Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

46

Аналогичную мысль в свое время высказывал, правда мимоходом, и Ньютон, но на нее не обратили внимания.

47

Окончательного признания возможности неевклидовой геометрии у Ламберта все же не было; по-видимому, впервые решились на этот шаг упоминаемые ниже Ф.К. Швейкарт и его племянник Ф.А. Тауринус. Однако Ламберт высказал провидческую мысль о том, что неевклидова геометрия должна была бы выполняться на сфере мнимого радиуса, если бы такая сфера существовала; впоследствии эта, в то время казавшаяся бессодержательной, идея была реализована даже несколькими различными путями.

48

Книга Tentamen вышла в свет в 1832 г., однако уже в 1831 г. Я. Бойаи имел на руках оттиски своего Приложения (Appendix) к книге, один из которых он сразу же отправил Гауссу. Впрочем, Гаусс не получил этой работы и ознакомился с ней, лишь прочитав экземпляр книги своего друга Фаркаша Бойаи.

49

Саккери твердо считал, что доказал 5-й постулат Евклида; поэтому его никак нельзя считать создателем неевклидовой геометрии. Клюгеля и Ламберта в том контексте, в каком упоминает их автор, уместнее заменить Швейкартом и Тауринусом (ср. прим. {47}); однако малочисленность их публикаций на эту тему, которую они вскоре оставили (Ф.К. Швейкарт вообще был по специальности юристом, а не математиком), делает сомнительным их приоритет в создании неевклидовой геометрии. Более основательна стандартная точка зрения, приписывающая это выдающееся открытие Лобачевскому [первый публичный доклад на эту тему (1826); первая публикация (1829-1830)], Бойаи (явно независимая от Лобачевского публикация 1831-1832 гг.) и Гауссу.

50

И даже никакими экспериментами тоже; утверждение о существовании одной или многих прямых, проходящих через точку P и не пересекающих AB, апеллирует к представлению о всем (бесконечном!) пространстве и потому непроверяемо; опыты же с измерением суммы углов треугольника в принципе могут помочь установить отличие этой суммы от 180°, но никогда — равенство 180°; ведь всегда можно опасаться, что полученное нами значение столь близко к 180° лишь потому, что выбранный треугольник слишком мал.

51

Лобачевский и Гаусс независимо осознали, что геометрия реального (физического) пространства может быть как евклидовой, так и неевклидовой. (Бойаи, заинтересованного в первую очередь в, так сказать, «логическом статусе» новой геометрии, эта постановка вопроса занимала меньше.)

52

Ее чаще называют сферической — трехмерную сферическую (или удвоенную эллиптическую) геометрию можно трактовать как геометрию (трехмерной) сферической поверхности шара четырехмерного евклидова пространства.

53

Впоследствии Феликс Клейн рассмотрел еще одну простую неевклидову геометрию, родственную удвоенной эллиптической геометрии, но отличающуюся от нее тем, что здесь уже любые две прямые пересекаются в одной точке. Клейн назвал такую геометрию просто эллиптической. [Риман, который рассматривал строение геометрий лишь в «малом», в окрестности одной точки пространства, не ставил вопроса о глобальной структуре введенных им пространств; именно это и позволяет — как весьма часто делают — считать его создателем и эллиптической геометрии. — Ред.]

54

Хорошо известно, как страдал Лобачевский от непризнания его работ в официальных кругах, в частности в Российской академии наук; не получил никакого признания и Appendix Я. Бойаи. Характерно также, что еще в 1869-1870 гг. видный французский математик, академик Жозеф Бертран (1822-1900) печатал в «Докладах» Парижской академии наук свои «опровержения» неевклидовой геометрии, к которым он относился с полной серьезностью.

55

Типичная для 2-й половины XX в. «арифметизация математики», попытка построить все математические дисциплины на, казалось бы, незыблемом фундаменте арифметики, обычно связывается с главой берлинской математической школы Карлом Вейерштрассом (1815-1897) и другими берлинскими математиками [Леопольдом Кронекером (1823-1891), Георгом Фробениусом (1849-1917), Эрнстом Куммером (1810-1893) и др.].

56

И даже ранее: векторный характер перемещений, скоростей, сил был по существу знаком еще античным ученым; само это представление, как и «правило параллелограмма» сложения векторов, сложилось еще в школе Аристотеля; широко использовал это представление и Архимед.

57

В наши дни термин «гиперкомплексные числа» все более вытесняется (странным) термином алгебра: под этим словом понимают как целую ветвь математики, так и, в более узком смысле, совокупность гиперкомплексных чисел определенного рода.

58

Проективная геометрия занимается изучением свойств, общих для всех фигур, получающихся при проектировании одной фигуры на различные плоскости. Так, если держать круг перед ярким фонарем, то он будет отбрасывать тень на экран или на стену. Форма тени будет изменяться в зависимости от наклона круга. Тем не менее окружность и контуры теней (эллипсы, гиперболы, параболы) обладают общими геометрическими свойствами.

59

Математический вариант теории электромагнитного поля был создан Дж.К. Максвеллом, который, по выражению Р. Милликена, «облек плебейски обнаженные представления Фарадея в аристократические одежды математики». [Создатель описательной теории электромагнетизма, самоучка М. Фарадей, весьма далекий от математики, был, кстати сказать, одним из немногих физиков, кто сразу же высоко оценил первые публикации Максвелла.]

60

Платон делил Вселенную на «мир видимый», куда относится все реально существующее и «мир умопостижимый», но не видимый и не осязаемый, к которому он относил, в частности, математику и искусство [см., например, «Государство» Платона ([7], с. 317 и далее)].

61

Как мы уже отмечали, Евклид, следуя математическим установкам Аристотеля, пытался обойтись в геометрии без всякого использования движений (что ему, кстати сказать, полностью так и не удалось).

62

Любое нечетное число представимо в виде 2n + 1, где n — некоторое целое число. Квадрат нечетного числа (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1 — нечетное число.

63

Своеобразным отражением этого является, в частности, тот факт, что в «Началах» так называемый алгоритм Евклида в одинаковых выражениях описывается два раза: один раз — для чисел и второй раз — для отрезков.

64

Возможно, эту формулу знал еще Архимед. — Ред.

65

За единицу площади здесь принимается квадрат со стороной, равной единице длины. — Ред.

66

Формулы для решения в целых числах «пифагорова уравнения» x2 + y2 = z2 обычно приписываются Платону, но реально они, безусловно, были известны ранее, скажем в школе пифагорейцев. Выдающийся знаток вавилонской математики, ученик Д. Гильберта Отто Нейгебауэр (р. 1899) предположил даже, что эти формулы (разумеется, без строго логического их обоснования) были известны еще в древнем Вавилоне, ибо иначе становится совершенно загадочной обнаруженная Нейгебауэром древневавилонская клинописная глиняная табличка, содержащая список ряда первых решений этого уравнения.

67

Диофантовым анализом (см. по этому поводу: Башмакова и Славутин [34]) обычно называют теорию решений неопределенных уравнений (т.е. уравнений, содержащих более одного переменного) в целых числах, тогда как Диофанта интересовала родственная проблема отыскания рациональных решений подобных уравнений.

68

Почти одновременно с шотландцем Джоном Непером и независимо от него к идее логарифмов пришел швейцарский часовщик Иобст Бюрги (1552-1632).

69

Теория Евдокса — Евклида содержала почти безупречное определение иррациональных чисел (которым придавалось обличие отношений отрезков) и условий их равенства — но, разумеется, проблемы логического обоснования действий над иррациональными числами здесь не были доведены до того уровня, который приобрели они в математике 2-й половины XIX в.

70

Любопытно, что открытая Декартом и по сей день сохранившая его имя кривая, описываемая уравнением x3 + y3 − 3xy = 0, ныне рисуется вовсе не так, как это делал Декарт, считавший, что x и y должны быть только положительными; при этом мы по-прежнему называем эту кривую «декартов лист», хотя, если не ограничиваться одними лишь положительными значениями абсциссы и ординаты, рассматриваемая кривая утрачивает форму листа, какую она имела на чертежах Декарта.