Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

• Название: Математика. Утрата определенности.
• Автор: Морис Клайн
• Издательство: Мир
• Жанр: Математика
• Год: 1984

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

---

3

Перечисляя книги Клайна, я обхожу здесь вниманием пользующиеся (возможно, даже чрезмерно громкой) известностью его недавние сочинения «Как складывает Джонни» и «Как учит учитель», содержащие острую критику современной реформы преподавания математики в средней школе и написанные с присущими этому автору темпераментом и полемическим задором (см. также переведенную ранее на русский язык интересную, но, пожалуй, чрезмерно заостренную статью [138]).

4

Трудно не процитировать здесь столь почитаемого Клайном Германа Вейля: «…Процесс познания начинается, так сказать, с середины и далее развивается не только по восходящей, но и по нисходящей линии, теряясь в неизвестности. Наша задача заключается в том, чтобы постараться в обоих направлениях пробиться сквозь туман неведомого, хотя, конечно, представление о том, что колоссальный слон науки, несущий на себе груз истины, стоит на каком-то абсолютном фундаменте, до которого человек может докопаться, является не более чем легендой» (из статьи «Феликс Клейн и его место в математической современности»; Felix Klein. Stellung in der mathematischen Gegenwart. Die Naturwissenschaften, Bd 18, 1930, S. 4-11; Gesammelte Abhandlungen, Bd, 3. — Berlin: Springer-Verlag, 1968, S. 292-299).

5

Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, с. 294.

6

Относящийся к нашему времени выразительный пример подобного отношения к математике приводит в своей статье «Эйнштейн и физика второй половины XX века» [60] выдающийся современный физик, лауреат Нобелевской премии Ч. Янг (Ян Чжэиьнин). Он рассказывает, как, придя к своему старому учителю Чжень Шеншеню, ныне профессору Калифорнийского университета в Беркли и одному из крупнейших современных геометров, он выразил удивление тем, как быстро понадобились физикам идущие в значительной степени от Чженя так называемые связности на расслоениях, придуманные математиками вне всякой связи с физической реальностью. На это Чжень ответил ему: «Но ведь никак нельзя сказать, что это мы, математики, выдумали связности на расслоениях — ясно, что они существовали и до нас».

7

С этой точки зрения характерно, что Предложение 1 евклидовых «Начал» содержит построение равностороннего треугольника, что единственно оправдывает данное несколько ранее определение такого треугольника (ср. [25], с. 13, 15-16).

8

Так, например, еще Платон весьма высоко ценил логический метод «доказательства от противного», при котором установление истинности предложения p начинается с предпосылки «пусть p неверно», и из этой предпосылки выводится противоречие [так, пифагорейское доказательство иррациональности √2 (в наших обозначениях) начинается с утверждения: «Пусть √2 = m/n — рационально…»]. Общую форму этому методу придал, как будто, основатель так называемой элейской школы в древнегреческой философии Парменид (V в. до н.э.), глубоко почитавшийся Платоном (ему посвящен диалог Платона «Парменид»).

9

Укажем, однако, что статут «временно поселившихся лиц», или метеков, имели в Афинах периода их расцвета и многие выдающиеся ученые — назовем хотя бы имена Аристотеля из Стагира, Евдокса Родосского, Демокрита Абдерского, Гиппократа Хиосского (математик) или Гиппократа Косского (врач).

10

Во всяком случае, Архимед был тесно связан с александрийскими учеными, в частности, хорошо известна его дружба (и переписка) с Эратосфеном.

11

От греческого слова μεγιση — величайший; это название хорошо характеризует отношение арабских ученых к замечательному произведению Птолемея.

12

Возможно, что вариант «Катоптрики», которым мы располагаем сегодня, в действительности представляет собой компиляцию работ нескольких авторов, в том числе и Евклида.

13

В 529 г. византийский император Юстиниан приказал закрыть, как языческую, платоновскую Академию, существовавшую около 800 лет.

14

Подробнее о достижениях арабских и индийских математиков рассказывается в гл. V.

15

Аристотель, c его чисто умозрительным подходом к физическим задачам, склонен был считать, что тяжелое тело, брошенное под углом к земной поверхности, движется по «простейшим линиям», т.е. описывает отрезок прямой, переходящий затем в дугу окружности; ясно, что столь грубое приближение к реальности никак не могло быть достаточным для артиллерийской практики.

16

Позицию Аристарха в этом вопросе разделял и столь глубоко ценимый всеми учеными эпохи Возрождения Архимед Сиракузский.

17

Имеются в виду так называемые платоновы тела — правильные тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. — Ред.

18

В то время как математика и философия древних греков были метафизичны — они ограничивались рассмотрением застывших состояний и игнорировали (текущие) процессы, — картезианская философия (этот термин идет от латинизированной формы фамилии Декарта — Картезий) была диалектична, что и сделало возможным возникновение дифференциального и интегрального исчислений.

19

Рационалисты Декарт и Лейбниц были глубоко верующими людьми, но в их философских и научных системах богу отводилось весьма ограниченное место. В частности, Декарт (а вслед за ним в еще более отчетливой форме Лейбниц) считал бога «гарантом истинности логики», так как ее аксиомы (как и любые другие математические аксиомы!) не доказываются, а принимаются на веру.

20

Католический монах Марен Мерсенн (1588-1648) не был особенно крупным ученым (хоть его имя сохранилось в современной теории чисел); однако организующая роль его в науке XVII в. была огромной: в эту эпоху отсутствия научных журналов Мерсенн был своего рода центром оживленной переписки ученых и у него всегда можно было получить информацию о текущих успехах математиков разных стран.

21

В этом отношении позиции рационалистов Декарта и Лейбница, с одной стороны, и мистика Ньютона, с другой, были принципиально различными (ср. гл. III).

22

Заметим, что древнегреческие ученые классического и эллинистического периодов, следуя метафизическим установкам элейской школы и Аристотеля стремились полностью изгнать из геометрии движение: если сам перечень доказанных Фалесом (или его последователями) теорем, приводимый последующими авторами, свидетельствует об определяющей роли соображений симметрии и движений в дедуктивной геометрической системе ионийцев, то у Евклида использование движений в геометрии было старательно сведено к возможному минимуму.

23

Слово «геометрия» служило в античный период синонимом слова «математика» еще и в силу специфических условий развития науки в Древней Греции: ведь, не имея рациональной системы счисления и правил записи чисел (не говоря уж об алгебраической символике!), греки даже алгебраические теоремы и понятия часто вынуждены были излагать на геометрическом языке. Величайший авторитет греческой науки привел к тому, что в течение тысячелетий, когда первоначальные причины отождествления геометрии со всей математикой уже отпали, люди по-прежнему зачастую именовали математику геометрией (ср. также ниже прим. {26}).

24

Декарт также преобразовал и модернизировал алгебраическую символику, придав математическому языку ту форму, которой придерживались элементарные учебники чуть ли не до самых последних десятилетий; это демократизировало всю математическую науку и облегчило приобщение к ней большего количества людей.

25

Характерно, что в последние годы своей жизни Паскаль (как позже и Ньютон) полностью оставил науку, целиком обратившись к теологии и моральной философии. Нам кажется, что равный вклад, внесенный в науку XVII в. рационалистами (Галилей, Декарт, Гюйгенс, Лейбниц), верящими во всемогущество человеческого разума, и мистиками (Кеплер, Паскаль, Ньютон), более полагающимися на озарение, чем на строгую логику, напоминает об ограниченности формально-логического подхода к природе и о существовании двух взаимно-дополнительных путей постижения истины: дискурсивного и интуитивного (по этому поводу см. например, [32]).

26

Сегодня нас может удивить, что Галилей считал «буквами» того языка, на котором записаны все законы природы, «треугольники, окружности и другие геометрические фигуры». Но ведь единственной математикой, доступной Галилею, была геометрия древних греков, а до открытия дифференциального и интегрального исчисления (в значительной степени стимулированного трудами Галилея) и возникновения концепции дифференциального уравнения оставалось еще больше с полвека.