Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

• Название: Магия математики: Как найти x и зачем это нужно
• Автор: Артур Бенджамин
• Жанр: Прочая научная литература
• Год: 2016
• ISBN: 978-5-9614-4466-7

Почему нельзя было раньше узнавать о числах, алгебре и геометрии в такой увлекательной форме? Почему нельзя было сразу объяснить, зачем нам все эти параболы, интегралы и вероятности. Оказывается, математика окружает нас. Она повсюду! По параболе льется струя воды из фонтана, а инженеры используют свойства параболы, чтобы рассчитать траекторию полета самолетов и спутников. С помощью интегралов можно вычислить, сколько вам нужно линолеума, чтобы застелить помещение непрямоугольной формы. А умение вычислять вероятность события поможет выиграть в покер.

«Магия математики» – та книга, о которой вы мечтали в школе. Все, от чего раньше голова шла кругом, теперь оказывается простым и ясным: треугольник Паскаля, математическая бесконечность, магические свойства чисел, последовательность Фибоначчи, золотое сечение. А ещё профессиональный фокусник Артур Бенджамин делится секретами математических фокусов. Продемонстрируйте их – ваши зрители точно потянутся за калькуляторами, чтобы пересчитать.

---

или примерно 20 % всех возможных комбинаций.

Отступление

Логично спросить, сколько можно собрать вазочек с 3 шариками из 10 сортов, если можно повторяться (10³/6 – ответ неправильный, это ведь даже не целое число). Наиболее простой способ – рассмотреть 3 отдельных случая, взяв за отправную точку количество разных сортов в вазочке. Очевидно, что в случае с 3 шариками одного сорта получится 10 вазочек. Из сказанного выше понятно, что в случае с 3 шариками 3 сортов получится вазочек. А вазочек будут с 2 сортами мороженого, ведь 2 сорта мы можем выбрать способами. И лишь потом можно решать, какие 2 из 3 шариков будут именно этого сорта. Сложив все вместе, получим 10 + 120 + 90 = 220 вазочек.

Есть и другой способ прийти к этому ответу, не разбивая задачу. Каждую вазочку можно представить как комбинацию трех звездочек и девяти черточек. Если мы выбираем первый, второй и снова второй сорта, «перекодированная» вазочка будет выглядеть вот так:

Второй, снова второй и седьмой сорта – вот так:

А комбинация

будет означать, что наш выбор пал на сорта третий, пятый и десятый. То есть вазочка – это набор из 3 звездочек и 9 черточек. Всего получается 12 символов, 3 из которых обязательно должны быть звездочками. Следовательно, возможных комбинаций у нас будет Обобщая, можно сказать, что количество способов выбрать k объектов из множества n при произвольном порядке и с возможностью повторения равно количеству способов сочетания k звездочек и n – 1 черточек –

Подсчет сочетаний необходим в большинстве задач, в которых большую роль играет случайность. Представим себе лотерею, в которой вам нужно угадать 5 различных чисел от 1 до 47. Дополнительно вы выбираете еще одно, МЕГАчисло от 1 до 27 (можно выбирать любое, в том числе и одно из тех, которые уже встречались в пятерке). У нас есть 27 вариантов выбора дополнительного числа, и вариантов выбора основных 5 чисел. Таким образом, общее количество равно

Другими словами, ваш шанс выиграть главный приз в такой лотерее – примерно 1 из 40 миллионов.

Теперь давайте переключим внимание на покер. Комбинация в покере – это обычно 5 карт из 52, составляющих колоду. Все они разные, выбраны случайно, порядок их значения не имеет. Следовательно, количество комбинаций равняется

Комбинация из 5 карт одной и той же масти

называется флешем. Сколько всего может быть флешей? Чтобы посчитать, сначала выберем масть – 1 из 4 вариантов (давайте договоримся, что это будут пики). Сколько всего можно собрать комбинаций разных 5 карт этой масти? В колоде 13 пиковых карт. Значит, флешей всего

и наши шансы получить один из них составляют 5148/2 598 960, то есть примерно 1 к 500. Любители покера теперь могут вычесть из 5 148 4 × 10 = 40, чтобы узнать, какова вероятность, что собрать стрит-флеш – такой флеш, в котором карты одной масти идут подряд по старшинству.

При простом стрите масти в расчет не принимаются, главное – последовательный набор карт: Т-2-3-4-5 или 2-3-4-5-6, или…, или 10-В-Д-К-Т. Вот так, например:

Стрит может сложиться из 10 разных комбинаций (ценность которых определяется «ценностью» младшей карты). Определив ту из них, которая нужна нам (пусть будет 3-4-5-6-7), мы выбираем одну из 4 мастей, которой должны быть все карты. Следовательно, количество комбинаций стрита равняется

10 × 45 = 10 240

то есть почти в 2 раза выше, чем у флеша. А шанс его получить – 1 к 250. Именно поэтому флеш в покере ценится больше: его куда сложнее собрать.

Еще более ценен фул-хаус – 3 карты одного достоинства плюс 2 карты другого. Что-то вроде этого[9]:

Чтобы подсчитать свои шансы на фул-хаус, нам сперва нужно выбрать необходимое нам достоинство, которое попадется нам трижды (13 вариантов), потом – то, которое попадется дважды (12 вариантов). Допустим, нам нужны 3 дамы и 2 семерки. Определимся с мастями. Получить нужных нам дам можно способами, семерки – способами. Общее количество фул-хаусов, таким образом, равняется

13 × 12 × 4 × 6 = 3744

Следовательно, вероятность его собрать – 3744/2 598 960 или 1 к 700.

От фул-хаусов перейдем к двум парам. Здесь нам нужны две карты одного достоинства, еще две – другого, и последняя – третьего, например

Пытаясь посчитать количество возможных пар, многие ошибочно начинают с 13 × 12, как в случае с фул-хаусами. Но теперь нам нужно немного другое, ведь здесь вероятность получить две семерки после двух дам – это абсолютно то же, что и получить двух дам после двух семерок. Поэтому правильно будет начать с (имея в виду и семерки, и дам), потом выбрать новое достоинство для непарной карты (пусть это будет пятерка), затем выбрать масти. Количество комбинаций с двумя парами –

Появляются они в 5 % случаев.

Подробнее на всех вариантах раздач мы останавливаться не будем, но я попрошу вас взглянуть на следующие подсчеты и проверить, насколько они верны. Комбинаций с каре-[10], вроде может быть

с тройкой-[11], например,  –

с одной парой – скажем,  –

всего – 42 % всех возможных комбинаций.

Отступление

А сколько же может быть «пустых» комбинаций – без пар, без стритов и без флешей? Можете, конечно, сложить все числа, которые мы получили до этого и вычесть сумму из но я облегчу вам жизнь и просто дам ответ:

Первая часть – это количество комбинаций 5 карт разного достоинства за вычетом 10 последовательных (вроде 3-4-5-6-7). Следующая часть охватывает вероятные «расклады» этих 5 карт разного достоинства; для каждого достоинства у нас есть 4 варианта, но при этом мы должны исключить возможность того, что все они встретятся в одном «раскладе». Все это значит, что наши шансы собрать «пустую» комбинацию – 50,1 %. А еще это значит, что в 49,9 % случаев мы будем играть как минимум с одной парой.

А теперь вопрос, на который можно дать целых три прелюбопытных ответа, причем правильными из них будут сразу два! Сколько существует комбинаций, в которых есть как минимум один туз? Уверен, вас так и подмывает ответить что, само собой, неправильно. Вы же исходите (и напрасно) из того, что сначала нужно выбрать туза (4 варианта), а потом собирать любые другие 4 карты из 51 оставшейся в колоде. Неправильно здесь то, что вы таким образом просчитываете некоторые комбинации (а именно – те, в которых больше одного туза) несколько раз. Например, комбинация  будет посчитана дважды: сначала для Т♠ в качестве первой, основной карты, а затем так же для Правильный способ решить эту задачу – разбить ее на четыре задачи поменьше, в зависимости от того, сколько тузов будет в комбинации. Так, комбинаций именно с одним тузом будет (сначала выбираем туза, потом – остальные 4 карты другого достоинства). Затем отдельно же просчитываем комбинации с двумя, тремя и четырьмя тузами. В результате получаем

Но проще всего будет пойти от обратного. Сначала посчитаем количество комбинаций без туза (это легче легкого) – А количество комбинаций по крайней мере с одним тузом, таким образом, –

Я уже говорил чуть выше, что «цена» комбинаций в покере зависит от частоты их появлений: чем реже комбинация, тем она «ценнее». То есть если шансов собрать одну пару больше, чем сразу две, одна пара ценится куда меньше двух. Вот «стоимость» всех комбинаций, от меньшей к большей:

Пара

Две пары

Тройка

Стрит

Флеш

Фул-хаус

Каре (или «четверка»)

Стрит-флеш

На этот случай есть эффективная «запоминалка»: «Раз, два, три, стрит, флеш; два-три, четыре, стрит-флеш» (где «два-три» – это фул-хаус).

А теперь предположим, что в колоде появились джокеры. Всего карт у нас становится 54, причем джокеры (всего их два) могут «превращаться» в карту любой масти и любого достоинства – в зависимости от того, что вам нужно для наилучшей комбинации. То есть если у вас на руках и джокер, разумнее всего будет посчитать его тузом, чтобы получилась тузовая тройка. Можно «превратить» джокера и в короля, конечно, но тогда у вас будет две пары, что хуже, чем тройка[12].