Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

• Название: Математические головоломки и развлечения
• Автор: Мартин Гарднер
• Издательство: "Мир"
• Жанр: Развлечения
• Год: 1999
• ISBN: 5-03-003340-8

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.

---

6. По всей видимости, в семье Джонсов имеются четыре сестры и у троих из них голубые глаза. Если имеется n девушек и у Ь из них глаза голубого цвета, то вероятность того, что выбранные случайным образом две девушки будут голубоглазыми, равна

Мы знаем, что в нашем случае эта вероятность равна 1/2, поэтому задача сводится к отысканию таких целочисленных значений Ь и n, при которых выписанное выражение имеет значение 1/2. Наименьшими из таких значений являются n = 4 и Ь = 3. Ближайшие по величине значения составляют n = 21, b = 15, но, поскольку крайне невероятно, чтобы в одной семье была 21 сестра, мы будем считать ответом первую пару значений: четыре сестры, из которых три — голубоглазые.

7. Возраст «как роза, красного» города составляет семь миллиардов лет. Пусть х — возраст города, у — возраст вечности (в миллиардах лет). Миллиард лет назад возраст города составлял х — 1, а возраст вечности через миллиард лет составит у + 1 миллиардов лет. Условия задачи позволяют записать два простых уравнения:

Из этих уравнений мы находим х — возраст города; оказывается, х = 7000000000 лет, а у — возраст, достигнутый вечностью, равен 14 миллиардам лет. Сама постановка задачи предполагает, таким образом, теорию образования Вселенной в результате Большого взрыва.

8. Из-за ограниченности места мы лишь наметим способ, пользуясь которым можно показать, что соревнования по прыжкам в высоту на легкоатлетическом матче трех колледжей выиграл колледж Вашингтона.

За первое, второе и третье места в каждом виде соревнований присуждалось различное (но непременно целое и положительное) число очков. За первое место победившая команда не может получить меньше 3 очков. В то же время мы знаем, что соревнования проводились по крайней мере по двум видам легкой атлетики (толканию ядра и прыжкам в высоту) и что колледж Линкольна (выигравший соревнование по толканию ядра) набрал 9 очков, поэтому число очков, присуждаемых за первое место, не может быть меньше 8. Может ли оно быть равным 8? Нет, потому что это означало бы, что соревнования проводились только по толканию ядра и прыжкам в высоту и колледж Вашингтона не мог бы набрать 22 очка. Число очков, присуждаемых за первое место, не может быть равным и 7, потому что в этом случае соревнования могли бы проводиться не более чем по трем видам легкой атлетики, а трех видов недостаточно для того, чтобы колледж Вашингтона набрал 22 очка. Несколько более сложными рассуждениями можно показать, что число очков, присуждаемое за первое место, не равно 6, 4 и 3. Единственной возможностью остается число 5.

Если команда, занявшая первое место получает 5 очков, то соревнования должны проводиться по крайней мере по пяти видам спорта (при меньшем числе видов колледж Вашингтона не наберет 22 очка, при большем — колледж Линкольна наберет больше 9 очков). Колледж Линкольна получает 5 очков за толкание ядра и, следовательно, по 1 за участие в соревнованиях по четырем другим видам спорта. Колледж Вашингтона может набрать 22 очка в двух случаях: получив 4, 5, 5, 5, 3 очка и получив 2, 5, 5, 5, 5 очков. Первая возможность исключается потому, что тогда колледж Рузвельта набрал бы 17 очков, а мы знаем, что его команда набрала всего лишь 9 очков. Оставшаяся возможность приводит к правильному числу очков у колледжа Рузвельта, и, таким образом, число очков, полученных каждой командой, восстанавливается однозначно (см. таблицу).

Колледж Вашингтона выигрывает соревнования по всем видам спорта, кроме толкания ядра, следовательно, он должен занять первое место и по прыжками в высоту.

Предположение о единственности ответа на задачу позволяет намного сократить решение. Вот что написала по этому поводу одна из читательниц:

Уважаемый мистер Гарднер!

Знаете ли вы, что эту задачу можно решить вообще без всяких вычислений? Ключ к решению дает последнее замечание в условии задачи. Там говорится, что, решив соответствующие уравнения в целых числах, мы однозначно определим колледж, выигравший соревнования по прыжкам в высоту. Это может происходить лишь в одном случае: когда один колледж: выигрывает соревнования по всем видам спорта, кроме толкания ядра. В противном случае при имеющейся у нас информации задачу нельзя было бы решить даже после того, как мы подсчитали бы, сколько очков получала команда за каждое место и по скольким видам спорта проводились соревнования. Поскольку колледж, выигравший соревнование по толканию ядра, не был абсолютным победителем матча, ясно, что команда, выигравшая матч, заняла первые места по всем остальным видам спорта. Следовательно, без всяких вычислений можно сразу сказать, что соревнования по прыжкам в высоту выиграл колледж Вашингтона.

9. Термит не может прогрызть 26 наружных кубов и закончить свое путешествие в центральном кубике. Это легко доказать, если представить, что кубики окрашены в шахматном порядке в какие-нибудь два цвета (они расположены, как ячейки в трехмерной шахматной доске или атомы хлора и натрия в кубической кристаллической решетке поваренной соли). Большой куб будет состоять из 13 кубиков одного и 14 кубиков другого цвета. Цвета кубиков на пути термита должны правильно чередоваться. Когда термит прогрызет все 27 кубиков, то начало и конец проделанного им хода должны принадлежать двум из 14 кубиков. Центральный же кубик принадлежит другому набору — из 13 кубиков. Следовательно, решения задачи не существует.

Задача допускает обобщение. Куб четного порядка (то есть склеенный из четного числа кубиков) состоит из одинакового числа кубиков каждого из двух цветов. Центрального кубика нет. Путь термита может начинаться с любого кубика одного цвета и заканчиваться в любом кубике другого цвета. У куба нечетного порядка маленьких кубиков одного цвета на один больше, чем кубиков другого, поэтому путь термита должен начинаться и заканчиваться на кубиках из большего набора. В кубах нечетного порядка 3, 7, 11, 15, 19… центральные кубики принадлежат меньшему набору, и проделанный термитом ход не может заканчиваться в них. У кубов нечетного порядка 1, 5, 9,13,17… центральные кубики принадлежат к большему набору, и в этих случаях ничто не мешает термиту закончить свой путь в самом центре большого куба, разумеется, при условии, что путь начинался в одном из кубиков того же цвета, что и центральный. В кубах нечетного порядка замкнутых ходов быть не может, потому что в них кубиков одного цвета на один больше, чем кубиков другого.

Многие двумерные головоломки также можно решать с помощью аналогичных «проверок на четность». Например, так можно доказать, что ладья не может перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали), побывав по одному разу на всех 64 клетках.

Глава 46. ПОЛИМИНО И «ПРОЧНЫЕ» ПРЯМОУГОЛЬНИКИ

В главе 12 уже говорилось о полимино и его создателе С. Голомбе. После опубликования статьи о полимино на страницах журнала Scientific American A957) игра стала необыкновенно популярным математическим развлечением. Обнаружились сотни новых задач и причудливых конфигураций полимино. О них и пойдет здесь речь.

Напомним, что фигуры, которыми на шахматной доске можно покрыть пять соседних клеток, образующих связную область, носят название пентамино. Существует двенадцать таких фигур. Если эти фигуры расположить так, как показано на рис. 234, то становится видно, что каждая фигура по форме напоминает какую-нибудь латинскую букву, поэтому для запоминания формы и названия фигур (каждую фигуру мы будем называть какой-нибудь буквой) достаточно знать конец латинского алфавита (Т, U, V, W, X, Y, Z) и слово FiLiPiNo.

Рис. 234

В главе 12 (см. рис. 71) было показано, что из двенадцати элементов пентамино общей площадью в 60 квадратиков можно сложить прямоугольники четырех размеров: 3х20, 4х15, 5х12 и 6х10. Те же 12 фигур можно уложить на шахматной доске размером 8x8, причем квадрат из четырех лишних клеток (площадь доски равна 64 квадратикам) может находиться в любом месте доски.

Любой элемент пентамино можно утроить с помощью каких-нибудь девяти фигур из числа оставшихся (подразумевается, что из этих девяти пентамино будет сложена фигура, подобная выбранной, но в три раза выше и длиннее). Из двенадцати пентамино можно еще построить два прямоугольника 5x6. Последняя задача носит название задачи на суперпозицию, потому что построенные фигуры можно наложить друг на друга. Голомб сообщил мне пять новых задач на суперпозицию, которые впервые публикуются в этой книге. Если читатель до сих пор не понял всей прелести пентамино, ему необходимо вырезать из картона набор элементов пентамино и поломать голову над некоторыми из приведенных ниже задач.