Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

• Название: ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
• Автор: Даглас Хофштадтер
• Издательство: Издательский Дом «Бахрах-М», 2001.
• Жанр: Математика
• Год: 2001
• ISBN: ISBN 5-94648-001-4

Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.

Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.

Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя. Хофштадтер приглашает в мир человеческого духа и «думающих» машин. Это путешествие тесно связано с классическими парадоксами, с революционными открытиями математика Курта Геделя, а также с возможностями языка, математических систем, компьютерных программ и предметного мира говорить о самих себе с помощью бесконечных отражений.

Начав читать эту книгу,вы попадете в волшебные миры, отправитесь в путешествие, изобилующее увлекательными приключениями, путешествие, после которого вы по-иному взглянете на мир и на самого себя.

Переведенная на 17 языков, книга потрясла мировое интеллектуальное сообщество и сразу стала бестселлером. Теперь и русский читатель получил доступ к одной из культовых книг XX века.

---

Черепаха: Думаю что вы правы. В свое время это считалась еретическим открытием, поскольку никто раньше не догадывался о существовании чисел — таких как квадратный корень из двух — которые нельзя представить, как отношение двух целых чисел. Это открытие было ужасно и для самого Пифагора. Он решил что в абстрактном мире чисел обнаружился неожиданный и кошмарный дефект, могу себе представить, в какое отчаяние пришел бедняга.

Ахилл: Простите вы кажется сказали что-то о чае? Кстати — где же та знаменитая чайная? Долго нам еще карабкаться?

Черепаха: Не волнуйтесь мы будем на месте через пару минут.

Ахилл: Гм-м. Я как раз успею просвистеть вам мотивчик, который сегодня утром услышал по радио.

Краб: Погодите минутку, достану бумагу. Я хочу записать эту мелодию. (Копается в папке и вытаскивает чистый лист ) Готово.

(Ахилл начинает свистеть, мелодия оказывается довольно длинной. Краб быстро записывает, стараясь не отстать.)

Можете ли вы повторить несколько последних тактов?

Ахилл: Конечно.

(После нескольких повторений Краб, наконец, заканчивает и с гордостью показывает свою запись

<((SSSSS0*SSSSS0)+(SSSSS0*SSSSS0))=(SSSSSSS0*SSSSSSS0)+(S0*S0))

Λ~Eb:<Ec:(Sc+b)=((SSSSSSS0 SSSSSSS0)+(S0 S0))ΛEd:Ed':Ee:Ee'

<~<d=eVd=e'>Λ<b=((Sd*Sd)+(Sd'*Sd'))Ab=((Se*Se)+(Se'*Se'))>>>>

Затем он берет флейту и играет записанную им мелодию)

Черепаха: Интересно это похоже на индийскую мелодию.

Краб: Нет, мне кажется для индийской мелодии она слишком проста. Впрочем, я не специалист.

Черепаха: Вот мы и пришли! Где мы сядем, на веранде?

Краб: Если вы не возражаете, лучше сесть внутри, я уже и так слишком долго был на солнце.

(Они входят в чайную, полную народа, садятся за единственный свободный столик и заказывают чай с пирожными. Не проходит и получаса, как им приносят поднос с аппетитными сладостями, каждый выбирает свое любимое пирожное.)

Ахилл: Знаете, м р К, мне бы хотелось услышать ваше мнение о мелодии, которую я только что сочинил.

Краб: Покажите, можете записать ее на этой салфетке.

(Ахилл пишет

Aa:Eb:Ec:<~Ed:Ee:<(SSd*SSe)=bV(SSd*SSe)=c>Λ(a+a)=(b+c)>

Краб и Черепаха с интересом изучают его запись)

Черепаха: Как вы думаете, м-р К, это красивая пьеса?

Краб: Гм-м… Я считаю… Мне кажется… (В явном замешательстве ерзает на стуле.)

Ахилл: В чем дело? Достоинства этой пьесы оказалось определить труднее, чем достоинства других моих сочинений?

Краб: Э-э-э… Нет, нет, это совсем не то. Как бы это сказать… дело в том, что мне надо УСЛЫШАТЬ пьесу, чтобы иметь возможность о ней судить.

Ахилл: Так за чем же дело стало? Прошу вас, сыграйте мою пьеску и скажите нам, находите ли вы ее красивой.

Краб: Конечно, конечно… Я был бы чрезвычайно рад сыграть вашу пьесу; вот только…

Ахилл: Что случилось? Вы не можете сыграть эту пьесу? Почему вы колеблетесь?

Черепаха: Неужели вы не понимаете, Ахилл, что исполнить вашу просьбу было бы невежливо и неделикатно по отношению к посетителям и работникам этой замечательной чайной?

Краб (с внезапным облегчением): Верно! Мы не имеем права навязывать другим свою музыку.

Ахилл (подавленно): О, какая жалость… А я-то ТАК надеялся узнать ваше мнение об этой мелодии!

Краб: Ух ты! Чуть не вляпался!

Ахилл: Как? Что значит это замечание?

Краб: Да так, ничего. Просто тот господин чуть не наступил на пирожные, рассыпанные официантом минуту назад. Сегодня здесь вообще необычайное оживление, яблоку негде упасть.

Черепаха: Дело в том, что сегодня будет известно, кто станет счастливым обладателем приза ежегодной лотереи. Раньше в этой лотерее участвовала и я, но уже давно отчаялась. Приз простой — самовар и набор индийского чая, — но получить его хочется многим, поэтому сегодня здесь столько народу.

Ахилл: Вы хотите сказать, что сегодня — день розыгрыша?

Краб: Вот именно, Ахилл.

Ахилл: А-а, понятно, я это запомню.

Краб: Что ж, пожалуй, мне пора ползти домой. Эта суета вокруг розыгрыша меня порядком утомила, а мне еще предстоит утомительный спуск по крутому склону.

Ахилл: До встречи; и спасибо за урок композиции!

Краб: Я и сам получил большое удовольствие; надеюсь, что когда-нибудь мы продолжим наш обмен сочинениями.

Ахилл: Буду ждать этого дня с нетерпением. До свидания!

Черепаха: До свидания, м-р Краб.

(И краб уползает вниз по холму.)

Ахилл: Что за создание! Это ползет маг и волшебник музыки, блестящий флейтист и композитор. Мне кажется, что он в четыре раза умнее любого из своих собратьев. Или даже в пять —

Черепаха: Как вы уже сказали в начале — и, кажется, собираетесь продолжать говорить во веки веков!

ГЛАВА XVII: Чёрч, Тюринг, Тарский и другие

Формальные и неформальные системы 

 НАСТАЛ МОМЕНТ, когда мы уже можем сформулировать один из основных тезисов этой книги любой аспект мышления можно рассматривать как описание на высшем уровне некой системы, которая на низшем уровне управляется простыми и даже формальными правилами. Под «системой» здесь, разумеется, имеется в виду мозг — если не упоминать мыслительные процессы, протекающие в другой среде, такой, скажем, как электрические цепи компьютера. Это создает образ формальной системы, лежащей в основе «неформальной системы» — такой, которая сочиняет каламбуры, находит численные закономерности, забывает имена, «зевает» фигуры в шахматной партии и так далее. То, что мы видим снаружи, — это ее неформальный, явный уровень, уровень программ. С другой стороны, в системе есть также формальный, скрытый уровень (или «субстрат»), уровень аппаратуры — удивительно сложный механизм, переходящий от одного состояния к другому по определенным, физически встроенным в него правилам, согласно поступающим извне сигналам (входным данным).

Нет нужды говорить, что такой взгляд на мозг имеет множество философских и других следствий. Некоторые из них я попытаюсь описать в этой главе. Среди прочего, из этого взгляда, как кажется, следует то, что в своей основе мозг является неким «математическим» объектом. На самом деле, это, в лучшем случае, довольно неуклюжая модель мозга. Дело в том, что даже если в техническом и абстрактном смысле мозг и представляет собой некий тип формальной системы, математики работают с системами простыми и элегантными, в которых все четко определено. Мозгу же, с его десятью миллиардами частично независимых нейронов, соединенных почти случайным образом, далеко до такой ясности, так что он никогда не станет объектом изучения математиков. Если определить «математику» как нечто, чем математикам нравится заниматься, то приходится признать, что свойства мозга — не математические.

Единственный способ понять такую сложную систему как мозг — это использовать блочную картину на все более высоких уровнях, при этом, разумеется, при каждом следующем шаге приходится жертвовать точностью. На высшем уровне мы получаем «неформальную систему», подчиняющуюся такому количеству сложных правил, что у нас пока не хватает слов для ее описания. Именно это — объект поисков специалистов по Искусственному Интеллекту, поисков, которые весьма отличны от математических изысканий. Однако между ними существует некоторая связь — эксперты по ИИ часто имеют математическое образование, а математики часто интересуются работой собственного мозга. Следующий отрывок из автобиографической книги Станислава Улама «Приключения математика» (Stamslaw Ulam, «Adventures of a Mathematician») иллюстрирует этот факт:

Мне кажется, что можно лучше выявить … природу ассоциаций, используя для экспериментов компьютеры. Такое исследование включало бы подразделение на понятия, символы, классы символов, классы классов и так далее, так же, как это делается при исследовании сложных математических или физических систем.

В нашем мышлении должен быть некий метод, некая рекурсивная формула. Группа нейронов начинает работать автоматически, иногда даже без внешнего импульса. Результатом этого повторяющегося процесса является растущая область возбужденных нейронов, которая передвигается по мозгу в зависимости от памяти или чего-то подобного.[48]

Интуиция и Магическая Мистификация Краба

Искусственный интеллект для краткости часто называют ИИ. Мне кажется, что сокращение ИИ могло бы также обозначать Искусственную Интуицию. Цель ИИ — понять, что происходит, когда в мозгу из мириад возможностей делается бесшумный и невидимый выбор той единственной, которая кажется наиболее подходящей в данной сложной ситуации. Во многих жизненных ситуациях дедуктивные рассуждения не годятся — не потому, что они привели бы к неправильным ответам, но потому, что существует огромное множество истинных, но неважных для данной ситуации суждений; приходится принимать в расчет слишком много факторов, и потому логические рассуждения оказываются неэффективными. Взгляните на этот мини-диалог: