Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.
Скачивание начинается... Если скачивание не началось автоматически, пожалуйста нажмите на эту ссылку.
Жалоба
Напишите нам, и мы в срочном порядке примем меры.
Описание книги "Математика. Утрата определенности."
Описание и краткое содержание "Математика. Утрата определенности." читать бесплатно онлайн.
Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.
Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.
102
Автор первого в мировой литературе учебника теории множеств Феликс Хаусдорф (1868-1942) долгие годы был одним из признанных лидеров берлинской математической школы. Его учебник по теории множеств имел два варианта, настолько резко различающиеся между собой, что их вполне можно считать самостоятельными книгами: «Основы теории множеств» (Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig, Teubner, 1914) и «Теория множеств» (Mengenlehre. Leipzig, Teubner, 1927). Совершенно самостоятельным произведением мировой математической литературы является русский вариант той же книги [54], в которой редакторы П.С. Александров и А.Н. Колмогоров предприняли (весьма удачную) попытку совместить все достоинства и первого и второго вариантов книги Хаусдорфа, одновременно доработав отдельные части книги, с тем чтобы привести их в соответствие с новейшими достижениями науки. При этом устаревшие разделы «Основ теории множеств» были заменены новым текстом, заимствованным из написанных П.С. Александровым разделов книги [55], которые пришлось несколько переработать, с тем чтобы сохранить стиль Хаусдорфа.
103
Обычно считают, что русский алфавит содержит 33 буквы (при этом буквы е и ё отождествляются, считаются за одну); поэтому общее число «100-буквенных последовательностей», где каждая буква имеет одно из указанных 33 «значений», равно 10033. (Разумеется, большинство из составленных таким образом «фраз», разбиение которых на отдельные «слова», если только оно возможно, производится «по смыслу», не будут выражать ничего или не будут описывать никакого числа.)
104
Сомнения по этому поводу подогревались рядом полностью противоречащих нашей интуиции (или очень сильных и «слишком просто» доказываемых) результатов, получаемых с использованием аксиомы выбора Цермело. Наиболее известна здесь, пожалуй, эффектная работа Ф. Хаусдорфа, результат которой, несколько огрубляя, можно описать так: пусть Ш — обыкновенный шар трехмерного евклидова пространства; Хаусдорф разбивает этот шар на четыре множества I, II, III и IV так, что сложив по-другому множества I и II, мы получим из них шар Ш1, равный Ш; из множеств III и IV также можно сложить равный Ш шар Ш2. (Ср. гл. XII).
105
Можно взять множество с кардинальным числом N1 и рассмотреть множество всех его подмножеств, кардинальное число которого обозначается через 2N1. Как доказал Кантор, 2N1 > N1. Можно предположить, что 2N1 = N2 и что 2Nn = Nn+1. Такое предположение называется обобщенной гипотезой континуума.
106
Вариант гипотезы континуума, приведенный в скобках, не требует обращения к аксиоме выбора.
107
Сегодня это различие отражается в существовании двух разных символов: (например, x A) и (B A), используемых уже и в школьных учебниках математики.
108
Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, c. 400.
109
Мы уже указывали на своеобразный характер религиозности Лейбница, для которого бог играл роль гаранта истинности логики, но, «создав однажды» Вселенную, далее никак не вмешивался в ее функционирование. (Разумеется, Лейбниц и не подозревал, что возможных логических систем существует много; осознание этого обстоятельства заставило бы его полностью пересмотреть всю свою религиозно-философскую систему.)
110
Рассчитанное на самого широкого читателя изложение взглядов А. Уайтхеда (а частично и Б. Рассела) на математику можно найти в (к сожалению, сейчас уже труднодоступной) книге [57].
111
Создатель современной алгебраической структуры математической логики Дж. Буль в качестве основных операций над высказываниями использовал конъюнкцию и исключающую дизъюнкцию (которую сегодня чаще называют «симметрической разностью» высказываний p и q).
112
Здесь терминология (и символика) авторов «Оснований математики» несколько расходится с принятой в нашей литературе. Следует различать (бинарное) отношение следования между высказываниями, которое может иметь или не иметь место (в абстрактной форме — подмножество декартова квадрата Ρ×Ρ, где Ρ — множество высказываний; отношение «из p следует q» записывают как p q, но иногда и наоборот — как p q), и импликацию — (бинарную) операцию алгебры высказываний, сопоставляющую двум высказываниям p и q третье высказывание p q, которое, как и любое, высказывание, может быть истинным или ложным; при этом истинность импликации p q равносильна тому, что (в обозначениях Рассела — Уайтхеда) p q.
113
Под «истинным элементарным высказыванием» здесь понимается то, что у нас часто называют «тождественно истинным высказыванием», т.е. такое высказывание, которое ни в каком случае не может быть ложным.
114
По этому поводу см. статьи выдающихся физиков, лауреатов Нобелевской премии Е.П. Вигнера [96]*, Ч. Янга [60] и В. Гейзенберга [61]; цитируемые в гл. XV высказывания А. Эйнштейна и названные там его статьи, а также [4].
115
Разумеется, из (ложной!) «аксиомы» 2×2 = 100 следует (истинная!) теорема «2×2 — четное число» (как, впрочем, и теорема «2×2 — нечетное число», если только следование предложений понимать в соответствии с определением материальной импликации).
116
По поводу современных взглядов на роль интуиции и дедукции в понимании мира см., например [32], а также [62].
117
Предложенное (почти одновременно и, по видимому, независимо) Р. Дедекиндом и Дж. Пеано аксиоматическое описание целых (или целых положительных — натуральных) чисел хронологически почти совпало со смертью Кронекера (основополагающая работа Пеано вышла в свет в год смерти Кронекера); поэтому он уже не мог высказать свое мнение по поводу этой новой теории.
118
Предшествующее Кантору доказательство существования трансцендентных чисел принадлежит французскому математику Жозефу Лиувиллю (1809-1882), построившему конкретные примеры таких чисел (1851); Кантор же доказал, что в определенном смысле «почти все» вещественные числа являются трансцендентными (причем его доказательство было существенно «неконструктивным», т.е. не позволяло указать ни одного такого числа).
119
По поводу полемики между Пуанкаре и Кутюра см. [63].
120
Интуиционистскую платформу Вейля достаточно выразительно характеризует сборник его более ранних статей [64].
121
Нам нет необходимости вдаваться в технические детали этих теорем. Мы упоминаем их лишь для того, чтобы привести конкретные примеры. [Отметим также, что отказ интуиционистов от закона исключенного третьего не означал еще полного отказа от какого бы то ни было логического аппарата — речь шла лишь о пересмотре фундаментальных законов логики, из числа которых отбрасывался закон исключенного третьего (ср. ниже). — Прим. ред.]
122
Несколько иначе подходил к понятию «существования» математического объекта Пуанкаре. Для него, как для формалистов (гл. XI), понятие было приемлемым, если оно не приводило к противоречиям.
123
В настоящей, не рассчитанной на математиков, книге автор иногда позволяет себе пренебречь точностью ради большей выразительности. В частности, приведенный в книге пример «истинные интуиционисты», пожалуй, и не приняли бы [менее яркий, но более корректный пример: задача об отыскании максимума функции переменных]. Дело в том, что множество всевозможных четверок (x, y, z, n) целых (или натуральных) чисел счетно, т.е. его можно упорядочить наподобие ряда натуральных чисел (где n > 2). Поэтому доказательство существования решения уравнения Ферма одновременно устанавливает, что решение может быть найдено в процессе, конечного (хоть и неопределенно длинного — это неважно!) перебора четверок (x, y, z, n) и проверки выполнимости равенства xn + yn = zn для каждой из них, а такой конечный перебор, разумеется, является вполне эффективной процедурой.
Подписывайтесь на наши страницы в социальных сетях.
Будьте в курсе последних книжных новинок, комментируйте, обсуждайте. Мы ждём Вас!
Похожие книги на "Математика. Утрата определенности."
Книги похожие на "Математика. Утрата определенности." читать онлайн или скачать бесплатно полные версии.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.
Отзывы о "Морис Клайн - Математика. Утрата определенности."
Отзывы читателей о книге "Математика. Утрата определенности.", комментарии и мнения людей о произведении.