Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

• Название: Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика
• Автор: Рауль Ибаньес
• Издательство: ООО «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014

Современный человек пользуется картами практически ежедневно: карты украшают стены школ, они помогают нам ориентироваться на местности, находить кратчайший путь из одного пункта в другой, изучать историю, географию, экономику и ряд других наук.

Карты — важный рабочий инструмент для некоторых специалистов: моряков, летчиков, машинистов, топографов и проч. Но много ли мы знаем о том, как создаются карты? Для чего существует такое количество разнообразных карт и насколько все они точны?

Прочитав эту книгу, вы узнаете множество новых и любопытных фактов о геометрии карт.

---

Схема измерений размеров Земли, проведенных Посидонием. Если при наблюдении из Родоса звезда Канопус находится точно над горизонтом, то для наблюдателя в Александрии она располагается на небосводе под углом θ к горизонту, равным углу между Родосом и Александрией.

Метод Посидония для оценки размеров Земли также был остроумным, простым и геометрически безупречным, однако философ не учел преломление света в земной атмосфере, из-за которого при наблюдении небесных тел вблизи горизонта мы видим их выше, чем они располагаются на самом деле. Если бы лучи света не преломлялись, Канопус находился бы ближе к горизонту и, как следствие, реальная величина угла была бы меньше вычисленной Посидонием.

Клавдий Птолемей, как и Страбон, и другие, считал результат Посидония корректным и привел его в своей «Географии». Таким образом, представление о малых размерах Земли было популярным среди географов и картографов до XV века. Именно поэтому итальянский математик и картограф Паоло Тосканелли (1397–1482), составивший мореходную карту Атлантического океана, считал, что можно проплыть из Европы в Азию, а Христофор Колумб верил, что существует неизвестный путь доставки специй в Европу через Атлантический океан.

Реконструкция карты Тосканелли, на которой изображены более или менее реалистичные очертания Американского континента.

Метод триангуляции

Позднее для измерения меридианов Земли, а следовательно, для вычисления ее размеров использовалась триангуляция. Этот метод заключается в разделении местности на треугольники, максимально точном измерении углов триангуляции и длины одной из сторон исходного треугольника, называемого базовым, и последующем вычислении длин остальных сторон с помощью тригонометрии. Измерить длины сторон треугольников напрямую из-за неровностей рельефа довольно сложно, особенно если речь идет о больших расстояниях. Однако измерить с большой точностью углы вполне возможно.

Вверху — общая триангуляция Франции, проведенная в период с 1818 по 1845 год.

В истории об измерении размеров Земли с помощью метода триангуляции нам встретятся труды французского астронома Жана Пикара (1620–1682) (вычисленную им длину земного меридиана использовал Ньютон для подтверждения своего закона всемирного тяготения) и Жана-Доминика Кассини — первого директора Парижской обсерватории, который сделал ее ведущим мировым центром астрономии и картографии и попытался составить точную карту Франции. Вы также узнаете об экспедициях в Лапландию и Перу, организованных Парижской академией наук с целью определить, какова форма нашей планеты у полюсов — приплюснутая или вытянутая; об измерении меридиана между Дюнкерком и Барселоной, которое провели французские ученые Жан-Батист-Жозеф Деламбр (1749–1822) и Пьер Мешен (1744–1804), что привело к определению метра как единицы длины.

Карта побережий Франции (1682), составленная по результатам научных измерений (с помощью триангуляции), проведенных Пикаром, де Ла Гиром и Кассини. На этой карте вы можете видеть береговую линию Франции до измерений (более широкую) и после (более точную). Увидев эту разницу, Людовик XIV сказал Кассини: «Ваше путешествие стоило мне части моего королевства!»

* * *

МЕТР

Единицей длины в Международной системе единиц является метр, который сегодня определяется как расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1/299 792458 секунды (примерно 3,34 наносекунды, то есть 3,34 миллиардных (10-9) частей секунды).

В разное время метр определялся по-разному, однако началом его использования в качестве универсальной единицы длины мы обязаны Великой французской революции. В 1790 году для унификации единиц мер была создана Комиссия по мерам и весам. Было поставлено два условия: единицы измерения должны быть универсальными, то есть применяться повсеместно, и они не должны быть выбраны произвольно. В соответствии с этими условиями новая единица длины, метр, была определена как одна десятимиллионная часть расстояния от Северного полюса до экватора, измеренного вдоль меридиана. В самый разгар революционных потрясений было организовано две экспедиции для измерения длины парижского меридиана между Дюнкерком и Барселоной. Экспедицию, которая направилась в Дюнкерк, возглавил Деламбр, барселонскую экспедицию — Мешен. В ходе измерений с помощью триангуляции, которые длились 7 лет, ученые пережили всевозможные тяготы и многочисленные приключения. Этим событиям посвящен очень интересный роман Дэниса Гейджа «Измерение мира» («The Measure of the World»).

Глава 3 Меридианы, параллели и большие круги

По высоте Солнца и положению Полярной звезды можно было определить широту; с помощью карты и компаса, определив скорость на глаз и измерив время (обратите внимание: с помощью песочных часов, точность которых зависела от юнги, переворачивавшего их, а он неизменно хотел лечь спать пораньше, поэтому часы всегда спешили), можно было определить примерную скорость корабля — настолько неточную, что она больше напоминала выдумку.

Хулио Гильен Тато, «Искусство мореплавания» (1935)

В нашем рассказе о картографии не обойтись без географических координат — широты и долготы, которые позволяют однозначно определить положение любой точки земной поверхности. Познакомьтесь с координатной сеткой, образованной двумя почтенными семействами сферических кривых — параллелями и меридианами, которые являются кривыми постоянной широты и долготы. Мы настолько привыкли к тому, что кратчайшим путем между двумя точками является прямая, что сложно представить, что на поверхности сферы это не так. Однако это действительно не так, хотя бы потому, что на поверхности сферы нельзя провести прямую. Следующий вопрос кажется очевидным: какие кривые играют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости? Точнее, каков кратчайший путь между двумя точками сферической поверхности? Ответом на этот вопрос будет еще одно интересное семейство сферических кривых — большие круги.

Широта и параллели

Чтобы определить географические координаты, нужно учесть вращение Земли вокруг воображаемой оси, проходящей через ее центр. Северный и Южный полюс — это точки пересечения оси с земной поверхностью, а также единственные точки, которые при вращении Земли остаются неподвижными. Если мы рассмотрим сферическую модель нашей планеты, то параллели будут окружностями, полученными сечением сферы плоскостями, перпендикулярными ее оси вращения (см. следующий рисунок). Существует особая параллель, экватор, которая находится на полпути между Северным и Южным полюсом. Экватор определяется сечением земного шара плоскостью, перпендикулярной его оси вращения и проходящей через центр нашей планеты. Экватор — это самая длинная параллель.

Схема, на которой изображены пять главных параллелей и широта точки Р.

Широта произвольной точки земной поверхности определяется как угол наклона относительно плоскости экватора, то есть угол между отрезком, соединяющим центр земли с рассматриваемой точкой, и плоскостью экватора (на предыдущей схеме этот угол обозначен буквой φ). Например, город Бильбао расположен на 43°15′52″ северной широты, то есть в 43 градусах 15 минутах и 52 секундах к северу от экватора. Широта принимает значения от 90° ю. ш. (в Южном полушарии) до 90° с.ш. (в Северном полушарии). Следовательно, параллели — это кривые, образованные точками с одинаковой широтой.

Данное нами определение широты верно для сферической модели Земли, которую мы рассматриваем в этой книге. Для эллипсоидной модели требуется более общее определение геодезической широты, которая понимается как угол между плоскостью экватора и перпендикуляром к прямой, касательной к меридиану эллипсоида, проходящему через данную точку (см. следующий рисунок).

Понятие геодезической широты обобщает понятие широты для эллипсоидной модели земной поверхности.

* * *

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

Карту известной части мира, на которой можно увидеть неправильную сетку меридианов и параллелей, составил еще Эратосфен, однако систему меридианов и параллелей, разделенных равными интервалами, первым предложил греческий астроном Гиппарх Никейский (ок. 180 года до н. э. — ок. 120 года до н. э.). В своих картах он разделил обитаемый мир одиннадцатью параллелями и предложил определять широту, одновременно наблюдая лунные затмения. Кроме того, Гиппарх первым в Древней Греции, вслед за вавилонянами, стал делить окружность на 360°, каждый градус — на 60 минут, каждую минуту — на 60 секунд.