Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка
Все авторские права соблюдены. Напишите нам, если Вы не согласны.
Описание книги "Высшая математика. Шпаргалка"
Описание и краткое содержание "Высшая математика. Шпаргалка" читать бесплатно онлайн.
Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.
причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.
Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение (знак берется в зависимости от знака С).
Рис. 2
После деления получается нормальное уравнение данной прямой:
Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.
Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.
При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х0, у0), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х0, у – у0 т. е. справедливо следующее х = х* + х0, у = у* + у0 или х* = х – х0, у* = у – у0 (* новые координаты точки).
При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):
x = x* cosα – y* sinα;
y = x* sinα + y* cosα
или
x* = x cosα + y sinα;
y* = – x sinα + y cosα.
4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.
Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х2 + у2 = R2, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:
(х – а)2 + (у – b)2 = R2.
Чтобы уравнение Ах2 + Вх + Ау2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х2 и у2 были равны, чтобы В2 + С2 – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).
Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах2 + Вх + Ау2 + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R2 = (В2 + С2 – 4АD) / 4A2.
Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).
Рис. 3
Прямая АА1 называется осью сжатия, отрезок АА1 = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ1 = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А1, В, В1 – вершинами эллипса. Отношение k = b / a коэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.
Каноническое уравнение эллипса: x2 / a2 + y2 / b2 = 1.
Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F1 имеет одно и то же значение 2а (F1M + FM = 2a) (рис. 4).
Рис. 4
Точки F и F1 называются фокусами эллипса, а отрезок FF1 – фокусным расстоянием, обозначается FF1 = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k2 = 1 – ε2.
Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F1M – FM| = 2a. Точки F, F1 называются фокусами гиперболы, расстояние FF1 = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.
Каноническое уравнение гиперболы: х2 / а2 + у2 / (а2 – с2) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b2 = c2 – a2).
Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у2 = 2рх.
Рис. 5
5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость
Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.
Общее уравнение плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.
При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.
Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х1, у1, z1) до плоскости:
Пусть имеются две плоскости А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0. Угол φ между этими плоскостями:
Условие равенства двух плоскостей: А1 / А2 = В1 / В2 = С1 / С2 = D1 / D2. Условие параллельности плоскостей: А1 / А2 = В1 / В2 = С1 / С2. Условие перпендикулярности плоскостей: А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х1, у1, z1) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x1) + В(у – y1) + С(z – z1) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (х1, у1, z1), М2 (х2, у2, z2), М3 (х3, у3, z3):
Подписывайтесь на наши страницы в социальных сетях.
Будьте в курсе последних книжных новинок, комментируйте, обсуждайте. Мы ждём Вас!
Похожие книги на "Высшая математика. Шпаргалка"
Книги похожие на "Высшая математика. Шпаргалка" читать онлайн или скачать бесплатно полные версии.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
Отзывы о "Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка"
Отзывы читателей о книге "Высшая математика. Шпаргалка", комментарии и мнения людей о произведении.