Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

• Название: Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
• Автор: Хавьер Арбонес
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0682-6

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

---

Среди многочисленных гипотез, возникших в то время, особенный интерес представляет теория, согласно которой степень созвучности двух звуков тем больше, чем больше общих обертонов они имеют.

Запись времени на партитуре

Рассуждения о сути ритма (см. главу 2) позволили нам выделить различные свойства, описывающие чередование нот и пауз. Это дало возможность точнее записывать музыкальные произведения.

В физике время часто отображается на горизонтальной оси координат. Например, при построении графика положения тела при свободном падении высота обычно отображается на вертикальной оси (Y), время — на горизонтальной (X). Полученный график положения тела будет выглядеть так:

График движения тела при свободном падении.

Аналогичным образом время представляется и в музыке:

Нотная запись читается слева направо подобно тому, как читаются тексты, написанные на западных языках. Музыкальные ритмы изображаются в виде последовательности нот на горизонтальной оси.

Музыка и символы музыкальной нотации

Чтобы понять систему нотной записи, необходимо определить характеристики звуков, которые мы будем изображать.

Во-первых, следует рассмотреть наличие и отсутствие звука. В нотной записи должен отражаться как сам звук, так и паузы между звуками.

Во-вторых, звуки образуются в результате некоего движения, они имеют начало и конец.

Ноты и паузы — это символы, обозначающие наличие и отсутствие звука соответственно. Они же обозначают длительность звуков относительно других звуков и пауз.

Ноты

Длительность звуков обозначается с помощью нот. Ноты состоят из следующих элементов:

— головка: небольшой овал черного или белого цвета;

— штиль: вертикальная часть ноты, соединяющая головку и флажок (если он есть);

— флажок: небольшая изогнутая линия, расположенная на противоположном от головки конце штиля.

Относительная длительность нот

Относительная длительность звуков и пауз сохраняется вне зависимости от того, с какой скоростью исполняется произведение. Скорость исполнения и, как следствие, реальная длительность нот во времени определяется темпом метронома — механического прибора, с помощью которого можно задать любую постоянную скорость исполнения.

Как мы уже говорили ранее, относительная длительность нот определяется цветом головки (черная или белая), а также присутствием или отсутствием штиля и флажков.

Так, головка целой и половинной ноты имеет белый цвет, всех остальных нот — черный цвет. У всех этих нот, за исключением целой, имеется штиль. Восьмая нота имеет один флажок, шестнадцатая — два, тридцать вторая — три и шестьдесят четвертая — четыре. Каждой ноте соответствует относительная длительность, обозначаемая числом 2n где n расположено на интервале от 0 до 6.

Последовательность нот в порядке убывания длительности выглядит так: целая, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая и шестьдесят четвертая. Базовой нотой является целая, ей соответствует число 1. Следующая нота — половинная, длительность которой в два раза меньше, чем целой. Это означает, что за время исполнения целой ноты могут прозвучать две половинных. За время исполнения половинной ноты могут прозвучать две четвертные. Длительность любой ноты в два раза меньше, чем предыдущей. На следующей иллюстрации представлена относительная длительность нот, начиная с целой ноты в вершине воображаемой пирамиды и заканчивая тридцать вторыми в ее основании:

В следующей таблице указана относительная длительность всех нот:

Число, соответствующее каждой ноте, показывает, сколько раз подряд ее можно исполнить за время звучания одной целой ноты. Отношение между длительностями нот является прямым и транзитивным: одна половинная нота равна двум четвертным, одна четвертная — четырем шестнадцатым; следовательно, одна половинная нота равна восьми шестнадцатым.

Ноты с флажком объединяются чертой, соединяющей штили, в группы, которые, как правило, подчиняются ритму, задаваемому нотами большей длительности:

Паузы

Пауза — противоположность звука и вторая основная составляющая музыки. Можно считать, что паузы — это основа музыки, которая прерывается звуками, но в музыкальной нотации пауза — это промежуток времени, в который не исполняется ни одного звука. Следовательно, длительность пауз должна быть четко задана. Для представления пауз различной длительности используется ряд специальных знаков, соответствующих разным нотам:

Точки

Очень часто возникает необходимость увеличить относительную длительность ноты или паузы. Для этого используются маленькие точки справа от головки ноты. Точка обозначает, что относительная длительность ноты, помеченной точкой, увеличивается на 50 %. Так, четвертная нота с точкой эквивалентна четвертной ноте (1/4) и ее половине, восьмой ноте (1/8). 1/4 + 1/8 = 3/8. Следовательно, четвертная нота с точкой эквивалентна трем восьмым.

Также применяется так называемая двойная точка, которая означает, что длительность исходной ноты необходимо увеличить на 75 %. Например, для половинной ноты первая точка увеличивает ее длительность на четвертную ноту, вторая — еще на восьмую ноту. Для четвертной ноты первая точка увеличивает длительность ноты на восьмую, вторая — еще на одну шестнадцатую ноту:

Приложение II Второй взгляд на роль времени в музыке

Музыка как феномен дана нам исключительно для установления порядка вещей, по преимуществу — между человеком и временем.

Игорь Стравинский

Ощущение времени — источник всей музыки и всего ритма.

Оливье Мессиан

Мы живем в настоящем. Всё — настоящее. Нам известно лишь прошлое и настоящее. В прошлом настоящее не было известно, и мы могли лишь предполагать, каким оно будет. Возможно, прошлое в некотором смысле влияет на настоящее, но никогда не опережает его.

Мы можем осмотреть издалека дом или путь, который нам предстоит пройти, но разорвать узы времени нельзя: мы не можем взглянуть на него «издалека», не можем остановить его, чтобы передохнуть или поразмыслить о чем-то. Но даже несмотря на это люди способны чувствовать процессы, происходящие с течением времени. Суть метода очень проста: нужно спланировать некоторое событие, которое должно произойти в будущем, подождать, пока оно наступит, и зафиксировать его в этот самый момент. Спустя всего одно мгновение это событие станет прошлым и останется в нашей памяти. С музыкой происходит то же самое: она звучит в настоящем и остается в памяти. Музыка вольно или невольно пропитывается временем.

Модальность и тональность

Существует два музыкальных стиля и подхода к музыке: модальный и тональный. Основное различие между ними в том, как в этих стилях трактуется время. В западном мире наиболее распространена тональная музыка. Этот стиль родился в эпоху барокко, развивался в период приблизительно с 1600 по 1750 год и характеризуется тем, что развертывается последовательно во времени. В каждый момент тонального произведения за каждым аккордом следует следующий, аккордовое тяготение ослабляется в момент паузы. Роль, которую играет аккорд в этой цепочке чередующихся моментов напряжения и покоя, называется функцией аккорда.

Начиная с эпохи барокко тональная система переживала процесс непрерывных изменений на протяжении следующих периодов классицизма и романтизма. Хотя преобладала тональная музыка, культурный авангард начала XX века отходил от этого направления в сторону стиля, где отсутствовало бы аккордовое тяготение. Этот стиль называется атональным, или модальным.

В модальном стиле существуют две различные трактовки времени. С одной стороны, время как вечность — наиболее известный пример григорианских песнопений средневековой Европы, где нет обозначений прошлого, настоящего и будущего, иными словами, времени словно не существует. В другой трактовке время понимается как продолжающееся настоящее: звуковое событие является завершенным в каждый момент времени, оно не обусловлено какими-то событиями в прошлом и не влияет на звуковые события в будущем. Важно лишь настоящее. Помимо авангардной академической музыки, второй трактовке следует большая часть восточной музыки, часть фолк-музыки Южной Америки и джазовый стиль бибоп.