Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

Сегодня нас может удивить, что Галилей считал «буквами» того языка, на котором записаны все законы природы, «треугольники, окружности и другие геометрические фигуры». Но ведь единственной математикой, доступной Галилею, была геометрия древних греков, а до открытия дифференциального и интегрального исчисления (в значительной степени стимулированного трудами Галилея) и возникновения концепции дифференциального уравнения оставалось еще больше с полвека.

27

В XIII в. решающее значение эксперимента для точного знания постулировал английский монах-францисканец Роджер Бэкон (ок. 1214-1299), взгляды которого, однако, полностью противоречили мировоззрению его времени, что определило трагический характер жизни Р. Бэкона.

28

Кант И. Сочинения в 6-ти томах, т. 6. — М.: Мысль, 1966, с. 59.

29

Резкая полемика между Ньютоном и Гуком по поводу приоритета в открытии закона (1) всемирного тяготения оставляет столь тягостное впечатление еще потому, что целиком относящийся по своей научной идеологии к «доньютоновскому» периоду великий ученый Гук так, видимо, и не понял, что его претензии на это выдающееся открытие были неосновательными. Гук выписал формулу (1), исходя из чисто умозрительных соображений: «ясно», что гравитационная сила, создаваемая массой M, должна быть пропорциональна M; с другой стороны, поскольку на расстоянии r от массы эта сила равномерно распространяется по сфере площади 4πr2, то сила в каждой точке этой сферы должна быть обратно пропорциональна r2. То, что эти чисто эвристические соображения могут лишь подсказать ответ, но никак не доказать его, Гуку понять было не дано.

30

Надо иметь в виду, что под «натуральной философией природы» во времена Ньютона понимали физику, так что латинское название великого труда Ньютона можно перевести как «Математические основы физики».

31

Напомним, что М. Фарадей (1791-1867) и даже Д.К. Максвелл (1831-1879) в аналогичной ситуации, а именно в своем истолковании электромагнитных явлений, исходили из механистических объяснений сил притяжения и отталкивания заряженных тел, опирающихся на фиктивные «силовые трубки» в (несуществующем) эфире, что исключало необходимость апелляция к дальнодействию. [Впрочем, эти ошибочные объяснения физической природы явлений не помешали названым великим ученым пройти к правильным выводам, в частности к знаменитым уравнениям Максвелла, дающим исчерпывающее количественное описание рассматриваемых феноменов.]

32

Классик английской литературы С. Джонсон (1709-1784) более всего прославился как составитель первого научного «Словаря английского языка» (1755), ввиду чего его часто называют «великим лексикографом».

33

В «Оптике» [22] Ньютон все же обратился к физическим объяснениям; однако, как мы знаем теперь, они не были адекватны реальным процессам и, кроме того, не охватывали весь комплекс оптических явлений.

34

Оживленная дискуссия между Д. Бернулли, Эйлером и Д'Аламбером по поводу исследования колебаний струны (в которой каждый из этих трех выдающихся ученых был несогласен с двумя другими) связана с тем, что в XVIII в. не было еще полной ясности относительно определения понятия функции: дискуссия весьма способствовала внесению ясности в этот важный вопрос.

35

Ясно, что создатели гидродинамики Эйлер и Д'Аламбер ничего не знали о так называемых турбулентных течениях с нерегулярным, случайным характером движения отдельных частиц жидкости (для создания теории таких течений тогда еще не существовало подходящего математического аппарата); игнорирование этого обстоятельства приводило их даже к некоторым парадоксам, в то время неразрешимым.

36

В расчетах, относящихся к большим областям земном поверхности (каковой можно считать и княжество Ганновер), приходится учитывать отличие поверхности Земля от плоскости; и обдумывая это обстоятельство, Гаусс пришел к глубокой концепции внутренней геометрии поверхности, задаваемой ее метрикой, т.е. измеряемым по поверхности расстояниям. Соответствующая теория была изложена Гауссом в обширном труде «Общие исследования о кривых поверхностях» [Disquesitiones générales circa superficies curvas, 1828; русский перевод см. ([24], с. 123-161)], давно считающемся математической классикой.

37

Следует сказать, что наряду с определенным сходством между Гауссом и Коши существовало и резкое различие, определившее психологическое «отталкивание» этих выдающихся ученых. Бесконечно требовательный к себе, Гаусс публиковал сравнительно мало работ. Напротив, Коши публиковал свои работы, порой не отделывая их достаточно тщательно, так что в его книгах и статьях нередко встречались ошибки (обычно легко исправимые, но иногда и более серьезные), крайне раздражавшие Гаусса.

38

Андроник Родосский, выпустивший в I в. до н.э. собрание сочинений Аристотеля, назвал «Органоном» свод работ последнего по логике и строению наук, написанных независимо одна от другой и, видимо, в разное время; названием «Новый органон» Бэкон подчеркивал и близость свою к Аристотелю (по теме), и резкое различие (по установкам).

39

Мистик Ньютон был уверен (без всяких оснований, разумеется, — ср. сказанное выше о так называемой «проблеме трех тел») в неустойчивости Солнечной системы, тогда как в XVIII в. атеист и крайний рационалист Лаплас столь же безосновательно утверждал, что он может доказать ее устойчивость.

40

Это принадлежащее (или приписываемое) Лапласу высказывание выразительно демонстрирует успехи, которые к тому времени сделал «галилеев подход» к естественнонаучным проблемам (математическая формула, а не физическое описание). Ньютону бог был необходим для того, чтобы объяснить гравитационное «дальнодействие» (можно полагать, что паскалевское «определение» бога: «сфера, центр которой находится всюду, а периферия нигде», полностью снимающее вопрос об «агенте», передающем гравитационное воздействие, было достаточно близко Ньютону); именно этот «теологический» характер теории Ньютона делал ее неприемлемой для рационалистов Лейбница и Гюйгенса. Лаплас же полностью принял завет Галилея; никогда не спрашивать «как?», если мы можем ответить на вопрос «на сколько?»; поэтому для него бог в ньютоновской системе мира оказался уже вовсе ненужным.

41

Здесь имеется в веду, что в более полной (и совершенной) трактовке принципа наименьшего действия и иных вариационных принципов механики и физики речь идет не о наименьшем, а об «экстремальном» (т.е., наименьшем или наибольшем) значении рассматриваемой величины.

42

Не особенно эрудированному в области геометрии, но глубоко мыслящему Канту были впрочем, свойственны и глубоко нетривиальные прозрения. Так, в 1846 г. он писал, что трехмерность нашего пространства вытекает из характера закона всемирного тяготения Ньютона; это совершенно верно, но было строго доказано лишь много позже. Далее Кант утверждал, что из другого закона притяжения сил вытекала бы иная структура пространства, иное число измерений, причем если иные пространства возможны, то весьма вероятно, что бог их где-то действительно разместил.

43

Понятия пространства, времени и геометрии Кант считал априорными, заранее вложенными в наш разум и не подлежащими критике или замене какими-либо иными представлениями; высокий авторитет Канта закрепил эти ложные установки. Весьма вероятно, что именно нежелание вступать в конфликт с позицией столь высокочтимого в Германии философа побудили Гаусса не только воздержаться от публикация своих открытий в области неевклидовой геометрии, но и категорически запретить знающим об этом друзьям рассказывать кому-либо об его истинных воззрениях.

44

Истории проблематики, связанной с пятым постулатом Евклида, посвящена, в частности, книга Роберто Бонолы «Неевклидова геометрия», впервые вышедшая в 1906 г. на итальянском языке. Английский перевод: Bonola R. Non-euclidean geometry. — N.Y. Dover Publ., 1955 ([26]; см. также [27]).

45

Приводимое ниже описание воспроизводит схему рассуждений Саккери с небольшими изменениями. [В частности, за исходный пункт своих рассуждений Саккери — как позже и Ламберт — принял не аксиому Плейфера, а предположение, равносильное утверждению о равенстве суммы углов треугольника 180°; в опровержение этого предположения утверждалось, что сумма углов треугольника меньше (соответственно больше) 180°. — Ред.]