Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

70

Любопытно, что открытая Декартом и по сей день сохранившая его имя кривая, описываемая уравнением x3 + y3 − 3xy = 0, ныне рисуется вовсе не так, как это делал Декарт, считавший, что x и y должны быть только положительными; при этом мы по-прежнему называем эту кривую «декартов лист», хотя, если не ограничиваться одними лишь положительными значениями абсциссы и ординаты, рассматриваемая кривая утрачивает форму листа, какую она имела на чертежах Декарта.

71

В этой связи уместно вспомнить строки из У.Г. Одена:

Минус на минус — всегда только плюс.
Отчего так бывает, сказать не берусь.

72

Так называемая формула Кардано для корня (точнее, для трех корней) кубического уравнения x3 + px + q = 0 (найдена она была несколько раньше, но опубликована впервые в «Великом искусстве» Кардано, который, впрочем, и не претендовал здесь на приоритет) имеет вид:

при этом если все три корня уравнения являются вещественными (неприводимый случай решения рассматриваемого уравнения), то (q/2)2 + (p/3)3 < 0 — и правильный ответ можно получить из этой формулы лишь при умении извлекать кубические корни из комплексных чисел (как это сделать, впервые объяснил Р. Бомбелли).

73

Характерно, что при всей глубине и тонкости мысли, отражением которых явились статьи «Предел» и «Дифференциал» в знаменитой «Энциклопедии» (по существу впервые обосновавшие математический анализ почти на уровне построений Огюстена Коши) или статья «Размерность» (впервые провозгласившая, что мы живем в четырехмерном мире: три измерения — пространственные, четвертое — временное), к вопросу о введении в математику отрицательных чисел Д'Аламбер подходил с большой робостью, а комплексные числа вообще полностью игнорировал.

74

Эйлер использует здесь так называемую тригонометрическую, или полярную, форму комплексного числа; здесь ρ = √(x2 + y2), φ — угол, образуемый с положительным направлением оси x отрезком, проведенным из начала координат в точку x + iy (при y = 0, угол φ также равен 0). При этом x + iy = ρ(cos φ + ί sin φ) = ρeiφ.

75

Впрочем, многие современные математики, скажем Жан Дьедонне (род. в 1906 г.), возражают и против традиционного употребления термина аналитическая геометрия, придавая ему смысл, логически вытекающий из современного понимания термина алгебраическая геометрия (алгебраическая и аналитическая геометрия по Дьедонне — это учение об алгебраических, соответственно аналитических многообразиях в многомерном пространстве); поэтому созданную Декартом и Ферма область математики следовало бы, пожалуй, называть координатной геометрией.

76

Недворянин Жиль Персон называл себя «де Роберваль» по названию деревни, из которой он был родом, и вошел в историю науки именно под последним именем.

77

Идущее от Ферма понятие дифференциала функции, равно как и утверждение о том, что в точках максимума или минимума функции ее дифференциал (а, значит, и производная) обращается в нуль (это утверждение сегодня часто называют теоремой Ферма), были даны им лишь для конкретных примеров функций.

78

Обзор этих работ см. в кн.: Cajori F. A History of the Conceptions of Limits and Fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse. — Chicago: The Open Court Publishing Co., 1915. См. кроме того: Boyer С. The Concepts of the Calculus. — N.Y.: Columbia University Press, 1939, а также (переиздание): Dover Publications, 1949. [Из более поздних работ можно указать, например, брошюру [40] и более обстоятельные книги [41], [42], [43] и особенно [44] — Прим. ред.]

79

В этой книге излагался курс, который Лагранж читал студентам знаменитой парижской Политехнической школы; продолжение и дальнейшее развитие идей Лагранжа содержат учебники еще одного профессора Политехнической школы — О. Коши, о которых пойдет речь в следующей главе.

80

Деятельность молодых кембриджских математиков (Пикок — Бэббедж — Гершель) имела еще один аспект, не связанный с проблемами обоснования математики, но чрезвычайно важный в тот период для английской науки. Дело в том, что крайне неприятные приоритетные споры об открытии математического анализа, развернувшиеся в XVII в. между Ньютоном и Лейбницем, формально окончилась  как будто бы полной победой Ньютона, не потерпевшего в результате их ни малейшего материального или морального ущерба, тогда как Лейбниц из-за этих споров умер буквально в нищете. Однако исторически победителем здесь оказался именно Лейбниц, а научным наследникам Ньютона эти беспредметные дискуссии о первенстве принесли вполне ощутимый вред. Вся континентальная Европа восприняла дифференциальное и интегральное исчисление в том обличье, которое ему придал Лейбниц — с более удобной лейбницевской символикой и терминологией (производная и интеграл, а не флюксия и флюэнта; исчисление дифференциалов, а не моментов). Существенную роль здесь сыграла отмеченная в книге темпераментная защита Лейбницем своих позиций, а также выдающаяся научная школа Лейбница, возглавляемая братьями Якобом и Иоганном Бернулли. Напротив, в Англии из-за приоритетных соображений на систему обозначений и терминов Лейбница был буквально наложен запрет, что лишало возможности молодых английских ученых следить за достижениями своих континентальных коллег и привело к резкому отставанию английской науки. Даже возрождение английской математики в середине XIX столетия (!), предвестником которого явились названные молодые кембриджцы, было первоначально встречено на континенте с большим недоверием. И деятельность Пикока и его друзей, в частности перевод ими на английский язык «лейбницианского» по форме учебника Лакруа, ставила своей целью приблизить английскую математику к континентальной.

81

В следующей главе мы узнаем, как решил проблему комплексных чисел сам Гамильтон.

82

Современное определение функции как любого правила или закона, сопоставляющего каждому значению x из области X (определения функции) единственное число y — значение функции в «точке» x, было еще в 1817 г. предложено чешским математиком Бернардом Больцано (1781-1848), однако замечено оно было только после повторения его в 40-х годах XIX в. авторитетным немецким математикой Петером Густавом Дирихле (1805-1859). Раньше Дирихле определение «по Больцано» использовал в своих работах по математическому анализу Н.И. Лобачевский, что, однако, тоже никем не было замечено.

83

Из числа создателей неевклидовой геометрии ее аксиоматически-логический статут больше всего беспокоил Яноша Бойаи, который подходил к развитой им науке с чисто аристотелевских позиций («дедуктивная», или «выводная», наука) и одно время даже полагал, что доказал противоречивость новой геометрии. Лобачевский и Гаусс воспринимали новую геометрическую систему более «физично» — как возможную систему описания свойств окружающего нас реального пространства. В частности, Лобачевский, дальше всех продвинувшийся в области «гиперболической» геометрии, был весьма близок к строгому доказательству ее непротиворечивости, поскольку он владел тем, что мы сегодня называем «бельтрамиевыми координатами» точек гиперболической плоскости, которые послужили основой для создания «модели Бельтрами» (или «модели Бельтрами — Клейна»), доказывающей непротиворечивость геометрии Лобачевского. Однако Лобачевский не сделал здесь последнего шага, ибо, будучи твердо уверенным в «истинности», или непротиворечивости, своей геометрии, не чувствовал необходимости этого.

84

Французская школа давно имела традиции «антиевклидовского» изложения курса геометрии, где широко использовались наглядность, соображения симметрии и движения, которых старался избегать Евклид, и ставились во главу угла наиболее важные для практики вопросы измерения геометрических величин. Первый подобный учебник составил страстный борец против схоластики и метафизики Аристотеля (а заодно и против идущих от Аристотеля методологических установок Евклида) Питер Рамус (или Пьер де ла Раме, 1515-1572), поплатившийся жизнью за эту свою деятельность: он был убит в Варфоломеевскую ночь, причем убийство Рамуса было организовано враждебными ему профессорами Парижского университета (Сорбонны). Позиции Рамуса целиком разделял Д'Аламбер, который глубоко развил их в статье «Геометрия», напечатанной в «Энциклопедии». Той же линии придерживался в своем учебнике «Элементы геометрии» и один из крупнейших аналитиков XVII в. А.К. Клеро.