Ральф Винс - Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

• Название: Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
• Автор: Ральф Винс
• Жанр: Математика
• Год: 2011
• ISBN: 978-5-9614-1837-8

Книга, основанная на теории вероятностей, статистике и современной теории портфеля, рассказывает о том, как использовать различные методы управления капиталом на фьючерсном, валютном, фондовом и других рынках. Концепции, изложенные в этой книге, в большинстве своем просты, как и практические примеры, наглядно иллюстрирующие их использование в торговле. Сочетая практику современной теории портфеля с концепцией оптимального f, автор показывает, как соизмерять ставки и возможные последствия торговых решений. Стратегии, рассмотренные в этой книге, позволяют определять оптимальное количество контрактов для торговли на любых рынках, максимизировать прибыль при торговле с реинвестированием, рассчитывать весовые коэффициенты компонентов инвестиционного портфеля. Книга ориентирована на профессиональных трейдеров и аналитиков, частных и институциональных инвесторов, работающих на фондовом рынке, рынке FOREX, а также на рынках фьючерсов и опционов.

---

1. Вычислите среднее Х и Y (т. е.  и ).

2. Для каждого периода найдите разность между Х и , а также Y и .

3. Теперь рассчитайте числитель. С этой целью для каждого периода перемножьте ответы из шага 2, другими словами, для каждого периода умножьте разность между Х и  на разность между Y и .

4. Сложите результаты, полученные в шаге 3, за все периоды. Это и есть числитель.

5. Теперь найдите знаменатель. Для этого возьмите результаты шага 2 для каждого периода как для разностей Х, так и для разностей Y и возведите их в квадрат (теперь они будут положительными значениями).

6. Сложите возведенные в квадрат разности Х за все периоды. Проделайте ту же операцию с возведенными в квадрат разностями Y.

7. Извлеките квадратный корень из суммы возведенных в квадрат разностей Х, которые найдены в шаге 6. Теперь проделайте то же с Y, взяв квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y.

8. Умножьте два результата, которые вы нашли в шаге 7, т. е. умножьте квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Х на квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y. Это и есть знаменатель.

9. Разделите числитель, который вы нашли в шаге 4, на знаменатель, который вы нашли в шаге 8. Это и будет коэффициент линейной корреляции r.

Значение r всегда будет между +1,00 и –1,00. Значение 0 указывает, что корреляции нет.

Теперь посмотрите на рис. 1.4. Он представляет следующую последовательность из 21 сделки:

1, 2, 1, –1, 3, 2, –1, –2, –3, 1, –2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, –1, 2, –1, 3.

Чтобы понять, есть ли какая-либо зависимость между предыдущей и текущей сделкой, мы можем использовать коэффициент линейной корреляции. Для значений Х в формуле для r возьмем P&L по каждой сделке. Для значений Y в формуле для r возьмем ту же самую последовательность P&L, только смещенную на одну сделку. Другими словами, значение Y – это предыдущее значение Х (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Отдельные результаты 21 сделки

Рис. 1.5. Отдельные результаты 21 сделки, сдвинутые на 1 сделку

Средние значения различаются, потому что вы усредняете только те X и Y, которые частично перекрывают друг друга, поэтому последнее значение Y (3) не вносит вклад в , а первое значение Х (1) не вносит вклад в .

Числитель является суммой всех значений из столбца Е (0,8). Чтобы найти знаменатель, мы извлечем квадратный корень из итогового значения столбца F и получим 8,555699, потом извлечем квадратный корень из итогового значения столбца G и получим 8,258329, затем перемножим их, что даст в результате 70,65578. Теперь разделим числитель 0,8 на знаменатель 70,65578 и получим 0,011322. Это наш коэффициент линейной корреляции r. В данном случае коэффициент линейной корреляции 0,011322 едва ли о чем-то говорит, но для многих торговых систем он может достигать бóльших значений. Высокая положительная корреляция (по крайней мере 0,25) говорит о том, что большие выигрыши редко сменяются большими проигрышами, и наоборот. Отрицательные значения коэффициента корреляции (между –0,25 и –0,30) подразумевают, что после больших проигрышей следуют большие выигрыши, и наоборот. Для заданного количества сделок с помощью метода, известного как преобразование Z Фишера, коэффициент корреляции можно преобразовать в доверительный уровень. Эта тема рассматривается в приложении C. Отрицательную корреляцию так же, как и положительную, можно использовать в своих интересах. Например, если обнаружена отрицательная корреляция и система показала большой проигрыш, то в следующей сделке можно ожидать большого выигрыша и, таким образом, открыть больше контрактов, чем обычно. Если и эта сделка принесет убыток, то он не должен быть очень большим (из-за отрицательной корреляции).

Наконец, при определении зависимости вы должны провести тесты по разным сегментам данных. Для этого разбейте ваши данные на две или более частей. Если вы увидите зависимость в первой части, тогда посмотрите, существует ли эта зависимость во второй части и т. д. Это поможет исключить случаи, где появляется кажущаяся зависимость, но фактически ее нет.

Использование этих двух инструментов (серийный тест и коэффициент линейной корреляции) поможет ответить на многие вопросы, однако только в том случае, если у вас есть достаточно высокая доверительная граница и/или достаточно высокий коэффициент корреляции. Большую часть времени эти инструменты вряд ли будут вам полезны, так как слишком часто во фьючерсных торговых системах зависимость отсутствует. Если вы получите данные, указывающие на зависимость, то следует обязательно воспользоваться этим обстоятельством в торговле, вернуться и включить новое правило в торговую логику, чтобы использовать зависимость. Другими словами, вы должны вернуться и изменить логику торговой системы, чтобы она учитывала эту зависимость (минуя определенные сделки или разбивая систему на две различных системы: например, одна – для сделок после выигрышей, а другая – для сделок после проигрышей). Таким образом, можно утверждать, что, если в сделках появляется зависимость, вы не максимизировали систему. Зависимость, если она найдена, надо использовать (для этого измените правила системы), пока она не исчезнет. Первой ступенью в управлении деньгами является использование и, следовательно, удаление любой зависимости в сделках. Чтобы узнать о зависимости больше, прочитайте приложение C «Подробнее о зависимости: разворотные точки и тест длины фазы».

Мы рассмотрели зависимость в отношении торговых прибылей и убытков. Можно также поискать зависимость между индикатором и последующей сделкой или между любыми двумя переменными. Чтобы узнать больше об этих концепциях, посмотрите приложение B, а именно раздел «Биномиальное распределение», посвященный статистической оценке торговой системы.

Обычные ошибки в отношении зависимости

Будучи трейдерами, мы должны исходить из того, что в большинстве рыночных систем зависимости не существует, т. е. при торговле в данной рыночной системе мы находимся в среде, где результат следующей сделки не предсказуем на основе результата (результатов) предыдущих сделок. Это не значит, что в рыночных системах никогда не бывает зависимости между сделками. Речь идет о том, что нам следует действовать так, будто зависимости не существует, пока не будет убедительных доказательств обратного. Это произойдет в случае, если счет Z и коэффициент линейной корреляции указывают на зависимость на рынке даже с оптимизированными параметрами системы. Если мы посчитаем, что зависимость есть, когда нет убедительных доказательств, то обманем сами себя и не получим хороших торговых результатов. Даже если система показала зависимость при доверительной границе 95 % для всех значений параметра, это недостаточно высокая доверительная граница, чтобы с уверенностью говорить, что на определенном рынке или в определенной системе зависимость между сделками существует.

Первая ошибка заключается в том, что мы можем отвергнуть гипотезу, которую следует принять. Если, однако, мы принимаем гипотезу, когда ее следует отвергнуть, то совершаем другую ошибку. Не зная заранее, верна или нет гипотеза, мы должны решить, какую цену мы готовы заплатить за первую ошибку, а какую – за вторую. Иногда одна ошибка серьезнее, чем другая, и в таких случаях мы должны решить, принимать или отвергать неподтвержденную гипотезу, выбирая меньшее из двух зол.

Допустим, вы хотите использовать определенную торговую систему, но не уверены, будет ли она работать при торговле в режиме реального времени. Здесь гипотеза состоит в том, что торговая система будет хорошо работать в режиме реального времени. Вы решаете принять гипотезу и торговать с помощью этой системы. Если гипотеза не подтвердится, то вы совершите вторую ошибку и заплатите за нее проигрышами. С другой стороны, если вы решите не торговать по системе, которая на самом деле окажется прибыльной, то совершите первую из рассмотренных нами ошибок. В этом случае цена, которую вы заплатите, – это упущенные прибыли. Что лучше? Ясно, что упущенная прибыль. Хотя из этого примера можно сделать вывод, что если вы собираетесь торговать по системе в режиме реального времени, то ей, конечно, надо быть прибыльной на прошлых данных, но существует и другой мотив для использования этого примера. Если мы допустим, что зависимость есть, когда фактически ее нет, то совершим вторую ошибку. Цена, которую мы заплатим, – реальный убыток. Однако если мы допустим, что зависимости нет, а она на самом деле есть, то совершим первую ошибку и упустим прибыль. Согласитесь, что лучше упустить прибыль, чем понести реальные убытки. Поэтому, пока не будет убедительного доказательства зависимости, вам лучше исходить из того, что прибыли и убытки в торговле (неважно, по механической системе или нет) не зависят от предыдущих результатов. Здесь, как может показаться, существует некий парадокс. Во-первых, если существует зависимость в сделках, то система подоптимальна[1]. Однако о зависимости никогда нельзя говорить с полной уверенностью. Если мы будем действовать, будто зависимость есть (когда фактически ее нет), мы совершим более дорогостоящую ошибку, чем если бы действовали, будто зависимости нет (когда фактически она есть). Допустим, что в системе с историей из 60 сделок на основе серийного теста обнаружена зависимость с доверительным уровнем 95 %. Мы хотим, чтобы наша система была оптимальной, поэтому соответствующим образом изменяем ее правила, чтобы использовать замеченную зависимость. Предположим, после этого у нас остается 40 сделок и зависимости больше нет, в результате мы приходим к выводу, что правила системы оптимальны. Теперь при 40 сделках мы получаем более высокое оптимальное f, чем при 60 (более подробно об оптимальном f далее в этой главе). Если вы будете торговать по этой системе с новыми правилами, использующими зависимость, применяя более высокое сопутствующее оптимальное f, а зависимости на самом деле нет, то результат будет ближе к 60 сделкам, чем к 40 сделкам, в которых были показаны лучшие результаты. Таким образом, f, которое вы выбрали, будет сдвинуто вправо, что выразится в потерях, которые вы понесете из-за того, что предположили зависимость. Если зависимость присутствует, тогда вы будете ближе к пику кривой f, допускающей, что зависимость существует. Если бы вы решили, что зависимости нет, когда фактически она есть, то вы были бы слева от пика кривой f и ваша система была бы подоптимальной (но вы потеряете меньше, чем если бы были справа от пика).