Андрей Павлов - Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

• Название: Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
• Автор: Андрей Павлов
• Жанр: Математика

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.

Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.

Для учителей и учащихся 9-х классов.

---

Свойство фигуры, которое является одновременно и её признаком, называется характеристическим свойством (критерием) данной геометрической фигуры. В принципе, любое характеристическое свойство фигуры можно принять за её определение.

Иногда для удобства выделяют два частных случая теорем – следствие и лемму. Следствие – это утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы. Лемма – это вспомогательное утверждение, используемое при доказательстве основной теоремы.

Множество всех неопределяемых понятий и отношений, аксиом и теорем называют аксиоматической теорией. Аксиоматическая теория, построенная на основе девяти приведённых аксиом, называется евклидовой.

Несколько дополнительных сведений по аксиоматическому подходу в геометрии. Система аксиом геометрии подбирается не произвольным образом. К ней предъявляются три основных требования: независимости, непротиворечивости и полноты.

Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом нельзя вывести как теорему из других аксиом (тогда данная аксиома была бы лишней).

Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести две теоремы, которые противоречат друг другу.

Систему аксиом называют полной, если какое бы утверждение о свойстве той или иной геометрической фигуры мы ни сформулировали, всегда можно установить – истинно оно или ложно.

Приведённая выше система аксиом евклидовой геометрии удовлетворяет всем трём требованиям (доказано А. В. Погореловым).

Помимо евклидовой существуют и другие аксиоматические теории (неевклидовы геометрии). Например, если девятую аксиому евклидовой геометрии заменить на её отрицание («Через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной»), а остальные оставить без изменения, получим планиметрию Лобачевского. Тогда будут доказаны неожиданные для нас утверждения: «Сумма углов в треугольнике меньше двух прямых», «существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность», «не существует подобных треугольников» и многие другие.

Изменяя систему аксиом, а также меняя неопределяемые понятия и отношения, мы будем получать другие неевклидовы геометрии (сферическую, эллиптическую и так далее).

Помимо аксиоматического, в геометрии широко распространён аналитический подход. Его суть состоит в том, что на плоскости вводится система координат и каждой точке ставится в соответствие пара чисел (х; у) – её координаты. Благодаря этому удаётся записывать уравнения различных фигур (прямых, окружностей и так далее), изучать их свойства. Введение декартовой прямоугольной системы координат и применение алгебраического аппарата нередко позволяют легче решать многие задачи по геометрии.

Обобщением (в определённом смысле) аналитического подхода в геометрии является векторный подход. Разница состоит в том, что на плоскости вводится векторная (аффинная) система координат, причём два базисных вектора не обязательно перпендикулярны друг другу и к тому же могут различаться по длине. Введение векторной системы координат также нередко позволяет быстрее и проще решать целый ряд геометрических задач.

В высшей геометрии весьма распространён групповой подход. Группой называется непустое множество М, на котором определена некоторая операция*, причём выполняются следующие условия:

1) для любых элементов а, в, с из М(а*в)*с = а*(в*с):

2) существует элемент е из М, такой, что а*е = е*а = а:

3) для любого элемента а существует элемент а-1, что а*а-1= а-1*а = е.

В геометрии можно выделить множество групп, например, группу перемещений, группу преобразования подобия. Самой важной группой в планиметрии является группа перемещений плоскости, так как с её помощью вводится понятие равных фигур. Равные фигуры обладают одинаковыми геометрическими свойствами, которые не изменяются (инвариантны) под действием перемещений. В целом можно сказать, что каждая группа преобразований задаёт свою геометрию, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные (неизменяемые) относительно данной группы преобразований.

Инварианты группы перемещений (и других групп) «невидимо» присутствуют при решении задач методом геометрических преобразований. Так, строя образы фигур при различных видах движений (симметрия, параллельный перенос и так далее), мы получаем равные фигуры, что позволяет в ряде случаев успешно решать сложные задачи.

1.2. Вопросы для самопроверки

1. Что изучает геометрия? (1)

2. Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого языка? (1)

3. В каких видах человеческой деятельности нужны знания по геометрии и пространственное воображение? Покажите эту значимость в деятельности: а) рабочего; б) инженера; в) архитектора; r) художника; д) Вас лично в решении бытовых задач. (1)

4. Что изучает планиметрия? Приведите примеры геометрических фигур и их свойств. (1)

5. Назовите основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. (1)

6. Какие вы знаете неопределяемые отношения в курсе геометрии? (1)

7. Что значит дать определение геометрической фигуры? (1)

8. В чем состоит сущность аксиоматического подхода в геометрии? (1)

9. Что такое аксиома? (1)

10. Что такое теорема? (1)

11. Перечислите аксиомы планиметрии. (1)

12. Что значит доказать теорему? (1)

13. Из каких частей состоит теорема? (1)

14. Какая теорема называется: а) обратной; б) противоположной; в) противоположной к обратной? (1)

15. Даны четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной. Какие пары из перечисленных теорем являются эквивалентными? (1–2)

16. В чем состоит сущность метода доказательства теорем от противного? (1)

17. Что такое теорема-свойство и теорема-признак? (1)

18. Что такое характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.)? Как связаны между собой термины «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта»? (1)

19. Какие требования предъявляются к системе аксиом? (3)

20. Как вы понимаете следующие высказывания:

а) система аксиом непротиворечива; (3)

б) система аксиом независима; (3)

в) данная система аксиом – полная (3)?

21. Какая геометрия называется евклидовой? (1)

22. Какие неевклидовы геометрии вы знаете? (3)

23. В чем отличие аксиоматики Лобачевского от систем аксиом Евклида? (3)

24. В чем суть аналитического подхода в геометрии? (2)

25. Что такое аффинная система координат? (2)

26. Что такое группа? В чем суть группового подхода в геометрии? (3)

27. Что такое инвариант? (3)

1.3. Темы для сообщений и рефератов

1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2)

2. Основные факты планиметрии Лобачевского. (3)

3. Особенности геометрии на сфере. (3)

4. Методы доказательства теорем (прямое доказательство, от противного, контрпример, метод симметрии и т. д.). (1–2)

5. Группы преобразований плоскости и их инварианты. (3)

6. Топологические многообразия в геометрии. (3)

§ 2. Основные понятия планиметрии

2.1. Справочная информация

На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто допускаются такие ошибки, как «порочный круг» (например, круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью, а окружность – это граница круга), наличие синонима определяемого термина в определении, пропуск «несущественных деталей» (например, касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, «деталь» – это тот факт, что прямая должна лежать с окружностью в одной плоскости).

Определения геометрических фигур можно дать различными способами:

1. Через род и видовое отличие.

Например: квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Прямоугольник в определении – ближайший род, равенство сторон – видовое отличие.

2. Генетически (указание происхождения понятия).

Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.

3. Через указание свойств фигуры (дескрипции).

Пример: число ? – это то число, которое, будучи умножено на длину диаметра, даёт длину его окружности.

4. Конструктивно (указывается способ построения объекта).

Пример: пусть дана произвольная окружность. Разделим её на n равных частей последовательно расположенными точками А1, А2..., Ап. Замкнутая ломаная A1A2...АnА1 образует правильный n-угольник.

5. Аксиоматически.

К примеру, определение площади фигуры F даётся как числовая функция S(F), удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам).

Другие способы дачи определений в геометрии встречаются крайне редко.

Перейдём к определениям.

Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D .... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ....