Андрей Павлов - Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

• Название: Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
• Автор: Андрей Павлов
• Жанр: Математика

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.

Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.

Для учителей и учащихся 9-х классов.

---

47. а) Сформулируйте теорему косинусов для треугольника. (1)

б) Докажите эту теорему. (1)

48. а) Сформулируйте теорему синусов. (1)

б) Докажите эту теорему. (1)

в) Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений:

равно 2R, где R – радиус описанной около треугольника окружности. (1)

49. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. (2)

50. а) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? (1)

б) Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. (1)

51. а) Докажите, что в правильный многоугольник можно вписать окружность. (1)

б) Докажите, что около правильного многоугольника можно описать окружность. (1)

52. Дан правильный n-угольник со стороной а. Выведите формулы:

а) радиусов вписанной и описанной окружностей; (1)

б) площади n-угольника; (1)

в) угла при вершине. (1)

53. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размера окружности. (3)

54. Как переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот? (1)

55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3)

56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

в) Выведите формулу Герона. (1)

58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1)

б) Выведите эту формулу. (1)

59. Выведите формулы:

где a, b, c – длины сторон треугольника;

S – его площадь;

R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1)

60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1)

61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1)

б) Выведите эту формулу. (3)

62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2)

63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2)

64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2)

б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2)

в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2)

г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1)

65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1)

66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3)

б) Докажите эту теорему. (3)

в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)

67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3)

б) Докажите эту теорему. (3)

в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)

68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)

б) Докажите, что если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны или составляют 180°. (2)

69. Докажите, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. (1)

70. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. (1)

71. Выведите формулу длины медианы треугольника (через его стороны). (2)

72. Выведите формулу длины биссектрисы треугольника (через его стороны). (2)

73. а) Сформулируйте критерий описанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

74. а) Сформулируйте критерий вписанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

3.3. Задачи теоретического характера для самостоятельного решения и разбора на факультативных занятиях

1. Докажите, что

(рис. 113). (1)

Рис. 113.

2. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. (1)

3. Докажите, что сумма внешних А углов выпуклого n-угольника равна 360°. (1)

4. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну. (1)

5. Около какого параллелограмма можно описать окружность? Ответ: поясните. (1)

6. Во всякий ли параллелограмм можно вписать окружность? Ответ: обоснуйте. (1)

7. Около какой трапеции можно описать окружность? Почему? (1)

8. АВ = а, ВС = b. Найдите длину BD (рис. 114). (1)

Рис. 114.

9. АС = a, AD = b. Найдите длину АВ (рис. 115). (1)

Рис. 115.

10. В каком отношении точка X делит отрезок АВ, если известно, что длина всего отрезка АВ так относится к длине большей части АХ, как большая часть к меньшей части ХВ («золотое сечение») (рис. 116)? (1)

Рис. 116.

11. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ. (1)

12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ. (1)

13. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ. (1)

14. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему? (1)

15. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. (1)

16. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. (1)

17. Докажите, что у равнобедренного треугольника:1) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны. (1)

18. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу. (1)

19. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведённые к основанию, лежат на одной прямой. (1)

20. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них. (1)

21. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. (1)

22. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны. (1)

23. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. (1)

24. В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника. (1)

25. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок её, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (1)

26. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат. (1)

27. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон. (1)

28. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. (1)

29. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (1)

30. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. (1)

31. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. (1)

32. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС. (1)

33. Могут ли пересекаться окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d, если R1 + R2 < d? (1)

34. Найдите радиус r окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него. (1)

35. Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых |х| = 3. (1)

36. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), касающейся оси х. (1)

37. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника. (1)

38. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? (1)

39. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали. (1)

40. Даны точки A(0; 1), В(1; 0), С(1; 2), D(2; 1). Докажите равенство векторов АВ и CD.(1)

41. Дан параллелограмм ABCD, AC = a, DB = b. Выразите векторы АВ, СВ, CD и АD через а и b (рис. 117).(1)

Рис. 117.

42. Докажите, что для любого вектора

43. Докажите, что дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны. (2)

44. Докажите правильность соотношения

(рис. 118). (2)

Рис. 118.

45. Докажите правильность соотношения

(рис. 119). (2)

Рис. 119.

46. АВ – касательная. Докажите, что х = ?/2 (рис. 120). (2)

Рис. 120.

47. Докажите, что если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то с тем же коэффициентом подобия подобны соответствующие линейные элементы этих треугольников (высоты, медианы, радиусы описанной и вписанной окружностей, периметры и т. д.). (2)

48. Докажите, что если для четырёх точек плоскости А, В, М и К выполняется одно из следующих условий: а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ?АМВ = ?АКБ; б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом ?АМВ + ?АКБ = 180°, то точки А, В, М и К лежат на одной окружности. (2)