это лишь инструмент, расширяющий наш разум. Музыка, созданная с помощью наших алгоритмов, столь же «наша», как и та, что создана исключительно человеческим вдохновением».

Механизация

Программа Коупа ставит вопрос: можно ли механизировать творческий процесс?

Еще до того, как Моцарт создал свою игру, появились первые музыкальные автоматы. В XVII веке Афанасий Кирхер создал Area Musarithmica — первый инструмент, способный создавать музыкальные произведения для четырех голосов по определенному алгоритму. В начале XIX века Дитрих Винкель (1777–1826) создал Componium — автоматический орган с двумя валами, которые случайным образом чередовались при исполнении произведений. Чтобы ответить на вопрос, поставленный в начале этого раздела, нужно понять, в чем заключен источник вдохновения композиторов и можно ли как-то воспроизвести или сымитировать его.

Вдохновение

Как и в других видах искусства, на создание музыки композиторов может вдохновить любимый человек, историческое событие или личность, художественное произведение. Концерты «Времена года» Антонио Вивальди, Фантастическая симфония Гектора Берлиоза, увертюра «1812 год» Петра Чайковского — вот некоторые из наиболее известных примеров так называемой «программной музыки», которая напрямую связана с внемузыкальной реальностью. Во всех указанных случаях источник вдохновения композитора находится в общеизвестной исторической или литературной среде или, по меньшей мере, в среде, современной композитору. Однако источником вдохновения не всегда служит нечто очевидно общее для композитора и других людей либо же он видоизменяет это силой своего творчества.

Так, бразильский композитор Эйтор Вилла-Лобос (1887–1959) в 1939 году написал произведение New York Skyline (позднее переработав его в 1957 году), вдохновившись очертаниями небоскребов Нью-Йорка, силуэты которых он изобразил на листе бумаги в клетку.

Сэр Эдуард Элгар (1857–1934) посвятил свои знаменитые «Энигма-вариации», ор. 36 «друзьям, изображенным в этом произведении». Каждая вариация содержит инициалы или иное указание на близкого Элгару человека, которого он запечатлел в музыке. Однако название произведению дала не эта «загадка», а другая, ответ на которую до сих пор не найден: сам Элгар утверждал, что спрятал в этом произведении еще одну мелодию. Эта загадочная неслышимая мелодия подобна главному герою спектакля, который никогда не появляется на сцене, но вокруг которого развивается действие. После публикации партитуры было предложено множество решений этой загадки, но ни одно из них не выглядит убедительным.

Алгоритмическая композиция

Алгоритм — это множество инструкций по решению определенной задачи или выполнению определенного действия. Простейшие алгоритмы используются в школе для выполнения основных арифметических операций. Все процессы, выполняемые внутри компьютера, подчиняются тому или иному алгоритму. Хотя четкое определение алгоритма (одно из множества существующих) содержит указание на свойства, которыми должен обладать алгоритм (он должен быть конечным, состоять из четко определенных инструкций и так далее), мы будем использовать более простую формулировку. Будем считать алгоритм множеством шагов и (или) правил, которым нужно следовать для достижения определенного результата.