Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

Нэнси широко раскрыла глаза.

— Конечно, знаю. Он играет как раз здесь, в Гринвич-Вилледж.

А вам нравится его манера исполнения?

— Я просто изучаю ее, — ответил Аполлинакс. — А теперь, если бы вы могли указать мне какой-нибудь ресторан, где мы с вами могли бы пообедать, то я бы объяснил вам тайну исчезновения кубика, а затем мы отправились бы слушать Монка.

После того как Аполлинакс, держа Нэнси под руку, ушел, слух о нашем пари быстро распространился среди гостей. Когда наступило шесть часов, все собрались, чтобы узнать, что же написали Аполлинакс и я. Прав оказался он. Событие было логически непредсказуемым, и я проиграл ему десять центов.

Для собственного развлечения читатель может попробовать отгадать, какое будущее событие предсказал Аполлинакс.

* * *

Многие читатели всерьез поверили в существование Аполлинакса (хотя я и сказал, что он был протеже Бурбаки, известного, но не существующего в действительности французского математика) и просили сообщить им, где можно подробнее прочитать о «функции Аполлинакса». И Аполлинакс и Нэнси, так же как и другие участники чаепития, — персонажи двух поэм Т. С. Эллиота «Мистер Аполлинакс» и «Нэнси», которыми открывается его сборник поэм 1909–1962 годов.

Кстати сказать, поэма «Мистер Аполлинакс» посвящена Бертрану Расселу. Когда Рассел в 1914 году посетил Гарвард, Эллиот присутствовал на его лекциях и они встречались за чашкой чая.

Эти встречи и послужили поводом для создания поэмы. Хилберт Донгль — это производное от Херберта Дингля, английского физика, утверждавшего, что если парадокс часов в теории относительности верен, то сама теория относительности неверна (см. главу о парадоксе часов в моей книге «Теория относительности для миллионов»[69]). Телониус Монк — это просто Телониус Монк.

Рассуждение Аполлинакса о грязных свитерах Нэнси заимствовано из небольшой поэмы Пита Хейна, имя которого уже неоднократно упоминалось в нашей книге. Парадокс с числами в вазе взят из «Математической смеси» Дж. Э. Литлвуда.[70] Он показывает, что при вычитании из трансфинитного числа «алеф-нуль» того же числа, умноженного на десять, может получиться нуль. Если перенумерованные карточки вынимать из вазы в последовательности 2, 4, 6, 8…, то в полдень в вазе останется счетное множество карточек, а именно все карточки с нечетными номерами. Точно так же можно вынуть бесконечно много карточек и оставить в вазе любое наперед заданное конечное число карточек. Если, например, вы хотите, чтобы в вазе осталось три числа, то нужно вынимать числа, начиная с 4. Вся ситуация в целом как нельзя лучше иллюстрирует то обстоятельство, что при вычитании из одного числа алеф-нуль другого такого же числа результат неопределен: в зависимости от природы тех или иных бесконечных множеств он может быть равен нулю, бесконечности или любому целому положительному числу.

Фокус с исчезающим кубиком основан на мало известном принципе, открытом Полом Кэрри. Подробное изложение этого принципа можно найти в главе «Исчезновение фигур» моей книги «Математические чудеса и тайны».[71]

Ответы

Фокус с плитками, показанный мистером Аполлинаксом, объясняется следующим образом. Когда все семнадцать плиток выложены в виде квадрата, стороны квадрата не абсолютно прямы, а слегка, на неуловимо малую величину, выпуклы. Когда один кубик взят из коробочки, а оставшиеся шестнадцать плиток перестроены так, что они снова образуют квадрат, его стороны чуть-чуть, на ту же неуловимо малую величину, вогнуты. Этим и объясняется уменьшение площади, покрываемой плитками. Чтобы еще больше усилить впечатление от фокуса, Аполлинакс, перестраивая плитки, незаметно вынул пятый кубик.

Предсказание, записанное Аполлинаксом, гласило: В левый карман вы положите карточку, на которой будет слово «нет».

Парадокс со знакопеременным рядом из четверок объясняется тем, что этот ряд не сходится и его сумма колеблется между 0 и 4. Для объяснения парадокса с вращением резинового шара и Вселенной необходимо более основательно погрузиться в теорию относительности.

Глава 45. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

1. «Квадратобоязнь». В эту игру, которую мы для краткости будем называть KB Б, играют на шахматной доске размером 6x6 клеток.

Один игрок берет себе 18 белых фишек, другой — 18 черных. Каждый из игроков по очереди имеет право поставить одну фишку на любую свободную клетку доски, следя за тем, чтобы его фишки не оказались расположенными в вершинах квадрата. Квадрат может быть любого размера и наклонен под любым углом. Существует 105 различных способов построения квадратов; некоторые из них показаны на рис. 226.

Рис. 226 Четыре из 105 возможных квадратов при игре в «Квадратобоязнь».

Игрок одерживает победу, когда его противник вынужден построить один из 105 возможных квадратов. В КВБ можно играть на доске фишками или на листе бумаги с карандашом в руках. В последнем случае нужно начертить доску и отмечать ходы крестиками и ноликами.

В течение нескольких месяцев после того, как я придумал эту игру, меня не покидала уверенность в том, что KBБ не может закончиться вничью. Позднее Г. М. Мак-Лури, студент-математик из Оклахомского университета, доказал, что ничья все-таки возможна.

Разделив 36 клеток на две группы по 18 клеток в каждой так, чтобы никакие четыре клетки, входящие в одну и ту же группу, не образовывали вершин квадрата, попробуйте показать, каким образом игра в КВБ может закончиться вничью.

2. Головоломка с маневровым тепловозом. Составление железнодорожных составов нередко приводит к трудным задачам из области исследования операций. Задача с маневровым тепловозом, изображенная на рис. 227, обладает тем достоинством, что сочетает в себе простоту формулировки с удивительной трудностью решения.

Рис. 227 Головоломка из области исследования операций.

Тоннель достаточно широк для того, чтобы через него свободно проходил тепловоз, но узок для вагонов. Задача состоит в том, чтобы, пользуясь тепловозом, поменять местами верхний и нижний вагоны и вернуть тепловоз в исходное положение. Тепловоз может тянуть и толкать вагоны спереди и сзади. Вагоны, если это необходимо, можно сцеплять друг с другом.

Лучшим считается решение, при котором требуемый результат достигается наименьшим числом операций. Под «операцией» здесь понимается любой пробег тепловоза между двумя остановками (останавливается тепловоз перед тем, как начать двигаться в обратном направлении, при подходе к вагону, который нужно толкнуть, или когда от него отцепляют вагон, который до того он тянул за собой). Перевод стрелок операцией не считается.

При решении задачи удобно пользоваться наглядной «моделью»: положив на рисунок три монеты различного достоинства, передвигать их по рельсам. Не нужно лишь забывать, что через тоннель может проходить только монетка, изображающая тепловоз. На рис. 227 вагон стоит слишком близко от стрелок. При решении задачи можно считать, что оба вагона расположены намного дальше «к востоку» и на отрезке пути, отделяющем их от стрелок, может разместиться тепловоз с другим вагоном.

Переводить стрелки «на ходу» не разрешается. Например, нельзя переводить стрелку в тот момент, когда тепловоз только протолкнул через нее не сцепленный с ним вагон, чтобы вагон покатился по одной ветке, а тепловоз, не останавливаясь, продолжал движение по другой.

3. Рекламные щиты на шоссе. Смит мчался на машине по шоссе с постоянной скоростью. Рядом с ним в кабине сидела его жена.

— Ты заметила, — обратился он к ней, — что эти надоедливые щиты с рекламой пива расставлены на одинаковом расстоянии друг от друга? Хотелось бы знать, на каком именно.

Миссис Смит посмотрела на часы и сосчитала, сколько рекламных щитов промелькнуло за окном в течение одной минуты.

— Какое странное совпадение! — воскликнул Смит. — Если это число умножить на 10, то получится в точности скорость нашей машины в милях в час.

Предположим, что скорость машины постоянна, щиты расставлены через правильные промежутки, а минута, отмеренная миссис Смит, начинается и кончается в моменты, когда машина находится как раз посреди расстояния, отделяющего один рекламный щит от другого. Спрашивается, чему равно это расстояние?

4. Как разрезать кубик и как разрезать бублик. Инженер, известный своей склонностью к геометрическим построениям, как-то раз пил кофе с бубликом. Прежде чем бросить в чашку кусочек сахара, имевший форму кубика, он положил его на стол и подумал: «Если я проведу горизонтальную плоскость через центр куба, то в сечении, разумеется, получится квадрат. Если я проведу плоскость через центр куба и четыре его вершины, то в сечении получится вытянутый прямоугольник. Если же я проведу плоскость вот так, то…».