Александр Филиппов - Многоликий солитон

• Название: Многоликий солитон
• Автор: Александр Филиппов
• Издательство: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит.
• Жанр: Физика
• Год: 1990
• ISBN: 5-02-014405-3

Одно из наиболее удивительных и красивых волновых явлений — образование уединенных волн, или солитонов, распространяющихся в виде импульсов неизменной формы и во многом подобных частицам. К солитонным явлениям относятся, например, волны цунами, нервные импульсы и др.

В новом издании (1-е изд. — 1985 г.) материал книги существенно переработан с учетом новейших достижений.

Для школьников старших классов, студентов, преподавателей.

---

Предположим для определенности, что грузопружинная модель, изображенная на рис. 5.1, должна приближенно воспроизводить продольные колебания и волны в упругом стержне. Точно так же можно рассмотреть звуковые волны в трубе, поперечные колебания струны и т. п. Идея перехода к непрерывной среде ясна: нужно уменьшать массы грузиков и длины пружинок так, чтобы средняя линейная плотность (т. е. масса на единицу длины ρ1 = m/α) и упругость пружины оставались постоянными.

Сначала надо немного точнее определить, что такое упругость пружины. В правой части уравнения (5.8) написана сила, действующая на n-й грузик при растяжении n-й пружины с длиной α на величину Δl: F = k (yn+1 - yn) = kΔl. Значение коэффициента k должно подбираться так, чтобы стержень и пружинная система одинаковой длины растягивались на одну и ту же величину под действием одной и той же силы.

Удлинения стержня и пружины пропорциональны их длине. Например, если пружинка удлиняется на Δl, то обе ее половинки удлиняются на Δl/2. Это значит, что коэффициент k для пружинки длиной α/2 равен просто 2k. Поэтому, записав силу F = kΔl в виде F = kα(Δl/α), мы получим характеристику упругости пружины, не зависящую от ее длины: для пружины любой длины α величина kα = К одна и та же. Для стержня любой длины l также будет верно соотношение  F = К(Δl/l). Значение К определяется только упругостью стержня и не зависит от его длины.

Уравнение (5.8) легко переписать так, чтобы оно зависело лишь от ρ1 = m/α и К = kα, а не от m и k. После этого можно показать, что для волн, длина которых много больше α, можно при достаточно малых значениях α описать распространение волн в стержне уравнением Д'Аламбера

Движение каждой частицы стержня определяется, если известно решение у (t, х) этого уравнения: уn (t) = y (t, x = nα). Скорость распространения упругих волн по стержню очевидно равна . В качестве упражнения попробуйте «вывести» уравнение (5.12) из уравнения (5.8).

Скорость распространения волн по цепочке можно найти, и не прибегая к уравнению Д'Аламбера. Если по цепочке бежит волна неизменной формы со скоростью v, то она перемещается на расстояние α за время  Δt = α/v.

Отсюда следует, что yn-1(t) = yn(t + Δt) и yn+1(t) = yn(t - Δt) (рис. 5.7). Если рассматривать yn(t) как график движения некоторой точки, то (t) будет скоростью, а (t) — ускорением точки. Приближенно считая движение от момента t - Δt до момента t + Δt равномерно ускоренным, можно написать

Подставляя полученные таким способом выражения для yn-1(t) и yn+1(t) в уравнение (5.8), находим, что [m - k(Δt)2](t) = 0. Отсюда следует, что (Δt)2 = m/k (предполагается, конечно, что в какой-нибудь момент времени   0). Для скорости волны v = α/Δt находим поэтому выражение

Чтобы найти скорость распространения упругих волн (т. е. скорость звука) в реальных твердых телах, надо еще немного преобразовать формулу . В таком виде она, на первый взгляд, зависит не только от вещества, из которого изготовлен стержень, но и от его поперечного сечения S. Действительно, линейная плотность равна произведению обычной объемной плотности ρ на поперечное сечение: ρ1 = ρ • S. Однако упругая постоянная К численно равна силе, необходимой для увеличения длины стержня в два раза (F = К (Δl/l) = К, если Δl = l; при реальном измерении К, естественно, рассматривается лишь малое относительное удлинение Δl/l и К определяется как отношение силы F к вызванному ею относительному удлинению). Ясно, что эта сила пропорциональна площади S, и поэтому К = Е • S, где величина Е уже не зависит от S, а определяется лишь материалом, из которого сделан стержень.

Эту постоянную Е называют модулем Юнга. Значения модуля Юнга и объемной плотности для различных материалов измерены на опыте, и их можно найти в справочниках. Например, для стали ρ = 7,8 г / см3, Е  2,1 • 1012 г/(см • с2). Выражая ρ1 и К через ρ и Е, находим скорость звука в стали v =   5 км/с. Это неплохо согласуется с прямыми измерениями.

Подумайте, как их можно было бы осуществить. Ясно, что легче измерять не скорость, а длину волны . При 10 кГц получаем λ 50 см.

Как измерили скорость звука

До конца XVIII в. думали, что звук в твердых телах передается мгновенно. Первое измерение скорости звука в твердых телах по отношению к скорости в воздухе выполнил в 1797 г. немецкий ученый Эрнст Хладни (1756—1827). Он же провел первые точные и тщательные измерения скорости звука в различных газах, пользуясь для этой цели органными трубами. Хладни получил юридическое образование, а естественные науки изучал самостоятельно. Под влиянием чтения сочинений Бернулли и Эйлера он заинтересовался акустикой и начал изучать звучащие пластинки, в результате чего открыл прославившие его «звуковые фигуры» *). Фигуры Хладни образуются на посыпанных песком колеблющихся пластинках (песок собирается в узлах стоячих волн).

*) Первым сумел сделать звуковые колебания «видимыми» Галилей. Он поместил бокал в воду так, чтобы края его немного выступали над поверхностью. При возбуждении в бокале звуковых колебаний около него на поверхности образуется радиальная рябь поверхностных волн.

Хладни также открыл продольные и вращательные колебания в стержнях, открыл и изучил многие акустические колебательные явления, изобрел несколько музыкальных инструментов, на которых сам играл. Его опыты, всегда отличавшиеся изобретательностью и остроумием, заложили основы экспериментальной акустики, и ему принадлежит первое систематическое изложение акустики, выпущенное в свет в 1802 г. Под впечатлением обаяния личности Хладни, его лекций и опытов, Наполеон выделил 6000 франков для перевода его «Акустики» на французский язык.

Скорость распространения звуковых волн можно оценить и просто из соображений размерности. Так как механизм распространения волн нам уже достаточно понятен, нетрудно сообразить, что скорость звука в стержне зависит лишь от модуля Юнга Е, плотности ρ и, может быть, от длины волны λ: v = d•ЕаρЬλс. Так как [Е] = ML-1Т-2, [ρ] = ML-3, [λ] = L и [v] = LТ-1, то а = -b = 1/2, с = 0, т. е. v = d , где d — неизвестное число (как показано выше, из формулы (5.14) следует, что d = 1).

Любопытно, что простые соображения размерности показали, что скорость звука не может быть пропорциональна какой-нибудь степени. Это значит, что дисперсию (т. е. зависимость скорости от длины волны) из простых соображений размерности получить нельзя. Заметим также, что мы не учли зависимость v от амплитуды колебаний. Это представляется разумным для малых амплитуд, когда эффектами нелинейности можно пренебречь (ср. с формулой (4.1)).

При отсутствии дисперсии из соображений размерности следует независимость скорости звука от амплитуды. Проверьте это, предположив, что в формуле размерности для v показатель с = 0, но введя зависимость от амплитуды.

Точно так же можно оценить скорость звука в жидкостях, например в воде. Только в этом случае вместо модуля Юнга надо взять модуль объемной упругости жидкости К. Он определяется соотношением Δp = K (ΔV/V), где Δp — приращение давления, необходимое для того, чтобы уменьшить объем V на величину ΔV. Эта формула совершенно аналогична соотношению F/S = E(Δl/l) для стержня, и мы сразу можем найти скорость звука в жидкостях: . для воды ρ = 1 г/см3 , К  2,13•1010 г/(cм•c2), так что v  1460 м/с. Заметьте, что скорость звука зависит от плотности, а значит, несколько меняется с температурой.