Хоакин Наварро - Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер

• Название: Том 37. Женщины-математики. От Гипатии до Эмми Нётер
• Автор: Хоакин Наварро
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Биографии и Мемуары
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0732-8

Из этой книги читатель узнает о жизни и научных достижениях самых выдающихся женщин-математиков разных эпох. Это Гипатия и Лукреция Пископия, Каролина Гершель и Мэри Сомервилль, Ада Лавлейс и Флоренс Найтингейл, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, Грейс Хоппер и Джулия Робинсон. Хотя они жили в разные времена и исследовали разные области математики, всех их объединяла любовь к этой науке, а также стремление сломать сложившиеся в обществе стереотипы. Своим примером они доказали всему миру: женщины обладают такими же интеллектуальными способностями, как и мужчины, и преуспели в математике чуть меньше исключительно по социальным причинам.

---

Однако любой из «детей» без труда объяснил бы внушавшим ужас гестаповцам, что эти слова были всего лишь невинными алгебраическими терминами из теории колец. В то время нацисты установили повальную слежку, они вмешивались в частную жизнь людей и буквально осаждали университеты. Один из учеников Эмми, который был евреем и поэтому не мог посещать университет, приходил заниматься к ней домой в форме члена штурмового отряда, чтобы избежать подозрений. Пацифистка Эмми воспринимала происходящее со смирением.

Она занималась наиболее современными разделами алгебры. Время от времени Эмми обращалась к топологии, в частности в совместных работах с Павлом Сергеевичем Александровым (1896–1982). Специализацией Нётер было подробное изучение алгебраических структур, цель которого — отбросить их частные свойства и рассмотреть их в максимально общем виде. Эмми пользовалась безграничным авторитетом, и к ней приезжали ученики со всех уголков Европы. Один из них, Бартель ван дер Варден (1903–1996), впоследствии прославившийся как автор «Современной алгебры», книги, ставшей каноном для нескольких поколений (по этой самой книге, страницы которой были испещрены непонятными символами готического шрифта, учился и я), писал в некрологе Эмми Нётер:

«Для Эмми Нётер связи между числами, функциями и операциями становились ясными, доступными для обобщения и полезными только после того, как они были отделены от конкретных объектов и сведены к концептуальным связям общего вида».

А вот что писал Эйнштейн:

«Теоретическая математика — своего рода поэзия логичных идей. Ее цель — поиск наиболее общих идей, которые в простом, логичном и общем виде описывают максимально возможный спектр формальных взаимосвязей. На этом пути к логической красоте мы и открываем формулы, позволяющие глубже постичь законы природы».

Основные алгебраические структуры

Внимательно прочтите этот раздел, посвященный азам абстрактной алгебры, — в противном случае вы не поймете ничего из того, о чем говорится в следующих разделах. Этот раздел обширен, но прост, так как содержит исключительно определения.

Основных алгебраических структур, которые рассматриваются как множества с одной или несколькими операциями, много. Мы ограничимся тем, что рассмотрим структуры, на которых определены две операции, o и •. Этими операциями часто оказываются + и •. Порой требуется так называемый третий закон внешней композиции (а иногда и больше), но мы рассмотрим только простейшие случаи. Вместо того чтобы постоянно использовать слова «является элементом», заменим их символом .

Группой называется множество элементов А с определенной на нем операцией o, которая удовлетворяет трем следующим условиям:

1) существует нейтральный элемент n такой, что n о а = а о n = а для любого a  А;

2) для каждого а  А существует обратный элемент а-1 такой, что а о а-1 = а-1 о а = n;

3) для любых a, b, с  А выполняется свойство ассоциативности, согласно которому (а о Ь) о с = а о (Ь о с).

Группа называется коммутативной, или абелевой (в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля), если для любых a, b  А определенная нами операция обладает коммутативностью, то есть выполняется соотношение а о Ь = b о а.

Если на группе определена операция сложения (+), то элемент, обратный а, обозначается — а и называется противоположным. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 0.

Если на группе определена операция умножения (), то элемент, обратный а, обозначается 1/а. Нейтральный элемент в этом случае обозначается 1.

4) для любых а, Ь, с  А справедливо (а Ь) с = а (Ь с).

Операции о и связаны друг с другом свойством дистрибутивности относительно:

5) а (Ь о с) = (а b) о (а с).

Кольцо — это коммутативная группа, на которой определена еще одна операция обладающая свойством ассоциативности:

Примерами колец являются натуральные числа , целые числа , рациональные числа , вещественные числа  и комплексные числа  (вне зависимости от определенной для них модальной арифметики). Многочлены также образуют кольца.

В мире колец операция о обладает коммутативностью аналогично операции сложения, поэтому она обозначается знаком +. Операция (для простоты будем предполагать, что она также обладает коммутативностью) обозначается знаком ·, подобно умножению.

Подгруппой или подкольцом А будет любое подмножество, которое будет оставаться группой или кольцом, если ограничить операции о или этим подмножеством. Идеал — особое подкольцо: это подкольцо В  А такое, что любое произведение b  В и любого другого элемента, принадлежащего В или нет, будет принадлежать В. Идеалы можно складывать и перемножать. Результатами сложения и умножения идеалов также будут идеалы. Понятие идеала возникло как обобщение понятия числа. Для двух данных идеалов I и J имеем:

Определить идеал IJ несколько сложнее. Это идеал, порожденный всеми произведениями ху, где х  I, у  J. Пересечение всех идеалов, содержащих подобные произведения, называется порожденным идеалом.

Областью целостности называется кольцо А, на котором для операции · не существует так называемых делителей нуля. Иными словами, на этом кольце не существует элементов а и b таких, что аb = bа = 0.

В этом случае кольцо А является коммутативным и содержит единичный элемент, то есть для операции определен нейтральный элемент, играющий роль единицы:

а 1 = а.

Теперь рассмотрим область целостности А без 0. Обозначим ее через А* = А|(0). Если операция · определяет на А* коммутативную группу, то А называется полем. Если А* не является коммутативной, то А называется телом. Не стоит пугаться подобных сложностей: если кольцо А конечно, то оно коммутативно согласно знаменитой теореме Веддербёрна. Если кольцо А бесконечно, то наступает раздолье для алгебраистов.

Рассмотрим А-модули — редчайший вид современного алгебраического мира. Чтобы определить левый А-модуль, нам потребуются кольцо с единицей А и коммутативная группа М. Действия с элементами a, b  А и элементами М (m, n  М) определяются следующим, вполне обычным образом:

1. (ab)m= а(Ьm)

2. (а + b) n = am + bm

3. а(m + n) = am + аn

4. 1m = m.

Аналогично определяется правый А-модуль; коммутативный модуль (или просто A-модуль) — это модуль, который является правым и левым одновременно. Если А — поле, то A-модуль называется векторным пространством. Если для векторов векторного пространства определена операция умножения, имеем «алгебру». На этом мы остановимся. Хотя приведенные нами определения элементарны, вполне возможно, что читатель не назовет элементарным этот раздел.

Несколько слов об алгебре, идеалах и нётеровых кольцах

Большая часть научной работы Эмми Нётер была посвящена кольцам и идеалам — алгебраическим структурам, над которыми она работала многие годы. Почему же Нётер уделяла им такое внимание?

Многие объекты, с которыми работают математики, представляют собой кольца: так, кольцами являются множество целых чисел  и его последовательные расширения — ,  и . Кольцами также являются многочлены одной переменной с коэффициентами из вышеуказанных колец [X], [X], [X] и [X]. Аналогично кольцами являются многочлены нескольких переменных [X1, Х2…., Xn], [X1, Х2…., Xn], [X1, Х2…., Xn], и [X1, Х2…., Xn]. А также сходящиеся ряды — короче говоря, много чего еще.