Александр Гротендик - УРОЖАИ И ПОСЕВЫ

• Название: УРОЖАИ И ПОСЕВЫ
• Автор: Александр Гротендик
• Издательство: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»
• Жанр: Математика
• Год: 2002
• ISBN: 5-7029-0366-8

Первый перевод с французского книги «Recoltes et Semailles» выдающегося математика современности Александра Гротендика. Автор пытается проанализировать природу математического открытия, отношения учителя и учеников, роль математики в жизни и обществе. Текст книги является философски глубоким и нетривиальным и носит характер воспоминаний и размышлений.

Книга будет интересна широкому кругу читателей - математикам, физикам, философам и всем интересующимся историческими, методическими и нравственными вопросами, связанными с процессом математического открытия и возникновения новых теорий.

---

То, что меня меньше всего устраивало в наших учебниках математики - это полное отсутствие сколько-нибудь серьезного определения понятия длины (кривой), площади (поверхности), объема (тела). Я дал себе обещание, как только появится досуг, восполнить эти пробелы. Я вкладывал в это основную долю моей энергии от 1945 до 1948 г., будучи в то же время студентом Университета Монпелье. Курсы на факультете были составлены не так, чтобы я мог ими довольствоваться. Ни разу не сказав себе этого ясно, я стал чувствовать, что профессора ограничивались повторением своих учебников, точь-в-точь как мой учитель математики в лицее в Манде. И потому я появлялся в университете

только изредка, чтобы держаться в курсе этой вечной «программы». Книг с лихвой хватало, чтобы не испытывать нужды в посещении лекций, но вместе с тем они явно ни в малейшей степени не годились для того, чтобы отвечать на возникавшие у меня вопросы. По правде сказать, они даже не замечали этих вопросов, как не замечали их мои лицейские учебники. При том, что они давали первому встречному правила вычисления длин, площадей и объемов, вкупе с интегралами простыми, двойными, тройными (высшие размерности с осторожностью избегались), вопрос о настоящем определении, казалось, не вставал ни перед моими профессорами, ни перед авторами пособий.

Тогда, по собственному (весьма, впрочем, ограниченному опыту) я вполне мог заключить, что я один на всем свете наделен любопытством к математическим вопросам. Во всяком случае, на протяжении тех лет, проведенных в полнейшем интеллектуальном одиночестве, я думал именно так, нимало о том не тревожась{5}. Кажется, меня тогда вообще не особенно занимало, есть ли в мире хоть один человек, который разделял бы мои интересы. Мне вполне хватало задора «на пари», которое я сам же с собой и заключил: смогу ли я разработать теорию, которая бы всем моим требованиям удовлетворяла.

Я нисколько не сомневался в том, что мне удастся добраться до сути вещей, просто потому, что дал себе труд, подойти к ней поближе, подставить ухо и записывать черным по белому все, что мне говорилось, по мере того как слова звучали ясней. Интуиция в отношении объема, скажем, была неопровержимой. Она не могла быть ничем иным, как отражением действительности, подчас ускользающей, но совершенно надежной и настоящей. Вот эту самую действительность и требовалось уловить - наверное, как ту волшебную сущность рифмы, схваченную и «понятую» однажды. Когда я приступал к этому, семнадцати лет от роду и едва закончив лицей, то думал, что работа займет несколько недель. Я застрял на три года. В итоге я умудрился даже завалить в конце второго курса экзамен по сферической тригонометрии (с «углубленным астрономическим уклоном», sic!) из-за дурацкой ошибки в счете. (Я никогда не был особенно силен в вычислениях, с тех пор как вышел из лицея…) В связи с этим мне пришлось, чтобы закончить свой диплом, остаться на третий год в Монпелье вместо того, чтобы тотчас же ехать в Париж - только там, как меня уверяли, мне выпадет случай повстречать людей, которые были бы в курсе всего реально происходящего в математике. Месье Сула - тот, кто мне все это рассказывал - убеждал меня также, что последние проблемы, которые еще поднимались в математике, были разрешены двадцать или тридцать лет назад неким Лебегом. Он разработал как раз (решительно, удивительное совпадение!) теорию меры и интегрирования, чем и поставил завершающую точку в математике.

Месье Сула, мой профессор «дифференциального исчисления», был человеком доброжелательным и хорошо ко мне относился. Не думаю, чтобы он сколько-нибудь меня разуверил. Должно быть, во мне уже поселилось предвидение того, что математика есть нечто беспредельное по глубине и широте. Есть ли у моря «завершающая точка»? Во всяком случае, мне и в голову не приходило, что я должен пойти разыскать книгу этого Лебега, о которой говорил мне месье Сула, хотя сам и не держал никогда ее в руках. По моим представлениям, между тем, что могло содержаться в книге, и той работой, которую делал я, по-своему, чтобы удовлетворить свое любопытство не было ничего общего.

2. Когда, год или два спустя, я наконец установил связь с математическим обществом в Париже, я узнал среди многого другого, что труд, завершенный мною в моем углу, своими силами и подручными средствами, представлял собой (за небольшим только исключением) нечто, прекрасно известное «всему миру» под названием «Лебеговской теории меры и интеграла». В глазах двух или трех старших математиков, с которыми я говорил об этой работе (и даже показывал рукопись), это была почти что потеря времени, переоткрытие «уже известного». Не припомню, впрочем, чтобы я был разочарован. В ту пору идея заслужить «признание», в виде одобрения или хотя бы интереса других людей к тому, чем я занимался, была еще чужда мне по духу. Кроме того, моя энергия в достаточной мере уходила на освоение в совершенно новой

среде, и в первую очередь на изучение того, что в Париже считалось азбукой для математика{6}.

Однако, вспоминая сейчас эти три года, я прихожу к выводу, что они отнюдь не были растрачены понапрасну. Сам того не зная, тогда, в одиночестве, я научился тому, что составляет суть математического ремесла, и чего заведомо не смог бы преподать мне ни один мастер. При том, что никто мне этого не говорил, при том, что я ни разу не встретил никого, кто делил бы со мной жажду знаний, я все же понял «нутром», так сказать, что я - математик: тот, кто занимается математикой, в полном смысле этого слова, так, как «занимаются» любовью. Математика стала для меня возлюбленной, всегда благосклонной к моим желаниям. Эти годы одиночества заложили основу веры в себя, которая никогда потом не была поколеблена - ни когда я обнаружил (по прибытии в Париж, двадцати лет от роду) всю глубину моего невежества и беспредельность того, что мне предстояло изучить, ни двадцатью годами позже (бурными событиями, связанными с моим безвозвратным уходом из математического общества), ни в эти последние годы, эпизодами подчас нелепыми до безумия - неких «Похорон» (преждевременных, но чисто разыгранных) моих собственных и моего труда, устроенных моими же, в прошлом, ближайшими товарищами…

Иначе говоря, я научился в эти решающие для меня годы быть один{7}. То есть к тому, что хочешь понять, подходить со своей лучиной, не доверяя представлениям, вслух или по умолчанию общепринятым среди более или менее обширной группы, к которой и я чувствовал себя принадлежащим, - или бывших для меня авторитетными по каким-либо другим причинам. Общее согласие утверждало без слов, (как в лицее, так и в университете), что нет оснований ставить вопрос о самом понятии «объема» - это, дескать, нечто «хорошо известное», «очевидное», «без проблем». Я, не задумываясь, сделал шаг сквозь невидимую преграду, и он удался, как нечто само собой разумеющееся. Так же, должно быть, поступил несколькими десятилетиями раньше и сам Лебег. Переступить, будучи не простым исполнителем воли соглашений, ставших у власти, не добровольным узником магического круга, очерченного вокруг нас властной рукой немого законодателя, но самим собой до конца - вот тот самый, уединенный, акт, в котором (и в нем, прежде всего) нам дано «творчество». Все прочее, как правило, прилагается.

Впоследствии мне случалось среди математиков, принявших меня в свой клан, встречать как старших, так и ровесников, заметно более блестящих, более одаренных, чем я. Меня восхищала легкость, с которой они, словно бы играя, овладевали новыми понятиями, жонглируя ими, как будто привычными с колыбели - тогда как я себя чувствовал неповоротливым увальнем, с трудом, как крот, пробивавшим себе дорогу сквозь бесформенную груду вещей, которые (как меня убедили) мне было важно знать, и разобраться в которых от начала до конца я не ощущал в себе сил. Я, в самом деле, никогда не был блестящим студентом, легко побеждающим на престижных состязаниях, в полщелчка усваивающим неприступные программы.

Большинство моих самых блестящих товарищей стали, впрочем, компетентными и известными математиками. И все же теперь, по прошествии тридцати или тридцати пяти лет, я вижу, что они не оставили в современной математике по-настоящему глубоких следов. Им удавались вещи, иногда красивые, в рамках уже законченного контекста; они и помыслить не смели о том, чтоб затронуть самые границы. Они, не подозревая о том, остались узниками кругов невидимых и властных, установленных, как границы для Вселенной, в данную эпоху и в данной среде. Чтобы переступить их, они должны были бы обрести вновь способность, дарованную каждому из них, точь-в-точь как и мне, при рождении - способность быть одному.

Маленький ребенок без труда может быть один. Он одинок от природы, даже если случайная компания ему не досаждает, и при том, что он знает, как потребовать материнский сосок, когда подходит час кормления. И он знает прекрасно, хотя никто ему этого не говорил, что сосок - для него, и он умеет сосать. Но мы зачастую теряем связь с этим ребенком в нас. И постоянно проходим мимо самого лучшего в нас, не удосуживаясь взглянуть…