Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

• Название: Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика
• Автор: Антонио Дуран
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0722-9

Поэзия — недоказуемая истина. Математика же, напротив, состоит из доказательств. И все-таки у этих двух сфер есть что-то общее. Ученый Анри Пуанкаре писал: «Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова». Математик находится посередине между наукой и искусством, и это подтверждает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Цель этой книги — на нескольких ярких примерах показать красоту математики.

---

Слева — начальное положение элементов «Стомахиона». Справа — один из 17152 вариантов, которыми можно составить исходный квадрат из элементов головоломки.

* * *

История рукописей Архимеда гласит, что «Метод» был неизвестен математикам практически с момента создания и до публикации Гейбергом в начале XX века. Следовательно, неизвестным оставался и метод расчета площади сегмента параболы, который мы описали в предыдущем разделе. У нас нет сведений ни об одном математике, который на протяжении двух тысячелетий с небольшим вычислил бы площадь параболы, уравновесив ее на одном рычаге с треугольником. Это доказывает, что если бы Архимед умер в младенчестве, этот способ вычисления площади сегмента параболы никогда не существовал бы именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем. Никому никогда не удалось повторить рассуждений Архимеда. Так что его метод, полный гармонии и красоты, можно по праву назвать результатом творчества.

Последние перипетии в истории палимпсеста Архимеда

Было бы непростительно закончить эту главу, не рассказав о последних перипетиях в истории рукописи С. После публикации Гейбергом палимпсест, скорее всего, был украден. Его местонахождение было неизвестно на протяжении почти всего XX века, пока он вновь не появился 28 октября 1998 года в Нью-Йорке на аукционе Christie’s. Рукопись была приобретена за сумму, превысившую два миллиона долларов, неизвестным американским коллекционером. Спустя несколько месяцев новый обладатель палимпсеста передал его Музею искусства Уолтера в Балтиморе для хранения и изучения.

Интернет-страница The Archimedes Palimpsest Project («Проект "Палимпсест Архимеда"») содержит подробную информацию о восстановлении древней рукописи.

Палимпсест был тщательно отреставрирован и изучен знатоками античной науки, реставраторами и специалистами по обработке изображений, которые использовали самые современные технологии. Это неудивительно, ведь в ходе своей одиссеи в XX веке рукопись пострадала больше, чем за предыдущие тысячелетия.

Несколько страниц исчезло, многие другие были серьезно повреждены плесенью, из-за чего их содержимое стало невозможно разобрать невооруженным глазом (эти повреждения особенно заметны, если сравнить современное состояние палимпсеста с фотографиями Гейберга), наконец, кто-то, посчитав, что это привлечет интерес к рукописи и повысит ее цену, изобразил на ней четыре миниатюры из жизни евангелистов — в результате поврежденными оказались еще несколько страниц.

Глава 2 Почему оценить красоту математики непросто

Как мы уже говорили в начале предыдущей главы, никто не удивится, если случайный прохожий, которого мы спросим об эстетической ценности математики, лишь скептически поднимет брови. Мы же считаем, что эта эстетическая ценность, безусловно, существует, и сомнения случайного прохожего означают лишь одно: оценить красоту математики непросто. Здесь и возникает вопрос, вынесенный в название главы.

Пять чувств и изобразительное искусство

Мы знаем, что красота математических рассуждений заключается в гармоничном сочетании идей, которые их образуют, подобно тому как красота здания складывается из гармоничного сочетания его архитектурных элементов. Однако большинству людей намного сложнее оценить красоту теоремы, чем красоту готического собора.

В чем же причина? По нашему мнению, ответ на этот вопрос лежит в области физиологии: людям сложно оценить эстетическую ценность математических рассуждений, так как нам не хватает отдельного чувства, позволяющего автоматически различить структуру идей, составляющих рассуждения, и оценить гармоничность их сочетания.

Прежде чем обсудить это утверждение, приведем несколько примеров, показывающих тесную связь между нашими чувствами и визуальным искусством.

Живопись

Начнем с живописи. Можно сказать, что красота картины заключается в гармоничном сочетании ее элементов: форм, цветов, композиции, пространства, света и даже текстуры. Из утилитарных соображений рассмотрим живопись с чисто формальной точки зрения, оставив в стороне ее этическую, моральную и другую ценность и функции. Об этом мы поговорим позже.

Как бы то ни было, все элементы картины, а также связи между ними воспринимаются зрением напрямую.

Рассмотрим наскальный рисунок. Он состоит из простых цветных пятен на стене пещеры. Зрение позволяет нам понять, что на рисунке изображены животные и люди на охоте. Мы с первого взгляда увидели всю структуру форм картины, и теперь наш мозг может решить, гармонична ли ее композиция.

Наскальный рисунок на плато Тассилин-Адджер на юго-востоке Алжира. Плато объявлено объектом всемирного наследия ЮНЕСКО, так как на нем было сделано множество ценных археологических находок.

Точно так же достаточно одного взгляда, чтобы оценить картину Яна ван Эйка «Портрет четы Арнольфини» — мозг автоматически получает информацию о цветах и может определить, кажется ли картина красивой.

Так же автоматически зрение воспринимает композицию фрески Рафаэля «Афинская школа» в Ватиканском дворце: персонажи картины, в числе которых можно увидеть Пифагора, Евклида, Птолемея и, разумеется, Платона и Аристотеля, рас положены симметричными группами. Мы мгновенно воспринимаем расположение персонажей под куполами, ограничивающими сцену, и глубину, созданную с помощью методов перспективы. Вся эта информация очень быстро передается органами зрения в мозг, и он может «решить», гармонично ли сочетание элементов композиции. Ничто не ускользает от нашего взора: ни пространство и свет, изображенные Веласкесом на картине «Менины», ни даже текстура мазков «Сеятеля» Ван Гога — здесь зрение словно заменяет тактильные ощущения.

«Портрет четы Арнольфини» — картина Яна ван Эйка, созданная в 1434 году, хранится в Лондонской национальной галерее.

«Афинская школа» — фреска, созданная Рафаэлем Санти в 1510–1511 годах для Ватиканского дворца.

Слева — «Менины», картина Веласкеса, написанная в 1656 году, сейчас хранится в музее Прадо. Справа — фрагмент картины «Сеятель», созданной Винсентом ван Гогом в 1888 году, в настоящее время хранится в частной коллекции.

Музыка

Похожие рассуждения будут справедливы для музыки и органов слуха. Здесь нужно рассмотреть последовательность музыкальных аккордов во времени, их кинетический характер. Философ Монро Бирдсли писал: «Музыка есть искусство, которое течет со временем: она колеблется, подпрыгивает, колышется, становится неспокойной, поднимается, запинается и беспрерывно движется». Эта временная упорядоченность музыки, которая отсутствует в живописи, также крайне важна в математике. Теорема, подобно симфонии, начинается, продолжается и заканчивается, и порядок расположения ее составных частей имеет огромное значение.

Последовательный характер музыки очень важен для ее восприятия: чтобы оценить эстетику мелодии, нужно обладать определенной звуковой памятью. При этом звуковая память человека не особенно развита по сравнению, например, с визуальной.

Как-то раз я услышал такую фразу: человек, слушающий квартет Брамса, подобен рыбе, смотрящей «Психоз» Хичкока. Наша кратковременная звуковая память не способна фиксировать сложные последовательности звуков, и еще меньше она подходит для распознавания подобных последовательностей с легким изменением ритма каждые несколько минут. Именно это чувствует рыба, которая смотрит на киноэкран: увидев эпизод фильма, уже спустя несколько минут или даже секунд она забывает его и не способна узнать персонажа, который на мгновение исчез с экрана. Мне кажется, что способность людей запоминать сложные мелодии также проявляется в распознавании абстрактных элементов грамотных математических рассуждений. Как следствие, ограниченные способности распознавания подобных шаблонов, которые столь часто встречаются в математике, всерьез мешают нам оценить их красоту.

Схожесть музыки и математики легла в основу множества эссе, которые уже написаны и наверняка появятся в будущем. Не будем забывать слова великого Лейбница: «Музыка есть тайное упражнение в арифметике ведущей счет, но не сознающей этого души». Далее мы ограничимся тем, что подчеркнем важное различие между музыкой и математикой. Когда мы наслаждаемся музыкой, органы слуха последовательно и автоматически передают мозгу мелодию, ритмические элементы, ее ритм, композицию и так далее. Располагая этой информацией, мозг определяет, можно ли считать элементы мелодии гармоничными, а музыку — красивой. Но какое из наших чувств автоматически передает мозгу последовательность математических идей, которые содержит великая теорема?