Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

• Название: Принцесса или тигр
• Автор: Рэймонд Смаллиан
• Жанр: Математика

Задачи по логике

---

III Либо утверждение V истинно, либо утверждение VII ложно

IV Утверждение I ложно

V Утверждение II или утверждение IV истинно

VI Утверждение III, ложно

VII В комнате I принцессы нет

VIII В этой комнате сидит тигр, комната IX пуста

IX В этой комнате сидит тигр, и утверждение VI ложно

Узник задумался.

— Но ведь задача неразрешима! — вдруг сердит воскликнул он. — Это нечестно!

— А я это прекрасно знаю, — засмеялся король.

— Очень смешно! — возмутился узник. — Тогда скажите мне по чести хоть одно: пуста комната VIII или же ней кто-то есть?

У короля достало совести ответить, пуста ли комната VIII. Из этого узник сумел догадаться, где находите принцесса.

Так где же находилась принцесса?

Решения

1. Нам известно, что надпись на одной из табличек истинна, а на другой ложна. Возможно ли, чтобы утверждение, написанное на первой табличке, было истинным, а на второй — ложным? Конечно же, нет! Поскольку если первая табличка говорит нам правду, то тогда надпись на второй табличке также должна быть неверной, то есть если принцесса находится в I, а тигр сидит в комнате II, то это заведомо означает что в одной из комнат находится принцесса, а в другой тигр. Но поскольку не может оказаться так, чтобы первое утверждение было истинным, а второе ложным, то ясно, что истинной должна быть вторая надпись, а ложной — первая. Далее, поскольку второе утверждение является истинным, то это означает, что в одной из комнат действительно находится принцесса, а в другой сидит тигр. Теперь, поскольку первая надпись лжет, значит, тигр должен сидеть в комнате I, а принцесса в комнате II. Следовательно, узник должен выбрать вторую комнату.

2. Если надпись II ложна, то принцесса находится в комнате I. Значит, принцесса присутствует хоть в одной из комнат, так что утверждение на табличке I истинно. Поэтому невозможно, чтобы сразу две надписи оказались ложными. Это означает, что оба приведенных утверждения истинны (ведь, согласно условию, они одновременно либо оба истинны, либо оба ложны). Таким образом, тигр сидит в комнате I, а принцесса в комнате II; значит, узнику опять следует выбрать вторую комнату.

3. В тот раз король, по всей видимости, пребывал в благодушном настроении, поскольку в обеих комнатах оказалось по принцессе. Убедимся в этом следующим образом.

Надпись на табличке I означает, что хотя бы одно из двух утверждений верно: в комнате I сидит тигр; в II находится принцесса. (При этом не исключены, что обе возможности осуществляются одновременно.)

Далее, если утверждение на табличке II ложно, то, значит, тигр сидит в комнате I, а тогда первая табличка говорит правду (поскольку выполняется первое из приведенных на ней утверждений). Однако из условий задачи мы знаем, что не может случиться так, чтобы надпись на одной из табличек оказалась истинной, а на другой ложной. Следовательно, поскольку утверждение II истинно, то надписи на обеих табличках одновременно должны быть истинными. Теперь, поскольку на табличке II истинное утверждение, то в комнате 1 находится принцесса. Это означает также, что первый из вариантов на табличке I невозможен, но поскольку, по меньшей мере, один из этих вариантов обязательно выполняется, то это должен быть именно второй вариант. Таким образом, в комнате II также находится, принцесса.

4. Поскольку обе таблички утверждают одно и то же, значит, они одновременно либо говорят правду, либо лгут. Допустим, что обе надписи утверждают правду — тогда в обеих комнатах должны находиться принцессы. В частности, это будет означать, что и в комнате 2 принцесса. Но нам сообщили, что если в комнате 2 находится принцесса, то утверждение на соответствующей табличке должно быть ложным. В результате мы приходим к противоречию, и, следовательно, надписи на обеих табличках не могут являться истинными; они будут ложными. Итак, мы получаем, что в комнате 1 сидит тигр, а в комнате II находится принцесса.

5. Если предположить, что в первой комнате сидит тигр, то мы приходим к противоречию. Действительно, в этом случае утверждение на первой табличке оказывается ложным, что сразу приводит нас к выводу, что ни в одной из комнат нет принцессы, то есть что в обеих комнатах должно сидеть по тигру. В то же время из условия задачи мы знаем — наличие тигра во второй комнате означает, что вторая надпись является верной, то есть в другой комнате должна находиться принцесса. Это противоречит исходному предположению о том, что в первой комнате сидит тигр. Значит, тигр в первой комнате оказаться не может, и, следовательно, там должна находиться принцесса. Таким образом, вторая табличка не лжет — во второй комнате действительно обретается тигр. Итак, принцесса находится в первой комнате, а тигр сидит во второй.

6. Первая надпись утверждает, что в обеих комнатах либо находятся принцессы, либо сидят тигры — ведь только в такой ситуации все равно, какую из комнат выбрать. Пусть, например, принцесса находится в первой комнате. Тогда фраза, приведенная на первой табличке, истинна, отсюда следует, что во второй комнате также находится принцесса. С другой стороны, предположим, что в первой комнате сидит тигр. Тогда первая надпись будет ложной и, значит, в обеих комнатах должны находиться различные обитатели, откуда опять следует, что во второй комнате должна оказаться принцесса. Тем самым доказано, что принцесса должна находиться в комнате II независимо от того, кто занимает комнату 1. Наконец, поскольку принцесса находится в комнате 2, то надпись II является ложной и, следовательно, в комнате I должен сидеть тигр.

7. Первая табличка фактически утверждает, что в обеих комнатах находятся разные обитатели (в одной — принцесса, в другой — тигр), но ничего не говорит нам о том, кто же именно в какой комнате. Если комнату I занимает принцесса, то утверждение таблички I истинно; следовательно, в комнате II должен сидеть тигр. С другой стороны, если в комнате I посажен тигр, то первая надпись оказывается ложной, откуда следует, что на самом деле обитатели обеих комнат должны быть одинаковы, и поэтому в комнате 2 также должен находиться тигр. Итак, в комнате II действительно сидит тигр. Это значит, что вторая надпись является истинной и, следовательно, принцесса должна находиться в первой комнате.

8. Предположим, что верхняя табличка «В этой комнате сидит тигр» прикреплена у дверей комнаты I. Если принцесса находится в этой комнате, то утверждение на табличке будет ложным — однако при этом нарушаются объявленные королем условия. Если же в левой комнате сидит тигр, то надпись на табличке будет истинной — условия, объявленные королем, оказываются нарушенными вновь. Поэтому ясно, что верхняя табличка не может висеть на дверях комнаты I. Значит, она должна находиться на дверях комнаты II; в свою очередь нижняя табличка должна располагаться на первой двери.

Итак, табличка, которая должна висеть на первой двери, гласит: «В обеих комнатах сидят тигры». При этом принцесса не может находиться в комнате I; ведь в противном случае левая табличка оказывается правдивой, что приводит нас к очевидному противоречию, будто бы в обеих комнатах сидят тигры. Следовательно, в комнате I сидит тигр. Отсюда сразу становится ясно, что табличка на дверях этой комнаты ложна, и поэтому в комнате II должна находиться принцесса

9. Утверждения на табличках II и III противоречат друг другу, поэтому по меньшей мере одно из них должно оказаться истинным. Поскольку по условию самое большее одна из трех табличек говорит нам правду, то первая надпись должна быть ложной, и, следовательно, принцесса находится в комнате I.

10. Поскольку табличка на дверях комнаты, где находится принцесса, говорит нам правду, то, значит, принцесса никак не может оказаться в комнате II. Если бы она находилась в комнате III, то все три исходные утверждения были бы истинными, что противоречило бы условиям задачи, согласно которым, по крайней мере, одно из трех приведенных утверждений должно быть ложным. Следовательно, принцесса находится в комнате I. (При этом табличка II утверждает правду, а табличка III лжет.)

11. Поскольку табличка на дверях комнаты, где находится принцесса, говорит нам правду, то, естественно, что принцесса не может оказаться в комнате III.

Допустим теперь, что принцесса находится в комнате II. Тогда надпись на табличке II будет истинной, и следовательно, тигр должен сидеть в комнате I, а комната III окажется пустой. Это также будет означать, что истинной является и надпись на дверях комнаты, где сидит тигр, что невозможно. Значит, принцесса должна находиться в комнате I; при этом в комнате III никого нет, а в комнате II сидит тигр.

12. Если бы король сообщил узнику, что комната VIII пуста, то у последнего не было бы никаких шансов обнаружить принцессу. Но так как узник все же сумел догадаться, где находится принцесса, то, стало быть, король сказал ему, что в комнате VIII кто-то есть.