Андрей Павлов - Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

• Название: Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
• Автор: Андрей Павлов
• Жанр: Математика

В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.

Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.

Для учителей и учащихся 9-х классов.

---

Рис. 29.

АВ – диаметр окружности, CD – хорда.

Диаметры окружностей часто обозначают буквами D или d. Очевидно, что D = 2R или d = 2 r.

Дуга окружности – это её часть, ограниченная двумя точками окружности (рис. 30).

Рис. 30.

Точки А и В делят окружность на две дуги:1 и 2.

Сектор круга – часть круга, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой (рис. 31).

Рис. 31.

Радиусы ОА и ОВ разделили круг на два сектора:1 и 2.

Сегмент круга – это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 32).

Рис. 32.

Хорда АВ делит круг на два сегмента:1 и 2.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины (рис. 33).

Рис. 33.

ОА = ОВ = ОС = R.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром (рис. 34). В связи с этим говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ (АО = ОВ).

Рис. 34.

Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания (рис. 35).

Рис. 35.

а – касательная к окружности, А – точка касания, а ? ОА.

Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 36, а; б).

Рис. 36.

а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис. 37).

Рис. 37.

Точки K, L, M – это точки касания окружности, вписанной в ?ABC. OK = OL = OM = r.

В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертёжных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решённой, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

С помощью линейки, как инструмента геометрических построений, можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.

Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность определенного радиуса. Циркулем также можно отложить определенный отрезок на данной прямой от заданной точки.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.

Ломаной А1А2А3...An называется фигура, которая состоит из точек А1, А2 ..., An и соединяющих их отрезков А1A2, A2A3, ..., An-1, Aп. ТочкиА1, А2..., Аn называются вершинами ломаной, а отрезки A142, A2A3 ..., An-1, An – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис. 38).

Рис. 38.

А1A2A3A4 – простая ломаная из трёх звеньев.

Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.

Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 39). Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 40).

Рис. 39.

Рис. 40.

Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины многоугольника, называются диагоналями.

Стороны многоугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 41).

Рис. 41.

ABCD – параллелограмм, т. к. ВС||AD и АВ||CD.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 42).

Рис. 42.

ABCD – прямоугольник, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90°.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 43).

Рис. 43.

ABCD – ромб, т. к. AD||ВС и АВ||DC и AB = BC = CD = AD.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно также сказать, что квадрат – это ромб, у которого все углы прямые (рис. 44).

Рис. 44.

ABCD – квадрат, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90° и АВ = ВС = CD = DA.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами (рис. 45).

Рис. 45.

ABCD и А' В' С' D' – трапеции, т. к. BC||AD, BC||AD.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется раенобокой (рис. 46).

Рис. 46.

ABCD – равнобедренная трапеция (АВ = CD).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции (рис. 47).

Рис. 47.

EF – средняя линия трапеции ABCD: AE = EB, DF = FC.

Пусть ВА – перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С – любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а. Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной (рис. 48).

Рис. 48.

ВА – перпендикуляр к прямой а, ВС – наклонная.

Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у – оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у – осью ординат. Точкой пересечения О – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из полуосей каждой оси называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу х и ординату у по следующему правилу.

Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Аx. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аx. Это число будет положительным, если Аx принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат y, то полагаем х равным нулю.

Ордината j точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординату в некоторой точке Аy. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аy. Это число будет положительным, если Аy принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.