Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

• Название: Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел
• Автор: Антонио Лизана
• Издательство: ООО «Де Агостини»,
• Жанр: Научпоп
• Год: 2012

При жизни Карл Фридрих Гаусс получил титул короля математиков. Личность этого ученого можно сравнить с личностью другого его гениального современника и соотечественника — Вольфганга Амадея Моцарта. Оба были вундеркиндами, которым покровительствовали и помогали получить образование представители власти. Но в отличие от композитора, Гауссу повезло прожить долгую и спокойную жизнь. Он сделал много открытий в таких научных областях, как геометрия, астрономия, физика и статистика.

Прим. OCR: Знак "корень квадратный" заменен на SQRT(), врезки обозначены жирным шрифтом.

---

Несмотря на то что Гаусс пользовался огромным уважением, из-за своего замкнутого характера он стремился заниматься только своими исследованиями и старался остаться незамеченным, хотя иногда мог бы воспользоваться своим авторитетом, чтобы помочь друзьям. Показательно в этом смысле известное дело Гёттингенской семерки 1837 года. В этом году умер король Англии Вильгельм IV, его сменила королева Виктория, однако салический закон, действовавший в государстве Ганновер, запрещал женщине наследовать власть, хотя в тот момент государство входило в состав английской короны. Чтобы спасти положение, было заключено соглашение, и в Ганновере стал править дядя Виктории, Эрнст Август, герцог Камберлендский. Через год новый король отменил Конституцию и другие свободы, что вызвало реакцию со стороны семи профессоров; в их число входили и Вильгельм Вебер, с которым Гаусс уже несколько лет сотрудничал в области изучения физики, и Георг Генрих Август Эвальд (1803-1875), ориенталист, зять Гаусса и его большой помощник. Эти семь преподавателей подписали формальный протест, выступив против абсолютистских действий власти, совершенно не соответствующих духу того времени. Король Эрнст Август, презрев ценных ученых, высокомерно заявил, что может «найти новых преподавателей так же легко, как и балерин балета». Вследствие этого семь подписавшихся потеряли работу и были уволены из университета. Официально Гаусс не выступил в пользу подписавшихся, хотя похоже, что он действовал приватно, встретившись с королем и предложив ему соглашение для восстановления ученых в должности. Однако договор предполагал настолько унизительные и неприемлемые условия этого восстановления для Вебера и Эвальда, что те не пошли на уступки и были вынуждены уехать. Для Гаусса отъезд Вебера означал конец интенсивного сотрудничества, хотя до 1840 года у них были совместные проекты — «Университетский журнал» и «Атлас геомагнетизма».

ИЗМЕРЕНИЕ КОРОЛЕВСТВА

В 1818 году королевство Ганновер поручило Гауссу провести триангуляцию и измерение государства. Это была обычная практика того времени, особенно после того, как французы измерили дугу меридиана. Кроме того, исследования были связаны с текущей необходимостью. Власть понимала высокую ценность геодезических работ, которые позволяли составить точные карты, давая ряд военных и экономических преимуществ. Помимо измерения площадей, геодезия занимается построением карт, которые представляют топографию земли. Для этой работы необходимо установить набор координат, которые определили бы главные точки орографии исследуемой территории.

В ПОИСКАХ ДУГИ МЕРИДИАНА

Как только выяснилось, что Земля является сферой, одним из главных научных стремлений XVIII века стало желание узнать ее точный размер и форму. Идеален ли градус сферичности? А может быть планета немного приплюснута в каком-то месте: на полюсах (по мнению Ньютона) или, наоборот, на экваторе (по мнению Декарта)? Чтобы ответить на оба вопроса, по инициативе Парижской академии наук был разработан проект эксперимента, который состоял в том, чтобы осуществить ряд измерений дуги меридиана на широте экватора (после чего в результате математических операций можно было определить периметр Земли) и сравнить их с другими измерениями на широте полюсов. В 1735 году из Руана группа французских ученых под руководством Пьера Луи Моро де Мопертюи отправилась в Лапландию. В 1736 году отправилась другая экспедиция, в Перу, руководил ею астроном и математик Луи Годен. В состав группы входили самые именитые ученые того времени, а также представители местной испанской власти — моряки и ученые Хорхе Хуан и Антонио де Ульоа. Эта экспедиция длилась почти десять лет (ее члены вернулись в Европу в 1744 и 1745 годах) и в конце концов превратилась в настоящий научный подвиг. К неудовольствию инициаторов экспедиции была доказана правота англичанина Ньютона, однако годы исследований открыли пути для развития самых разных отраслей знания — геодезии, астрономии, навигации, ботаники и так далее. Путешественники, участвовавшие в обеих экспедициях, оставили весьма любопытные свидетельства.

Гравюра, сделанная в 1773 году Кастро Кармоной и показывающая одну из триангуляций, осуществленных в вице-королевстве Перу, чтобы определить длину дуги меридиана. Сложная орография Анд, где высота больше 4000 м, делала измерения особо сложными.

Для измерения территорий чаще всего используется метод, известный под названием триангуляция. В нем применяется тригонометрия — дисциплина, занимающаяся углами и отношениями между ними, для определения положений точек, измерения расстояний или площадей. Для измерения высоты нужной точки выбирались еще две точки так, чтобы образовался треугольник. После этого, измерив углы и расстояния между вершинами треугольника, по тригонометрическим формулам можно было вычислить высоту. Используемая техника была очень простой в теории. Основываясь на предварительно точно вычисленных расстояниях между базовыми точками, участок земли нужно покрыть сетью треугольников, вершины которых визуально связаны, и после этого измерить углы всех этих треугольников. Однако этот метод требует много времени и обширных полевых работ. Кроме того, учитывая отсутствие калькуляторов, сложные арифметические операции были очень трудоемки.

Часть Ганновера еще при Наполеоне была измерена, но работа не была завершена и требовала уточнений. Подобные инициативы стали обычными для Европы, и Шумахер, астроном, с которым Гаусс поддерживал очень хорошие отношения, попросил его включиться в проект. До этого у Шумахера был опыт триангуляции Гольштейна, что позволило ему продолжить свои геодезические исследования в Дании. Гаусса идея привлекла сразу же, и он представил правительству Ганновера полный список того, что ему понадобится для выполнения работ. Положительный ответ пришел очень быстро, ученый был назначен директором проекта, и в качестве помощников ему предоставили несколько солдат. В то время Гаусс и не подозревал, что этот проект станет главной задачей его жизни на следующие восемь лет, поскольку измерения оказались сложнее, чем можно было представить. Исходная идея заключалась в том, чтобы дополнить уже существующие результаты, но вскоре оказалось, что лучше картографировать все государство, поскольку сделанная триангуляция содержала дефекты, а также обходила стороной независимый город Бремен. Задача была связана и с географическими сложностями, особенно в западной части и на побережье, где обширные равнины были покрыты лесами. Для осуществления триангуляции необходимо было найти места с хорошим обзором, а с таким рельефом это было не всегда возможно.

Гаусс принялся за проект со всей отдачей. В те годы весной и летом он редко ночевал дома, путешествуя из деревни в деревню и испытывая все неудобства жизни в сельской местности и летней жары.

В течение почти восьми лет, до 1825 года, Гаусс занимался рутинной и изнуряющей работой: он делал измерения днем и вычисления ночью, и это сильно отвлекало ученого от намного более продуктивной деятельности в области математики. Спустя восемь лет Гаусс передал часть полевой работы в руки своему сыну Иосифу, а за собой оставил вычисления. Мы можем утверждать, что в течение почти 20 лет гениальный Гаусс тратил значительную часть своего времени на скучные астрономические и геодезические вычисления. В результате появилось более 70 записей по геодезии и применению метода наименьших квадратов к картографическим измерениям.

Важным вкладом Гаусса в развитие измерительных приборов, который определял успех картографического проекта, было изобретение гелиотропа (1821) — инструмента для облегчения видимости удаленных точек. Его идея очень проста и основывается на отражении солнечного света от наблюдаемой точки, что позволяет делать очень точные наблюдения даже при не самых благоприятных атмосферных условиях и на расстояния, на которые раньше наблюдение было невозможно. Гелиотроп дожил до изобретения аэрофотограмметрии, которая сегодня, наряду со спутниковыми фотографиями, заменила крупномасштабную топографическую съемку, подобную той, которой руководил Гаусс в Ганновере. После трехлетнего промежутка триангуляция Ганновера вновь началась в 1828 году и продолжилась до 1844 года.

Из публикаций Гаусса по геодезии особенно выделяются две, Bestimmung des Breitenunterschieds zwischen den Stemwarten von Gotinga und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsektor («Определение разности широт между обсерваториями Гёттингена и Альтона из наблюдений с зенитным сектором Рамсдена») 1828 года и Untersuchungen йЬег Gegenstande der Hoheren Geodasie I и II («Исследование по вопросам высшей геодезии I и II»), опубликованные в 1843 и 1846 годах соответственно. Оба труда оказали огромное влияние на последующее развитие геодезии. В этих работах, представляющих интерес только для специалистов, Гаусс изучает случай перехода от части сферы к плоскости, используя сферическую тригонометрию. Сферическая тригонометрия — это адаптация тригонометрии плоскости к сферическим поверхностям. Она необходима, поскольку применение традиционных тригонометрических формул для плоских треугольников невозможно для сферических треугольников. К примеру, для них не выполняется базовый закон о равенстве суммы углов треугольника 180°. Сумма углов сферического треугольника, показанного на рисунке, равна 270°.