Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

• Название: Принцесса или тигр
• Автор: Рэймонд Смаллиан
• Жанр: Математика

Задачи по логике

---

Это позволило узнику рассуждать следующим образом.

Принцесса не может находиться в комнате VIII, поскольку если бы это было так, то надпись на табличке VIII оказалась бы верной, — сама же эта надпись утверждает, что в комнате сидит тигр; значит, это сразу приводит нас к противоречию. Таким образом, принцессы в комнате VIII нет, но так как в ней все же кто-то есть (ведь она не пуста) — следовательно, в комнате VIII должен сидеть тигр. Поскольку там находится тигр, табличка на дверях этой комнаты лжет. Наконец, если пуста комната IX, то надпись на табличке VIII должна быть верной — значит, комната IХ не может быть пустой.

Итак, в комнате IX также кто-то есть. Это не может быть принцесса, поскольку тогда табличка на дверях комнаты оказалась бы верной — отсюда сразу следовало бы, что в комнате сидит тигр. Значит, на табличке IX записано ложное утверждение. Далее, если бы неверной оказалась табличка VI, то табличка IX утверждала бы правду. На самом деле это не так, и, следовательно, то, что написано на табличке VI, — истинно.

Далее, поскольку табличка VI верна, это означает, что на табличке III написана ложь. Единственная возможность, чтобы фраза на табличке III оказалась ложной, соответствует случаю, когда табличка V ложна, а табличка VII истинна. Поскольку табличка V ложна, то ложными будут также утверждения на табличках II и IV. Кроме того, поскольку табличка V является ложной, табличка I должна быть истинной. Теперь известно, на каких табличках написана, правда, а на каких ложь, а именно:

I- правда

II- ложь

III- ложь

IV- ложь

V- ложь

VI- правда

VII- правда

VIII- ложь

IX- ложь

Ясно, что принцесса может находиться только в комнатах I VI и VII, поскольку таблички на дверях […] Так как табличка I утверждает правду, то принцесса не может оказаться в комнате VI, наконец, поскольку истинна табличка VII, принцесса не может находиться и в комнате I. Следовательно, принцесса — в комнате VII.

Лечебница доктора Смолля и профессора Перро

Однажды инспектора Крейга из Скотланд-Ярда срочно откомандировали во Францию для проверки одиннадцати лечебниц для умалишенных, где, по слухам, дела обстояли не слишком-то хорошо. В каждой из лечебниц единственными обитателями были пациенты и врачи — причем последние составляли весь персонал этих медицинских учреждений. Каждый обитатель лечебницы, будь то пациент или доктор, либо находился в здравом уме, либо был лишен рассудка. Кроме того, нормальные обитатели были абсолютно нормальны и на сто процентов уверены в том, что они говорят, они твердо знали, что все истинные утверждения действительно являются истинными, а все ложные — на самом деле ложными. В то же время безумные обитатели лечебниц придерживались совершенно противоположных представлений: все истинные утверждения они считали ложными, а все ложные утверждения — истинными. Наконец, надо полагать, что все обитатели лечебниц во всех случаях остаются честными — они всегда верят в то, что говорят.

1. Первая лечебница.

В первой же лечебнице, которую посетил Крейг, он беседовал по очереди с двумя обитателями, которых звали Джонс и Смит.

— Не могли бы вы рассказать мне, — обратился инспектор к Джонсу, — что вам известно о мистере Смите?

— Вам следовало бы называть его доктор Смит, — поправил Джонс. — Ведь это один из врачей нашей больницы.

Позже Крейг задал Смиту вопрос:

— Что вам известно о Джонсе? Он здесь пациент или доктор?

— Он пациент, — ответил Смит.

Поразмыслив некоторое время, инспектор смекнул, что дела в этой лечебнице и в самом деле идут не блестяще: либо один из докторов лишился рассудка и, значит, ему не следует продолжать работу в больнице умалишенных, либо, что еще хуже, один из пациентов является нормальным человеком и вообще не должен находиться здесь.

Как Крейг догадался об этом?

2. Во второй лечебнице.

В другой лечебнице, которую посетил Крейг, один из ее обитателей сообщил инспектору нечто такое, из чего тот смог сделать вывод, что говоривший был пациентом, но во вполне здравом уме, и потому его нужно было выпустить оттуда. Инспектор сразу же предпринял шаги для его освобождения. Не могли бы вы предложить пример такого сообщения?

3. В третьей лечебнице.

В следующей лечебнице некий обитатель высказал утверждение, из которого Крейг смог сделать вывод, что тот является лишившимся рассудка доктором.

Не могли бы вы сформулировать такое утверждение?

4. В четвертой лечебнице.

В следующей лечебнице Крейг спросил одного из ее обитателей:

— Вы пациент?

На что тот ответил: — Да.

Как обстоят дела в этой лечебнице?

5. В пятой лечебнице.

В следующей лечебнице Крейг спросил одного из обитателей:

— Вы пациент?

Тот ответил:

— Думаю, что да.

Все ли обстоит хорошо в этой больнице?

6. В шестой лечебнице.

В следующей лечебнице, куда наведался Крейг, он спросил одного из обитателей:

— Считаете ли вы себя пациентом? Помедлив, тот ответил:

— Думаю, что считаю.

Все ли в порядке в этой лечебнице?

7. В седьмой лечебнице.

Еще более заинтересовало Крейга положение дел в следующей лечебнице. Повстречав двух ее обитателей, назовем их А и В, инспектор выяснил следующее: А думает, что В не в своем уме, а В считает, что А — доктор. Инспектор принял меры, чтобы удалить одного из них из больницы. Кого и почему?

8. В восьмой лечебнице.

Обстановка в следующей лечебнице оказалась совсем запуганной, но в конечном счете Крейг и тут сумел докопаться до сути. По ходу дела он обнаружил следующие обстоятельства:

1. Для любых двух обитателей больницы А и В выполняется условие: А либо доверяет, либо не доверяет В.

2. Некоторые из обитателей больницы являются наставниками для других. Каждый обитатель имеет по крайней мере одного наставника.

3. Ни один обитатель А не желает быть наставником обитателя В, если А не считает, что В доверяет самому себе.

4. Для любого обитателя А всегда найдется обитатель В, доверяющий тем и только тем обитателям лечебницы, которые имеют по крайней мере одного наставника, которому доверяет А. (Другими словами для любого обитателя X выполняется условие: В доверяет X, если А доверяет какому-нибудь наставнику X, и В не доверяет X, если А не доверяет никакому наставнику X.)

5. Существует один обитатель лечебницы, который доверяет всем пациентам и не доверяет никому из докторов.

Инспектор Крейг довольно долго обдумывал сложившуюся ситуацию и в конечном счете все же сумел доказать, что либо один из пациентов находится в здравом уме, либо один из докторов лишился рассудка. Сумеете ли вы найти это доказательство?

9. В девятой лечебнице.

В этой лечебнице Крейг имел беседу с четырьмя ее обитателями А, В, С и D. А считал, что психическое состояние В и С одинаково. В считал, что психическое состояние А и D одинаково. Кроме того, на вопрос инспектора, заданный С: «Являетесь ли вы и D оба докторами?», С ответил: «Нет».

Все ли обстоит благополучно в данной лечебнице?

10. В десятой лечебнице.

Инспектору Крейгу этот случай представляется особенно интересным, хотя раскрыть его оказалось весьма нелегко. Первое, с чем столкнулся инспектор в этой больнице, было то обстоятельство, что ее обитатели любили объединяться в различные комитеты. При этом, как разузнал Крейг, членами комитета могли быть, с одной стороны, как врачи, так и пациенты, а с другой — как люди в здравом уме, так и лишившиеся рассудка. Далее Крейгу удалось выяснить следующие обстоятельства:

1. Все пациенты объединены в один комитет.

2. Все доктора также объединены в один комитет.

3. У каждого обитателя этой лечебницы имеется несколько приятелей, один из которых является его близким другом. К тому же у каждого обитателя лечебницы существует несколько недругов, один из которых является его злейшим врагом.

4. Для любого комитета С справедливо условие: все обитатели, чьи лучшие друзья входят в С, образуют комитет; все обитатели, чьи злейшие враги входят в С, также образуют комитет.

5. Для любых двух комитетов, скажем комитета 1 и комитета 2, существует по крайней мере один обитатель лечебницы D, у которого лучший друг считает, что D входит в комитет 1, а его злейший враг полагает, что D состоит в комитете 2.

Сопоставив все эти факты, Крейг весьма остроумным способом сумел доказать, что либо один из врачей лишился рассудка, либо один из пациентов находится в и здравом уме. Как инспектор догадался об этом?

11. Еще одно затруднение.

Крейг несколько задержался в описываемой лечебнице, поскольку его склонность к теоретическим рассуждениям и тут не дала инспектору покоя — внимание его привлекло еще несколько неясных вопросов. Например, ему было крайне любопытно узнать, объединялись ли все здравомыслящие обитатели лечебницы в один комитет, а также образовывали комитет те обитатели лечебницы, которые лишились рассудка. Не будучи в состоянии ответить на эти вопросы и исходя из условий 1–5 предыдущей задачи, он все же сумел доказать — причем лишь на основании условий 3, 4 и 5,— что обе эти группы не могут образовывать комитеты. Каким образом он это сделал?