Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

• Название: ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
• Автор: Даглас Хофштадтер
• Издательство: Издательский Дом «Бахрах-М», 2001.
• Жанр: Математика
• Год: 2001
• ISBN: ISBN 5-94648-001-4

Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.

Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.

Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя. Хофштадтер приглашает в мир человеческого духа и «думающих» машин. Это путешествие тесно связано с классическими парадоксами, с революционными открытиями математика Курта Геделя, а также с возможностями языка, математических систем, компьютерных программ и предметного мира говорить о самих себе с помощью бесконечных отражений.

Начав читать эту книгу,вы попадете в волшебные миры, отправитесь в путешествие, изобилующее увлекательными приключениями, путешествие, после которого вы по-иному взглянете на мир и на самого себя.

Переведенная на 17 языков, книга потрясла мировое интеллектуальное сообщество и сразу стала бестселлером. Теперь и русский читатель получил доступ к одной из культовых книг XX века.

---

Непротиворечивость: когда каждая теорема, будучи интерпретирована, оказывается истинной (в каком-либо из возможных миров).

Полнота: когда все утверждения, которые истинны (в каком-либо из возможных миров) и выразимы в виде правильно сформированных строчек системы, являются теоремами.

Пример формальной системы, полной на своем скромном уровне — наша система pr в ее первоначальной интерпретации. Все правильные суммы двух положительных целых чисел представлены теоремами данной системы. Можно сказать то же самое по-другому: «Все правильные суммы двух положительных целых чисел доказуемы в данной системе.» (Внимание: используя термин «доказуемые утверждения» вместо термина «теоремы», мы начинаем стирать границу между формальными системами и их интерпретациями. Это не страшно, если мы четко осознаем этот факт, а также то, что некоторые системы допускают множественные интерпретации.) Система pr в первоначальной интерпретации полна; она также непротиворечива, поскольку не содержит таких ложных утверждений, которые были бы — используем наш новый термин — доказуемы внутри системы.

Некоторые читатели могут возразить, что система вовсе не полна, так как она не включает сложения трех положительных целых чисел (например, 2+3+4=9), хотя оно и может быть записано в нотации системы (--p---p----r---------). Однако эта строчка не является хорошо сформированной и поэтому должна считаться такой же бессмысленной как и prp---rpr. Тройное сложение просто не может быть выражено в данной системе, поэтому полнота системы сохраняется.

Несмотря на полноту системы pr в данной интерпретации, эта система, безусловна, далека от того, чтобы полностью выразить понятие истины в теории чисел. Она, например, не может сказать нам, сколько всего простых чисел. Теорема Гёделя о неполноте говорит, что любая «достаточно мощная» система уже в силу своей мощности является неполной, в том смысле, что имеются хорошо сформированные строчки, которые выражают истинные утверждения теории чисел, не являясь при этом теоремами. (Иными словами, в теории чисел имеются истинные утверждения, не доказуемые внутри самой системы.) Системы типа pr, полные но не очень мощные, напоминают патефоны низкого качества — мы сразу видим, что они настолько несовершенны, что никак не могут сделать то, чего бы нам от них хотелось — а именно, сказать нам все о теории чисел.

Как интерпретация может создать или разрушить полноту

Что означает выражение, употребленное мною выше, что «полнота — это максимальное подтверждение пассивных значений»? Оно означает, что если система непротиворечива, но не полна, то существует несоответствие между символами системы и их интерпретациями. Система недостаточно мощна, чтобы оправдать данную интерпретацию. Иногда, если интерпретации немного «подправить», система может стать полной. Для иллюстрации этой идеи давайте взглянем на модифицированную систему pr (включая схему аксиом II) и на выбранную нами интерпретацию.

Изменив систему pr, мы изменили также и интерпретацию символа r с «больше» на «больше или равняется». Мы нашли, что измененная система pr в такой интерпретации непротиворечива; однако в новой интерпретации есть что-то сомнительное. Проблема весьма проста: теперь имеется множество истинных утверждений, не являющихся теоремами. Например, «2 + 3 больше или равняется 1» выражено не-теоремой --p---r-. Просто эта интерпретация слишком небрежна! Она не отражает того, что делают теоремы системы. В такой неряшливой интерпретации система pr неполна. Мы могли бы поправить дело одним из двух способов: (1) прибавив к системе новые правила и, таким образом, сделав ее более мощной и (2) заменив интерпретацию на более аккуратную. В данном случае, заменить интерпретацию кажется более разумной альтернативой. Вместо того, чтобы интерпретировать r как «больше или равняется», мы должны сказать «равняется или больше на 1». После такой модификации система pr становится как непротиворечивой, так и полной. И эта полнота подтверждает правильность нашей интерпретации.

Неполнота формализованной теории чисел

В теории чисел мы снова встретимся с неполнотой; но в этом случае, чтобы исправить ситуацию, нам придется пойти в другом направлении — сделать систему более мощной путем прибавления новых правил. Ирония здесь заключается в том, что каждый раз, когда мы прибавляем новое правило, мы думаем, что уж теперь-то система станет полной! Эта дилемма может быть проиллюстрирована с помощью следующей аллегории.

Представьте себе, что у вас есть патефон и пластинка, которой мы пока дадим пробное название «Канон на тему В-А-С-H». Однако, когда мы проигрываем запись на нашем патефоне, вибрации, производимые записью, создают сильные помехи, мешающие нам узнать мелодию. Следовательно, заключаем мы, что-то должно быть не в порядке — или пластинка, или наш патефон. Чтобы проверить качество пластинки, мы должны прослушать ее на патефоне товарища; а чтобы проверить качество патефона, нам придется проигрывать на нем пластинки товарища, и смотреть, соответствует ли музыка этикеткам на них. Если наш патефон выдержит экзамен, тогда мы заключим, что дефект был в пластинке; с другой стороны, если пластинка пройдет свое испытание, то мы решим, что дефект — в нашем патефоне. Однако каково будет наше заключение, если тест выдержат оба? Вспомните цепь двух изоморфизмов (рис. 20) и подумайте над ответом!

Маленький гармонический лабиринт

Черепаха и Ахилл проводят день в Кони Айленде, огромном парке аттракционов. Купив себе по палочке «сахарной ваты», они решают прокатиться на колесе обозрения.

Черепаха: Это мой любимый аттракцион. Кажется, что едешь так далеко — а на самом деле никуда не попадаешь!

Ахилл: Понятно, почему это вам так нравится. Вы уже пристегнулись?

Черепаха: Да, все ремни на месте. Поехали! Ур-ра!

Ахилл: Я вижу, вы сегодня предовольны.

Черепаха: И не без основания: моя тетушка-гадалка предсказала мне на сегодня необыкновенную удачу. Так что я вся трепещу в предвкушении.

Ахилл: Неужели вы верите в предсказания судьбы?

Черепаха: Вообще-то нет… но говорят, что они действуют, даже когда в них не веришь.

Ахилл: Ну, в таком случае, вам действительно повезло.

Черепаха: Ах, какой вид! Пляж, толпа, океан, город…

Ахилл: И правда, великолепно. Взгляните-ка на вертолет — вон там. Кажется, он летит в нашем направлении. На самом деле, он уже почти над нами.

Черепаха: Странно, оттуда свисает какая-то веревка… и она совсем близко к нам — можно ухватиться…

Ахилл: Смотрите-ка: на конце веревки огромный крюк и на нем — записка.

(Он протягивает руку и срывает записку. Колесо начинает опускаться.)

Черепаха: Ну как, что там написано? Можете разобрать?

Ахилл: Да… Здесь написано: «Приветик, друзья. Будете снова наверху — хватайтесь за крюк, и получите Сюрприз!»

Черепаха: Записка грубовата… но кто знает, к чему это может привести. Может, это начинается обещанное везенье. Давайте попробуем!

Ахилл: Давайте!

(Когда колесо снова начинает подниматься, они расстегивают свои ремни и на самой высокой точке хватаются за гигантский крюк. Внезапно веревка взлетает вверх, унося их к зависшему над их головами вертолету. Большая сильная рука втаскивает их внутрь.)

Голос: Добро пожаловать на борт, лопухи!

Ахилл: К-кто… кто вы такой?

Голос: Позвольте представиться: Гексахлорофен Ж. Удача, Знаменитый Похититель Детишек и Пожиратель Черепах — к вашим услугам!

Черепаха: Ой!

Ахилл (шепотом Черепахе): Вот так «Удача»! Не совсем то, на что мы надеялись… (Удаче): Гм-м-м… если я могу позволить себе смелость спросить куда вы нас везете?

Удача: Хо-хо! На мою небесную кухню с полным электрическим оборудованием, где я собираюсь приготовить вот этот лакомый кусочек (бросая плотоядный взгляд на Черепаху) — райский супчик получится, пальчики оближешь! И не сомневайтесь — я проделываю все это исключительно в усладу моему чревоугодию! Хо-хо-хо!

Ахилл: На это я могу сказать лишь то, что смех у вас довольно злодейский.

Удача (злодейски смеясь): Хо-хо-хо! За эти слова, мои дорогой друг, ты мне дорого заплатишь! Хо-хо!

Ахилл: Ах, господи! Интересно, что он имеет в виду?

Удача: Все очень просто: у меня для вас обоих уготовлена Ужасная Судьба! Погодите — вы у меня попляшете! Хо-хо- хо! Хо-хо-хо!

Ахилл: Ой, мамочка!…

Удача: Вот мы и приехали. Высаживайтесь, друзья, прямо в мою электрическую небесную кухню. (Они заходят внутрь.) Располагайтесь и чувствуйте себя как дома, пока я буду решать вашу судьбу. Вот моя спальня. Вот мой кабинет. Присаживайтесь и подождите меня — я ненадолго, только ножи наточу. Можете пока попробовать мои вина. Мое последнее приобретение — «Витаскин»; там что-то еще на этикетке понаписано, да только я языка не понимаю, так что я называю эту штуку просто: «Вытаскин». Вон та бутылочка, на лосьон смахивает… Я его еще сам не пробовал. Ну, я пошел. Хо-хо-хо! Черепаший супчик! Черепаший супчик! Мое любимое блюдо! (Уходит.)