Александр Китайгородский - Невероятно – не факт

• Название: Невероятно – не факт
• Автор: Александр Китайгородский
• Издательство: Молодая гвардия
• Жанр: Математика
• Год: 1972

Книга посвящена применению законов теории вероятностей к различным жизненным ситуациям и в разных областях науки. В ней рассказывается, как пользуются законом вероятности физики и кинорежиссеры, селекционеры и юристы, социологи и механики и т.д.

---

При полной осведомленности, то есть при правильной оценке вероятности события, сумма выигрышей и проигрышей будет стремиться к нулю. Так же как игрок в карты, знаток лошадей на бегах может обыграть других лиц только в том случае, если он оценивает вероятности события правильно, а они ошибаются.

В связи со сказанным интересно остановиться на заблуждении игроков на ипподроме. Им кажется, что хорошее знание лошадей есть залог успешной игры. Дело, однако, обстоит не так, и игрок, ничего не понимающий в лошадях, за долгий период игры придет к такому же финансовому результату, что и знаток. А поскольку ипподром снимает существенный процент ставок, то этим результатом будет, конечно, проигрыш.

Такое положение дел возникает по той причине, что ставки на лошадей, грубо говоря, распределяются пропорционально вероятностям их выигрыша. Но сумма выплаты за выигравшую лошадь обратно пропорциональна вероятности выигрыша. Эта сумма определяется весьма просто: все сделанные ставки складываются и делятся на число билетов, поставленных на выигравшую лошадь.

Здесь полная аналогия с игрой в рулетку, когда сравнивается стратегия двух игроков, один из которых ставит только на «красное» и «черное», а другой только на «номера». У первого вероятность выигрыша равна 1/2, а у второго – 1/36. Первый будет выигрывать часто, но мало; второй редко, но большими суммами. В конечном счете выигрывает зеро, то есть оба игрока проиграют.

Из сказанного следует, что вмешательство, даже самое маленькое, случайности уже делает единичное событие, строго говоря, непредсказуемым, а всю область явлений позволяет зачислить по ведомству проблемы вероятности. К этому важному заключению мы еще вернемся, когда вместо карт, рулетки и бегов займемся поведением молекул.

Закон, найденный Бернулли

Вероятность того, что при случайном броске монета ляжет гербом кверху равняется 1/2. Значит, зная вероятность события, мы можем предсказать, что при стократном бросании монеты герб появится 50 раз? Не обязательно точно 50. Но что-нибудь около этого непременно.

Предсказания, использующие знание вероятности события, носят приблизительный характер, если число событий невелико. Однако эти предсказания становятся тем точнее, чем длиннее серия событий.

Заслуга этого открытия принадлежит Якову Бернулли (1654–1705). Он был замечательным исследователем. Конечно, и Галилей, и Паскаль, и другие мыслители, которые вводили вероятность как дробь, равную отношению благоприятных случаев к общему числу возможных вариантов, превосходно понимали, что на опыте предсказания комбинаторных подсчетов осуществляются приблизительно. Им было ясно, что число бросков, при которых монета ляжет гербом кверху, не равно в точности, а лишь близко к половине от общего числа бросков, а число бросков кубика, приводящих к шестерке сверху, не равно в точности, а лишь близко к 1/6 от общего числа бросков. Но насколько близко, сказать они не могли. На этот вопрос ответ дал Яков Бернулли. Открытый им закон, который мы называем «законом больших чисел», лежит в основе статистической физики; без этого закона не могут обойтись статистики ни одной области знания.

Сущность этого закона весьма проста.

Положим, «честная» монета бросалась тысячу раз, потом еще тысячу раз, потом еще… И так много раз. Разумеется, герб редко появится ровно 500 раз. Будут серии, где отношение числа появляющихся гербов к 1000 будет совсем близко к 1/2, и такие серии, где отклонение будет довольно значительным. Каким закономерностям подчиняется это отклонение от теоретической вероятности? И – самое главное – как будет меняться отклонение от вычисленной вероятности с увеличением числа бросков?

Яков Бернулли строго доказал, что разности отношения удачных бросков к общему числу бросков и теоретического числа вероятности (в нашем примере – отклонения от 1/2) уменьшаются с возрастанием числа бросков, и эти отклонения могут быть сделаны меньше любого малого, наперед заданного числа.

Отношение числа удачных бросков к общему числу бросков называют «частотой». Закон больших чисел можно сформулировать и так: по мере увеличения числа опытов «частота» события сближается со значением вероятности.

Отклонения «частоты» от вероятности при большом числе бросков, измеряемом тысячами, становятся совсем незначительными. О результатах своих немудреных опытов по бросанию монеты поведали миру математики XVIII века. В одном таком опыте герб выпал 2028 раз при общем числе бросков 4000; когда число бросков достигло 12 000, то оказалось, что герб появился 6019 раз; наконец, при числе бросков 24 000 герб выпал 12 012. Частоты при этом изменялись так: 0,507; 0,5016 и 0,5005.

Однако надо ясно представлять себе, что это сближение «частоты» с вероятностью есть лишь общая тенденция. Может случиться, что отклонения от вероятности для меньшего числа опытов окажутся такими же или даже меньшими, как и отклонения при большом числе опытов. Вообще же эти отклонения от предельных законов вероятности носят также статистический характер.

Часть вторая Дела житейские

Вероятность, которой можно и должно пренебречь

Любители парадоксов часто пытаются убедить читателя в противоречиях, которые якобы часто встречаются в проблемах вероятности.

Парадоксы возникают обычно в том случае, если игрой слов пытаются подменить практическую постановку вопроса. Вот пример.

Капитан пожарной команды собирается провести учения. Разумеется, тревога должна быть неожиданной, и он решает выбрать день учений броском игральной кости: единица – понедельник, двойка – вторник… шестерка – суббота (воскресенье у пожарной команды выходной). Казалось бы, все ясно, и день тревоги будет выбран в соответствии с законами случая. Однако предположим, что проходит понедельник, вторник… наконец, пятница, а тревоги нет. Значит, наверняка она будет в субботу. А такого положения допустить нельзя, ведь случайность изгнана. Значит, выбор дней тревоги с элементом случая надо ограничить пятницей. Но, владея сим методом рассуждения и не дождавшись тревоги в четверг, пожарники будут твердо знать, что ее объявят в пятницу. И тогда дни учений надо ограничить четвергом. Но, не дождавшись тревоги в среду, пожарники будут твердо знать, что произойдет в четверг. Также отпадает и среда, и вторник…

Рассуждение это бессмысленно и вовсе не потому, что в понятии вероятности есть противоречия, а потому что полностью лишена содержания сама постановка вопроса. Ясно, что в понедельник утром пожарники могут ожидать проверки в любой из 6 дней, а во вторник в любой из 5, а в среду в любой из 4 и т.д. Парадокс, как всегда, результат игры слов и отрыва слов от действий.

Обращаясь к математику, прошу его написать подряд десять случайных цифр. Он, хитро улыбаясь, пишет подряд десять единиц, а я изображаю на своем лице недоумение. Математик снисходительно поясняет: «Я десять раз подряд бросил монету. Она десять раз упала цифрой кверху. Я обозначил единицей выпадение цифры, и вот вам результат моего опыта. Вы ведь не станете отрицать, что это явление случайное, и также ясно представляете себе, что подобное событие (то есть выпадение цифры 10 раз подряд) вполне возможно – его вероятность около одной тысячной? А с такой вероятностью следует считаться».

Все правильно. Только не следует делать из этого вывод, что в понятии «вероятность» заключены какие-то противоречия и неясности.

Прежде всего отдавайте, пожалуйста, себе ясный отчет, о чем идет речь – о вероятности серии событий (вероятность выпадения монеты десять раз кряду гербом кверху) или о вероятности одного случайного события.

О сериях событий разговор будет позже. А сейчас поговорим об одном событии. Мы ждем этого события.

Сейчас оно произойдет. Каков будет результат? Знаете вы это наперед?

– Я держу в руках камень. Сейчас разожму руки. Что будет?

– Смешной вопрос. Ответ очевиден заранее: камень упадет на землю.

– А теперь я подброшу вверх монету. Какой стороной она упадет на пол?

– Смешной вопрос. Ответ никому заранее неизвестен.

События, исход которых предсказать нельзя, мы называем случайными. Падение камня на землю – событие с достоверным результатом. Падение монеты на пол гербом вверх или вниз – событие со случайным исходом.

Предсказать случайное событие мы не можем (эта фраза есть тавтология – «веревка есть вервие простое»), но можем знать заранее его вероятность.

– Какова вероятность, что эта монета упадет гербом кверху?

– Дайте сюда монету. Так. Она, кажется, правильная, и если центр тяжести ее не смещен, то я не вижу причин, по которой герб был бы лучше цифры. Значит, вероятность, про которую вы спрашиваете, равна одной второй. Соображения симметрии приводят меня к такому заключению.

– Да, а если монета неправильная?