Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

К своему удивлению, инженер, мысленно представив себе форму сечения, ясно увидел, что оно имеет форму правильного шестиугольника.

Каким образом он провел секущую плоскость? Если длина ребра куба равна 0,5 дюйма, то чему равна сторона правильного шестиугольника?

Бросив кубик сахару в кофе, инженер обратил внимание на бублик, лежавший перед ним на тарелочке.

«Если я проведу через центр бублика горизонтальную плоскость, то в сечении получатся две концентрические окружности, — сказал он себе. — Если я проведу вертикальную плоскость, проходящую через центр бублика, то в сечении получатся две окружности, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ширине дырки бублика. Если же я проведу плоскость вот так, то…». От удивления он даже присвистнул: сечение имело вид двух пересекающихся окружностей!

Как было проведено последнее сечение? Если бублик имеет форму идеального тора, наружный диаметр которого равен 3 дюймам, а дырка имеет поперечник в 1 дюйм, то чему равны диаметры пересекающихся окружностей?

5. Как разделить пополам инь и ян? Два математика зашли пообедать в китайский ресторан «Инь и ян», расположенный на одной из улиц Манхэттена. Дожидаясь, когда их обслужат, они заговорили о символе, изображенном на карточке меню (рис. 228).

Рис. 228 Монада. Начало инь окрашено в черный цвет, а противоположное ему начало ян — в белый.

— Я думаю, это один из древнейших религиозных символов мира, — сказал один из них. — Вряд ли можно более наглядно и изящно изобразить противоположные начала, действующие в природе: добро и зло, мужчину и женщину, инфляцию и дефляцию, интегрирование и дифференцирование.

— Но этот же символ служит и фирменным знаком Северной Тихоокеанской железной дороги?

— Да. Я знаю, что один из главных инженеров компании видел эту эмблему на корейском флаге во время Чикагской всемирной выставки в 1893 году и уговорил правление сделать ее фирменным знаком. Он считал, что эта эмблема символизирует противоположность огня и воды, приводящих в движение паровоз.

— А как ты думаешь, не вдохновил ли этот древний китайский символ создателей современного бейсбольного мяча?

— Я бы не удивился, если бы узнал, что дело обстоит именно так. Кстати, ты знаешь, что существует изящный метод, позволяющий одной прямой разделить оба символа — инь и ян — на две равновеликие (по площади) части?

Предположим, что граница между символами инь и ян образована двумя полуокружностями. Как в этом случае одновременно разделить оба символа одной и той же прямой на две равные по площади части?

6. Голубоглазые сестры. Если вы случайно встретите двух сестер Джонс (это означает, что каждая из встреченных вами сестер случайным образом выбрана из множества всех сестер Джонс), то в 50 % всех случаев окажется, что обе сестры голубоглазые. Каково, по вашему мнению, общее число голубоглазых девушек среди сестер Джонс?

7. Город, как роза, красный и его возраст. Два профессора (один — английской литературы, другой — математик) встретились в баре факультетского клуба.

— Интересно, — заметил профессор, читавший курс английской литературы, — что некоторым поэтам удается написать лишь одну бессмертную строку. Все остальное в их творчестве не имеет непреходящего значения. Взять, например, Джона Уильяма Бергона.

Его поэмы настолько посредственны, что сейчас их никто не читает, а ведь именно он написал одни из самых замечательных строк в английской поэзии:

Город, как роза, красный,
Вечности вдвое моложе.

Математик, любивший надоедать своим друзьям импровизированными головоломками, задумался на минуту, затем поднял бокал и прочитал следующие стихи:

Город, как роза, красный
Полвечности только прожил.
В два с половиной раза
Был бы наш город моложе
На миллиард лет сразу,
Если бы сам он сбросил
Того миллиарда тяжесть.
Возьми карандаш красный,
Возьми лист бумаги белый,
Вычисли возраст града
Цвета клубники спелой.

Профессор английской литературы давным-давно забыл все, чему его учили в школе на уроках алгебры, поэтому он быстро перевел разговор на другую тему, но для нашего читателя решение задачи не составит никакого труда.

8. Хитроумное состязание. Три колледжа — Вашингтона, Линкольна и Рузвельта—решили провести легкоатлетический матч. В каждом из видов спорта от каждого колледжа выступал один и только один участник.

Сьюзен, студентка колледжа Линкольна, сидела на трибуне и подбадривала своего приятеля, чемпиона колледжа по толканию ядра. Когда она вернулась домой, отец спросил у нее, как выступали спортсмены ее колледжа.

— Мы заняли первое место по толканию ядра, — сказала она, — но матч выиграл колледж Вашингтона. Они набрали 22 очка. Мы и колледж Рузвельта получили лишь по 9 очков.

— А как начислялись очки? — спросил отец.

— Точно не помню, — ответила Сьюзен, — но победитель в каждом виде легкой атлетики получал определенное количество очков, занявший второе место получал меньшее количество очков, а вышедший на третье место получал еще меньше очков. Число очков за каждое место во всех видах присуждалось одинаковое. (Под «числом очков» Сьюзен, конечно, имела в виду целое положительное число.)

— А по скольким видам спорта проводились соревнования?

— Честное слово, не помню, папа. Я все время смотрела толкание ядра.

— А прыжки в высоту были? — спросил брат Сьюзен.

Сьюзен кивнула.

— А кто выиграл прыжки?

Этого Сьюзен не знала.

Как ни странно, но на последний вопрос можно ответить, располагая лишь теми сведениями, которые мы уже имеем. Итак, какой колледж выиграл соревнования по прыжкам в высоту?

9. Термит и 27 кубиков. Представим себе большой куб, склеенный из 27 меньших деревянных кубиков одинакового размера (рис. 229).

Рис. 229 К задаче о термите и кубиках.

Термит садится на центр грани одного из наружных кубиков и прогрызает ход, пронизывающий все кубики. Побывав в одном кубике, термит уже больше к нему не возвращается. Двигается он при этом всегда параллельно какому-нибудь ребру большого куба, но никогда—параллельно диагонали.

Может ли термит прогрызть все 26 внешних кубиков, побывав в каждом из них лишь по одному разу, и закончить свой ход в центральном кубике? Если это возможно, покажите, каким должен быть путь термита. Если же вы считаете, что это невозможно, докажите свое утверждение.

Предполагается, что после того, как термит прогрыз наружную грань самого первого кубика, его путь пролегает целиком внутри большого куба. В противном случае он мог бы выбраться на поверхность большого куба и переползти в начальную точку нового хода. При этом никакой задачи, разумеется, не возникло бы.

Ответы

1. На рис. 230 показана игра в КВБ, закончившаяся вничью. Это изящное решение, найденное Мак-Лури, очень непросто.

Рис. 230 Ничья при игре в КВБ.

Двое читателей, перебрав все возможные случаи, показали, что оно единственно с точностью до небольших вариаций в четырех клетках доски, указанных стрелками. Каждая из этих клеток может быть любого цвета, но все четыре клетки не должны быть одного и того же цвета, а поскольку каждый игрок имеет лишь восемнадцать фишек, то две из этих четырех клеток должны быть одного цвета, а две — другого. Расположены они так, что, как бы мы ни поворачивали доску, схема их размещения с точностью до цвета остается неизменной.

Доска размером 6x6 клеток — самая большая из досок, на которых возможна ничья. Это доказал в 1960 году Роберт А. Джьюитт.

Он сумел показать, что ничья невозможна на доске размером 7x7 клеток, а поскольку все большие доски содержат подквадрат из 7x7 клеток, то ничья на них также невозможна.

При игре в КВБ на доске размером 6x6 клеток всегда можно добиться ничьей. Следуя довольно простой симметричной стратегии, второй игрок всегда может свести игру вничью. Он может в ответ на каждый ход противника ставить свою фишку на поле, расположенное симметрично вертикальной или горизонтальной оси доски, или на поле, в которое переходит при повороте на 90° вокруг центра доски клетка, занятая последней фишкой противника (во втором случае может возникнуть позиция, изображенная на рис. 230). Возможна и другая стратегия: последнюю занятую противником клетку соединить с центром доски и, продолжив отрезок прямой по другую сторону от центра, занять клетку на этой прямой, отстоящую от середины доски на то же расстояние, что и клетка противника. Все стратегии применимы к любым доскам четного порядка, а поскольку на досках, порядок которых превышает 6, ничья невозможна, эти стратегии обеспечивают победу второму игроку на всех досках четного порядка, начиная с 8. Даже при игре на доске 6x6 зеркальносимметричная стратегия (когда второй игрок «отражает» ходы первого в оси, делящей доску пополам и параллельной ее краю) заведомо обеспечивает победу, поскольку единственная позиция, при которой достигается ничья, не обладает зеркальной симметрией.