Хоакин Наварро - Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

• Название: Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер
• Автор: Хоакин Наварро
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0732-8

Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.

---

Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит: «Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют свои значения с течением времени».

Понятие непрерывной симметрии в высшей физике объясняется с помощью групп Ли. Не будем углубляться в детали и скажем, что в физике под симметрией понимается любое изменение физической системы, относительно которого физические величины в системе инвариантны. Это изменение посредством математически непрерывного преобразования должно затрагивать координаты системы, а рассматриваемая величина до и после преобразования должна оставаться неизменной.

Откуда же взялся термин «симметрия»? Он принадлежит к чисто физическому языку и применяется потому, что по смыслу схож с термином «симметрия» в математике. Представьте себе повороты пространства, образующие группу симметрии. Если мы применим один из таких поворотов к системе координат, то получим другую систему координат. Изменение координат будет описываться непрерывными уравнениями. Согласно теореме Нётер, если система инвариантна относительно подобной непрерывной симметрии (в данном случае — поворота), то в ней автоматически существует закон сохранения той или иной физической величины. В нашем случае, проведя необходимые вычисления, можно убедиться, что этой величиной будет момент импульса.

Не будем останавливаться на этой теме и приведем некоторые разновидности симметрии, группы симметрии и соответствующие физические величины, которые будут сохраняться.

Эта теорема вызвала множество хвалебных отзывов, в том числе от Эйнштейна, который писал Гильберту:

«Вчера я получил очень интересную статью госпожи Нётер о построении инвариантов. На меня производит впечатление то, что такие вещи можно рассматривать со столь общей точки зрения. Старой гвардии в Гёттингене не повредило бы, если бы ее послали на обучение к госпоже Нётер. Похоже, она хорошо знает свое ремесло».

Похвала была заслуженной: теорема Нётер сыграла нетривиальную роль в решении задач общей теории относительности. Эта теорема, по мнению многих специалистов, является фундаментальной, а некоторые даже ставят ее в один ряд с известной всем теоремой Пифагора.

Перенесемся в простой и понятный мир экспериментов, описанный Карлом Поппером (1902–1994), и предположим, что мы создали новую теорию, описывающую некое физическое явление. По теореме Нётер, если в рамках нашей теории присутствует некая разновидность симметрии (предполагать подобное вполне разумно), то в системе будет сохраняться некоторая величина, которую можно измерить. Таким образом можно определить, верна наша теория или нет.

* * *

ТЕОРЕМА НЁТЕР

Физическая система в механике определяется с помощью достаточно сложных терминов, в том числе такого понятия, как действие, которое можно рассматривать как произведение выделенной энергии на время, затраченное на ее поглощение. Поведение физической системы на языке математики описывается ее лагранжианом L, который представляет собой функционал (функцию от функций) вида

где q — положение, q· — скорость (точка вверху в нотации Ньютона обозначает производную от q), t- время. Обратите внимание, что q — положение в системе координат общего вида, которая необязательно является декартовой.

Действие А на языке математики выражается интегралом вдоль пути, выбранного системой:

Принцип наименьшего действия, сыгравший столь важную роль в физике XIX века, гласит: физическая система движется согласно закону наименьших усилий, следовательно, если использовать язык математического анализа, действие А должно представлять собой экстремальное значение, то есть минимум или максимум, поэтому его первая производная должна равняться нулю.

Хорошая иллюстрация лучше тысячи слов, поэтому приведем пример, который прекрасно объясняется во множестве книг и в интернете. Теорема Нётер в этом примере выражена в следующем виде: «Допустим, что система частиц обладает некой симметрией, то есть ее лагранжиан L инвариантен относительно изменений некоторой переменной s таким образом, что dL/ds = 0. Тогда существует свойство системы С, которое будет сохраняться: dC/dt = 0

Рассмотрим физическую систему, состоящую из двух пружин с коэффициентами упругости к12 и к23 Введем обозначения:

Здесь общие координаты q совпадают с декартовыми координатами хi. Применив методы математического анализа, в частности уравнение Эйлера — Лагранжа, получим:

Теперь рассмотрим симметрию (в формулировке теоремы она обозначена через s). Так как закон упругости выполняется всегда, мы вполне можем предположить, что s = t, то есть время, и симметрия лагранжиана, о которой говорится в исходной формулировке, проявляется так:

Проведем некоторые алгебраические преобразования:

Изменим порядок членов:

Мы получили сохраняющуюся величину С — она приведена в скобках. Так как q˙ = х˙, имеем

Сумма (со знаком «минус») кинетической и потенциальной энергии, то есть общая энергия системы, постоянна. Мы получили закон сохранения энергии.

* * *

Алгебра и еще раз алгебра. И какая алгебра!

Мы прервали наш рассказ об Эмми на том, что она обосновалась в Гёттингене, рядом с Клейном и Гильбертом — двумя математиками мировой величины. Остроумный Гильберт нашел способ преодолеть препятствия со стороны наиболее косных и консервативных преподавателей: он организовал курсы под своим именем, но на занятиях его всякий раз замещала Эмми, а недоброжелателям оставалось лишь скрежетать зубами.

Эмми отличалась невероятной работоспособностью — ее можно было сравнить с автомобилем, у которого отказали тормоза. В 1920 году она решила последовать новым путем. Постепенно, но неуклонно Эмми стала уделять все больше внимания вопросам чистой алгебры: сначала кольцам и идеалам на кольцах, затем — более сложным структурам, в частности различным алгебрам. Она настолько овладела темой, что вполне заслужила титул «властительницы колец». К этой эпохе относятся столь важные для развития алгебры результаты, как теорема Ласкера — Нетер (1921) и лемма о нормализации (1926). К 1927 году относятся ее теоремы об изоморфизме.

Затем практически сразу же Эмми перешла к более сложным темам, в частности к алгебрам. В 1931 году была сформулирована теорема Альберта — Брауэра — Хассе — Нётер об алгебрах конечной размерности. В 1933 году Эмми Нётер вновь получила важный результат, связанный с алгебрами, — так называемую теорему Сколема — Нётер. Мы не приводим подробные формулировки этих теорем, так как в них упоминаются очень абстрактные математические термины и объекты, доступные исключительно специалистам.

За Эмми повсюду следовала настоящая толпа учеников — шумных, недисциплинированных, но очень умных. То были «дети Нётер», которые внимали ее словам. Они сопровождали ее во время длинных прогулок и частых купаний в муниципальном бассейне, где Эмми плавала и ныряла, словно дельфин. Многие «дети Нётер» впоследствии стали великими математиками благодаря идеям, которые они почерпнули от своей наставницы, хотя ее педагогический дар был, если можно так выразиться, нестандартным: она относилась к ученикам как курица-наседка к цыплятам — была неизменно строгой и требовательной и не отходила от них ни на шаг. Многим она напоминала скорее петуха, чем курицу, и они называли ее, проявляя уважение к ее уму и некоторую робость, в мужском роде — Der Noether.

«Дети Нётер».

Понять, сколь любопытной была свита «детей Нётер», поможет анекдотичный случай времен нацистской Германии. Наташа Артин-Брауншвейг, супруга Эмиля Артина (1898–1962), рассказывала, как они однажды спустились в гамбургское метро: ученики ни на шаг не отставали от Нётер и шли за ней, словно дети за Гамельнским крысоловом. Едва они зашли в поезд, Эмми начала обсуждать математические темы с Эмилем Артином, все больше повышая голос и не обращая внимания на остальных пассажиров. В речи Нётер постоянно звучали слова «фюрер» и «идеал» — к великому ужасу Наташи, которая боялась, что их вот-вот задержит гестапо.