Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

• Название: Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.
• Автор: Рафаэль Лаос-Бельтра
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0723-6

Жизнь — одно из самых прекрасных и сложных явлений на планете, изучением которого с начала XX века занимается не только одна биология. Физики, а затем и математики обнаружили, что некоторые биологические явления можно описать с помощью математического языка. Так родилась новая дисциплина — математическая биология, или биоматематика. Благодаря ей сегодня можно получить ответы на множество важных вопросов, касающихся биологии и биомедицины. Эта книга представляет собой панорамный обзор различных явлений, которые изучает биоматематика.

---

Подобные явления характеризуются числом Рэлея, которое в уравнениях Лоренца обозначается параметром ρ. Также этот параметр объясняет поведение атмосферы в следующей простой модели: когда значение ρ достигает 28, атмосфера начинает демонстрировать хаотическое поведение.

Отсюда можно сделать вывод: аттрактор Лоренца — это осциллятор, представляющий модель климата в трех измерениях. Как мы отмечали, переменные модели, х, у, z, описывают эволюцию хаотического потока, в которой отсутствуют какие-либо закономерности. Хотя модель Лоренца очень проста, два «больших крыла бабочки» аттрактора Лоренца объясняют особенности климатических режимов.

Аттрактор Лоренца — элементарная модель климата.

Любопытно, что известный эффект бабочки описал сам Лоренц в 1972 году. Его исходная формулировка звучала так: «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». На практике это означает, что даже малейшие изменения начальных условий, исчисляемые несколькими знаками после запятой, оказывают огромное влияние на погоду. Если сегодня в определенном месте наблюдается погода, которой соответствует точка (х, у, z) на правом «крыле бабочки», то погода в ближайшие дни будет описываться траекторией, берущей начало в точке (х, у, z).

Погода будет более или менее схожа с сегодняшней, если эта траектория будет принадлежать правому «крылу бабочки». Однако может случиться, что она достигнет левого «крыла бабочки», и прогноз существенно изменится.

Это изменение зависит от метеорологических параметров атмосферы «на сегодня», то есть от начальных условий модели: траектория, описывающая погоду в последующие дни, будет иметь тот или иной вид в зависимости от начальных условий в точке (х, у, z). И если погода представляет собой хаотическую систему, ее прогноз является прогнозом «индивидуальной траектории» в аттракторе климата. На практике погоду, то есть «индивидуальную траекторию», можно спрогнозировать на основе начальных условий, то есть погоды на сегодняшний день. В решении этой задачи метеорологам помогают мощные компьютеры, в которых используются климатические модели с намного большим числом переменных, чем три.

Кроме того, прогнозирование усложняется еще и потому, что климат в разных частях Земли описывается различными сценариями. В средних широтах и в тропиках погода существенно отличается. В средних широтах любое изменение погоды вызывается атмосферными явлениями, в то время как погода в тропиках определяется взаимодействием атмосферы и океана, известным как Эль-Ниньо. Самые известные его проявления — это ураганы и муссоны. Более того, некоторые явления, наблюдаемые в Тихом океане, вносят элемент неопределенности в начальное состояние атмосферы, на основе которого составляется прогноз погоды.

Карта с прогнозом атмосферного давления на пять дней вперед.

В 1963 году благодаря Лоренцу стало известно, насколько сложно составление точных прогнозов ввиду хаотической природы климата. Поэтому ученые решили использовать различные математические модели или начальные условия и значения параметров и составлять на их основе различные прогнозы. Существуют методы, которые позволяют оценить согласованность или степень совпадения различных прогнозов и получить средний прогноз. В этой методике также учитывается, сколько раз прогноз погоды оказывался верным для каждой модели из множества используемых. Этот подход, в котором вместо единственной модели, как во времена фон Неймана и ENIAC, используется множество моделей климата, называется мультимодельным (англ, multi-model ensemble).

* * *

ДЖЕЙМС ЛАВЛОК И ГИПОТЕЗА ГЕИ

Джеймс Лавлок — английский исследователь (род. в 1919 году), известный как автор гипотезы Геи. Согласно Лавлоку, живые организмы отвечают за поддержание земной атмосферы. Суша, океаны, живые существа и атмосфера в совокупности образуют кибернетическую систему. Идею о кибернетической системе развила американский исследователь Линн Маргулис. Она предположила, что планета Земля в действительности представляет собой суперорганизм, способный регулировать условия, благодаря которым возможны эволюция и поддержание жизни.

Идеи Джеймса Лавлока и Линн Маргулис разделяют не все. Несогласие с ними с самого начала выразили эволюционные биологи Стивен Джей Гулд и Ричард Докинз. Дарвинисты выдвинули вопрос: быть может, именно окружающая среда отбирает живых организмов в соответствии с дарвиновской теорией эволюции путем естественного отбора? И если это так, то как объяснить, что живые организмы медленно видоизменяют окружающую среду, в которой обитают, делая ее более благоприятной для себя? Несмотря на эти возражения, существуют примеры, подтверждающие гипотезу Геи. Так, бактерии и водоросли поддерживают температуру земной поверхности, регулируют соленость морей и участвуют в накоплении углерода в осадочных горных породах. Согласно этой экологической гипотезе, вмешательство бактерий и водорослей в окружающую среду в кибернетике описывается циклами обратной связи. В качестве примера подобного механизма можно привести систему кондиционирования воздуха в комнате: повышение или понижение температуры в комнате выявляется термостатом, после чего система кондиционирования соответственно нагревает или охлаждает воздух.

Согласно гипотезе Геи, Земля — это кибернетическая система планетарного масштаба, или суперорганизм.

* * *

Наконец, открытым остается вопрос о том, существует ли глобальное изменение климата. Прежде чем дать ответ на него, следует пояснить, что имеется в виду.

С точки зрения математики глобальное изменение климата означает изменение формы и положения аттрактора климата. Это изменение может быть вызвано неподконтрольными нам силами природы, действиями человека или сочетанием разных факторов. Допустим, что изменение климата произошло. Является ли оно значимым или же это всего лишь небольшое колебание, вызванное одной из особенностей аттрактора? Вероятно, вскоре мы узнаем ответ на этот вопрос. Изменения климата также могут быть вызваны действиями живых существ — вспомним о гипотезе Геи, предложенной Джеймсом Лавлоком в 1980-е годы. Согласно ей, живые организмы отвечают за поддержание земной атмосферы. На основе гипотезы Лавлока была создана упрощенная математическая модель под названием «Маргаритковый мир», о которой мы расскажем далее.

А что, если мы сами меняем атмосферу?  Гея и «Маргаритковый мир»

«Маргаритковый мир» (англ. Daisyworld) — это математическая модель, предложенная Эндрю Уотсоном и Джеймсом Лавлоком в 1983 году. Подобно тому, как уравнения Лоренца представляют собой упрощенную модель климата, модель Уотсона и Лавлока представляет упрощенный мир, населяемый исключительно маргаритками белого и черного цвета. Целью этой модели было объяснить, как живые организмы способны менять атмосферу, в частности температуру воздуха на планете.

Джеймс Лавлок, автор гипотезы Геи. 1993 год.

В модели предполагается существование Солнца с характеристиками, схожими с нашим Солнцем, и, как следствие, присутствие солнечного света. В модели также учитывается альбедо, то есть доля солнечного света, отражаемого маргаритками (черными или белыми), а также земной поверхностью, на которой не растут маргаритки. Если выбрать в качестве базового значения альбедо земной поверхности, не заселенной маргаритками, то альбедо белых маргариток будет выше базового значения, а их температура — ниже, чем температура земной поверхности. Черные маргаритки, напротив, будут отражать меньше света, чем незаселенная поверхность, в результате их температура будет выше. В модели Уотсона и Лавлока энергетический баланс планеты рассчитывается с учетом того, что на части суши произрастают белые маргаритки, на части — черные, а часть суши остается незаселенной. Кроме того, в модели рассматривается показатель снижения численности маргариток, а также математическая функция температуры. Модель содержит два дифференциальных уравнения, позволяющих смоделировать рост числа черных и белых маргариток на воображаемой планете:

Эти уравнения описывают скорость, с которой численность маргариток возрастает или убывает. Согласно первому уравнению, скорость, с которой меняется число белых маргариток х, зависит от их численности в момент времени t, коэффициента роста β(Тx), а также от доли земной поверхности, где не растут маргаритки (S), и показателя снижения численности γ. Обратите внимание, что рост числа белых маргариток β(Тx), в свою очередь, зависит от температуры Тх участка земной поверхности, заселенной маргаритками.