Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

• Название: ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
• Автор: Даглас Хофштадтер
• Издательство: Издательский Дом «Бахрах-М», 2001.
• Жанр: Математика
• Год: 2001
• ISBN: ISBN 5-94648-001-4

Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.

Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.

Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя. Хофштадтер приглашает в мир человеческого духа и «думающих» машин. Это путешествие тесно связано с классическими парадоксами, с революционными открытиями математика Курта Геделя, а также с возможностями языка, математических систем, компьютерных программ и предметного мира говорить о самих себе с помощью бесконечных отражений.

Начав читать эту книгу,вы попадете в волшебные миры, отправитесь в путешествие, изобилующее увлекательными приключениями, путешествие, после которого вы по-иному взглянете на мир и на самого себя.

Переведенная на 17 языков, книга потрясла мировое интеллектуальное сообщество и сразу стала бестселлером. Теперь и русский читатель получил доступ к одной из культовых книг XX века.

---

Рис. 104. М.К. Эшер. «Кастровалва» (литография, 1930).

Магнификраб в пирожоре

Чудный весенний денек, воскресенье. Черепаха и Ахилл отправились погулять за город, они решили взобраться на гору, на вершине которой, как они слышали, есть замечательная чайная, где к чаю подаются отличные пирожные.

Ахилл: Маг, о маг! Этот краб —

Черепаха: Этот краб??

Ахилл: Я хочу сказать, наш общий знакомый, м-р Краб, кажется мне совершенно магическим созданием… Где вы еще найдете такого разумного краба? Он, может быть, раза в два умнее любого из своих собратьев. Даже в три. Или даже —

Черепаха: Боже мой! Как вы возвеличиваете Краба!

Ахилл: Я всего лишь восхищаюсь его —

Черепаха: О, не надо ничего объяснять — я тоже его поклонница. Кстати о поклонниках Краба — говорила ли я вам, какое занятное письмо один из них недавно послал Крабу?

Ахилл: Не помню. От кого было письмо?

Черепаха: На нем была наклеена индийская марка; имя отправителя — м-р Няунамар.

Ахилл: Интересно, почему человек, который никогда не видел Краба, решил послать ему письмо? И откуда он узнал его адрес?

Черепаха: Видимо, посчитал, что Краб — математик. В письме содержатся некие результаты, которые… О! Легок на помине! Вот и сам Краб, ползет вниз по холму!

Краб: Пока! Приятно было с вами поболтать. Что ж, мне пора. Так наелся — в меня уже ни кусочка не влезет! Я сам только что оттуда — отличное местечко! Вы никогда не были в чайной на горе? Как дела, Ахилл? О, да это же Ахилл! Привет, привет! Не г-жа ли это Черепаха?

Черепаха: Приветствую вас, м-р К Вы собрались сходить в чайную на горе?

Краб: Точно — как вы догадались? Я хочу отведать наполеонов — мое любимое лакомство! Впрочем, я так голоден, что мог бы слопать и лягушку. О, да это же Ахилл! Как дела, Ахилл?

Ахилл: Могло бы быть и хуже.

Краб: Вот и славно! Но умоляю, не давайте мне прерывать вашей ученой беседы. Позвольте мне к вам присоединиться — я постараюсь вам не мешать.

Черепаха: Напротив — я только что собиралась описать то странное письмо, которое вы получили несколько недель тому назад; но думаю, что Ахилл предпочтет получить эти сведения, так сказать, из первых клешней.

Краб: Дело было так. Этот Няунамар, по-видимому, никогда не обучался математике, вместо этого он придумал свои собственные методы для открытия новых математических истин. Некоторые его идеи меня просто поразили — я никогда не видел ничего подобного. Например, он прислал мне карту Индии, которую ему удалось раскрасить, по меньшей мере, в 1729 цветов!

Ахилл: 1729! Вы сказали «1729»?

Краб: Да, а почему вас это удивляет?

Ахилл: Знаете ли, 1729 — очень интересное число.

Краб: И правда, мне это как-то не пришло в голову.

Ахилл: В частности, 1729 — номер того такси, в котором я ехал сегодня утром к Черепахе!

Краб: Как интересно! А не могли бы вы мне сказать заодно и номер того троллейбуса, на котором вы поедете к г-же Черепахе завтра утром?

Ахилл (после минутного раздумья): Я точно не знаю, но мне кажется, что это будет очень большое число.

Черепаха: У Ахилла на эти дела особый нюх.

Краб: Да. Так вот, как я говорил, Няунамар в своем письме также доказал, что каждое четное простое число представляет собой сумму двух нечетных чисел и что не существует положительных целых решений уравнения:

а n + b n = с n, где n = 0

Ахилл: Что? Неужели ему удалось одним махом разрешить все эти классические задачки? Да он, кажется, настоящий гений!

Черепаха: Но постойте, Ахилл — неужели у вас не возникает ни тени сомнения?

Ахилл: Что? Ах да, тени сомнения. Разумеется, возникают. Надеюсь, вы не думаете, что я поверил в то, что Краб действительно получил подобное письмо? Меня не так-то просто обвести вокруг пальца, знаете ли. Наверное, это письмо, г-жа Черепаха, на самом деле получили Вы.

Черепаха: О, нет, Ахилл! То, что письмо было адресовано м-ру Крабу — чистая правда. Я имела в виду, не возникают ли у вас сомнения по поводу содержания самого письма, его странных утверждений?

Ахилл: Почему бы им возникнуть? Гм-м… Разумеется, возникают. Я вообще чрезвычайный скептик, как вы оба отлично знаете. Меня очень трудно в чем-либо убедить, неважно, истина это или ложь.

Черепаха: Отлично сказано, Ахилл. Поистине, вы знаток секретов собственного мозга.

Ахилл: У вас не возникало мысли, друзья, что утверждения Няунамара могут быть ошибочными?

Краб: Честно говоря, Ахилл, поскольку я такой консерватор, я сразу об этом подумал. На самом деле, мне сначала показалось, что это совершеннейшая утка. Но потом я решил, что мало кому удалось бы высосать из пальца такие странные и сложные результаты. В конце концов, все свелось к вопросу: «Что более вероятно: что письмо написано очень талантливым шарлатаном, или что его написал гениальный математик?» И вскоре я вычислил, что более вероятно первое.

Ахилл: Но вы все же проверили его утверждения?

Краб: К чему? Мой вероятностный аргумент намного лучше любого математического доказательства — он вполне убедителен. Однако г-жа Черепаха настояла на строгом доказательстве и мне пришлось проверить все результаты Няунамара. К моему удивлению, они оказались истинными! Я, однако, никогда не пойму, как ему удалось их получить. Наверное, при помощи удивительной и непостижимой восточной магии. Нам этого понять не дано. Это единственное объяснение, которое имеет хоть какой-то смысл.

Черепаха: М-р Краб всегда легко поддавался на удочку мистицизма и всяких странных идей — но мне трудно поверить в подобное объяснение. Я совершенно уверена, что всем вычислениям Няунамара можно найти соответствие в ортодоксальной математике. Я вообще думаю, что, занимаясь математикой, невозможно намного отклониться от традиционного курса.

Ахилл: Это интересное мнение. Думаю, что оно связано с Тезисом Черча-Тюринга и другими подобными темами.

Краб: О, давайте оставим в стороне все эти технические детали — в такой чудесный денек! — и насладимся лучше тишиной леса, пением птиц, и игрой солнечных зайчиков на почках и молодых листочках Хо!

Черепаха: Я — за! Как известно, все поколения Черепах испокон веков наслаждались красотой природы.

Краб: Как и все поколения Крабов.

Ахилл: Вы, часом, не захватили с собой вашу флейту, г-н Краб?

Краб: Разумеется захватил! Я ношу ее с собой везде. Хотите послушать мелодию-другую?

Ахилл: Это было бы прелестно, в таком пасторальном окружении. Вы играете по памяти?

Краб: К сожалению, это выше моих возможностей. Мне нужны ноты. Но это не проблема — у меня с собой есть несколько очень милых пьесок.

(Краб открывает тонкую папку и вытаскивает несколько листов бумаги. На первом листе — следующие символы:

Ea:~Sa=0

Он кладет этот лист на небольшой пюпитр, прикрепленный к флейте, и начинает играть. Мелодия оказывается очень короткой.)

Ахилл: Очень мило. (Заглядывает в ноты и лицо его принимает недоуменное выражение.) Но зачем вы прикрепили к флейте это высказывание теории чисел?

(Краб смотрит на свою флейту, на ноты, затем с удивлением оглядывается.)

Краб: Я вас не понимаю. Какое высказывание теории чисел?

Ахилл: «Ноль не следует ни за каким натуральным числом». Вон там в ваших нотах!

Краб: Это третий постулюд Пеано — у него их пять, и я переложил каждый из них для флейты. Это очень простые и легко запоминающиеся мелодии.

Ахилл: Не понимаю, как можно играть математическое суждение, как если бы оно было нотами!

Краб: Я же вам сказал это вовсе не математическое суждение, а постулюд Пеано! Хотите послушать еще один?

Ахилл: С удовольствием.

(Краб кладет на пюпитр другой лист бумаги, на этот раз Ахилл не спускает с него глаз.)

Я следил за вами, вы смотрели на эту ФОРМУЛУ на листе. Вы уверены, что это музыкальная нотация? Я мог бы поклясться, что это больше напоминает нотацию, которая используется в формализованной теории чисел!

Краб: Как странно. Насколько я могу судить, это ноты, а не математические формулы. Конечно, я весьма далек от математики… Хотите послушать еще какую-нибудь мелодию?