Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

• Название: Тени разума. В поисках науки о сознании
• Автор: Роджер Пенроуз
• Издательство: Институт компьютерных исследований
• Жанр: Философия
• ISBN: 5-93972-457-4, 0-19-510646-6

Книга знаменитого физика о современных подходах к изучению деятельности мозга, мыслительных процессов и пр. Излагаются основы математического аппарата — от классической теории (теорема Гёделя) до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Книга состоит из двух частей: в первой части обсуждается тезис о невычислимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики и биологии, необходимые для понимания функционирования реального мозга.

Для широкого круга читателей, интересующихся наукой.

---

Несмотря на то, что прямого сообщения с ее помощью осуществить не удастся, потенциальные дистанционные («жутковатые») эффекты квантовой сцепленности игнорировать нельзя. Коль скоро сцепленность не разрушается, мы, строго говоря, не можем полагать отдельным и независимым ни один объект во Вселенной. Складывающееся в результате в физической теории положение дел представляется мне весьма далеким от удовлетворительного. Никто не может по-настоящему объяснить, не выходя за рамки стандартной теории, почему на практике сцепленность можно-таки не принимать в расчет. Почему нам вовсе не обязательно представлять Вселенную в виде единого целого, этакого невероятно сложного квантовосцепленного спутанного клубка, не имеющего ничего общего с тем классическим по виду миром, который мы в реальности наблюдаем? На практике квантовые сцепленности разрушаются то и дело применяемой процедурой редукции R, что небезуспешно проделали и мы с коллегой, выполнив измерения над сцепленными атомами, помещенными внутрь наших додекаэдров. Является ли, в таком случае, эта самая редукция R реальным физическим процессом? Иными словами, действительно ли R, в том или ином смысле, разрушает квантовые сцепления? Или это надо понимать просто как фигуру речи, призванную обозначить некое иллюзорное действие?

В следующей главе мы попытаемся ответить на эти каверзные вопросы. Я убежден, что именно они являются центральными в нашем поиске места невычислимости в физических процессах.

Приложение B: Нераскрашиваемость додекаэдра

Напомним условие задачи, поставленной в §5.3. Предлагается показать, что невозможно раскрасить все вершины додекаэдра в БЕЛЫЙ и ЧЕРНЫЙ цвета, соблюдая следующие условия: две «следующие соседние» вершины не могут обе быть БЕЛЫМИ, а шесть вершин, соседних с двумя противоположными (антиподальными) вершинами, не могут быть все ЧЕРНЫМИ. При исключении возможных вариантов раскраски чрезвычайно полезной оказывается симметричность додекаэдра.

Обозначим вершины, как указано на рис. 5.29. Вершины A, B, C, D и E образуют ближайшую к нам пятиугольную грань додекаэдра; дальше, в том же порядке, следуют соседние с ними вершины F, G, H, I и J. Как и в §5.18, соответствующие антиподальные вершины обозначены через A*, …, J*. Для начала отметим, что, согласно второму свойству условия, среди вершин додекаэдра хотя бы одна должна быть БЕЛОЙ — пусть это будет A.

Предположим теперь, что среди непосредственных соседей БЕЛОЙ вершины A имеется еще одна БЕЛАЯ вершина — скажем, B (см. рис. 5.29). Тогда все десять вершин, окружающие эту пару, — C, D, E, J, H*, F, I*, G, J* и H — должны быть ЧЕРНЫМИ, так как каждая из них является следующей соседней по отношению либо к A, либо к B. Далее, возьмем шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары H, H*. В этой шестерке должна быть хотя бы одна БЕЛАЯ вершина, значит, БЕЛОЙ будет либо F*, либо C* (или обе сразу). Проделав ту же процедуру с парой J, J*, приходим к выводу, что здесь БЕЛОЙ должна быть либо вершина G*, либо E* (или, опять же, обе сразу). Но это невозможно! И G*, и E* являются следующими соседними по отношению как к F*, так и к С*. Следовательно, вариант, когда у БЕЛОЙ вершины А имеется БЕЛЫЙ же непосредственный сосед, исключается — в самом деле, ввиду симметричности додекаэдра, невозможной оказывается любая пара соседних БЕЛЫХ вершин.

Таким образом, вершина A должна быть окружена исключительно ЧЕРНЫМИ вершинами B, C, D, E, J, H*, F, I* и G, поскольку каждая из этих вершин является по отношению к A либо соседней, либо следующей соседней. Обратим наше внимание на шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары A, A*. Очевидно, что одна из вершин B*, E* или F* должна быть БЕЛОЙ, причем, в силу симметричности додекаэдра, неважно, какая именно, — пусть будет F*. Отметим, что вершины E* и G* являются следующими соседними по отношению к F*, значит, они обе должны быть ЧЕРНЫМИ; ЧЕРНОЙ должна быть и вершина H, поскольку она соседствует с F*, а мы только что исключили возможность существования соседних БЕЛЫХ вершин. Однако так раскрашивать вершины нельзя, потому что при этом все соседи антиподальных вершин J, J* оказываются ЧЕРНЫМИ. Вот, собственно, и все доказательство — в классическом мире магические додекаэдры невозможны!

Приложение C: Ортогональность общих спиновых состояний

Предложенное Майораной обобщенное описание спиновых состояний не пользуется широкой известностью среди физиков, хотя оно весьма удобно и геометрически наглядно. Я расскажу здесь вкратце об основных формулах и о некоторых их геометрических приложениях. Мы, в частности, получим необходимые для рассуждения в §5.18 отношения ортогональности, определяющие геометрию магических додекаэдров. Мои описания существенно отличаются от тех, что первоначально сформулировал Майорана [252], приближаясь, скорее, к описаниям, данным в [299] и [396].

Идея заключается в том, что берется неупорядоченное множество из п точек на сфере Римана, каковые точки рассматриваются как корни комплексного полинома степени n, коэффициенты которого, в свою очередь, используются в качестве координат (n + 1)-мерного гильбертова пространства спиновых состояний (массивной) частицы со спином 1/2 n. Как и в §5.10, основными состояниями будем считать различные возможные результаты измерения спина в вертикальном направлении; представим эти состояния в виде одночленов (добавив соответствующие нормирующие множители, чтобы сохранить единичную длину векторов состояний):

|↑↑↑↑…↑↑〉 — xn

|↓↑↑↑…↑↑〉 — n1/2xn-1

|↓↓↑↑…↑↑〉 — {n(n - 1)/2!}1/2xn-2

|↓↓↓↑…↑↑〉 — {n(n - 1)(n - 2)/3!}1/2xn-3

…

|↓↓↓↓…↓↑〉 — n1/2x

|↓↓↓↓…↓↓〉 — 1.

(Выражения в фигурных скобках — биномиальные коэффициенты.) Таким образом, общее состояние спина 1/2 n,

z0|↑↑↑…↑↑〉 + z1|↓↑↑…↑↑〉 + z2|↓↓↑…↑↑〉 + z3|↓↓↓…↑↑〉 + … + zn|↓↓↓…↓↓〉,

представляется в виде полинома

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn,

где

a0 = z0, a1 = n1/2z1, a2 = {n(n - 1)/2!}1/2z2, … an = zn.

Корням x = α1, α2, α3, …, αn полинома p(x) = 0 соответствуют n точек на сфере Римана, определяющие описание Майораны. Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем x = ∞, — южный полюс сферы, — это происходит, когда степень полинома P(x) оказывается меньше n на величину, определяемую кратностью этой точки.

Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену

x ↦ (λx - μ)(λ'x + μ')—1

(где λλ' + μμ' = 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на (μ'x + λ')n. Таким образом, можно получить полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна—Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида

c(λx - μ)p(λ'x + μ')n - p.

Точки, задаваемые отношениями μ/λ и —μ'/λ', являются антиподальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний |↑↑↑…↑〉, |↓↑↑…↑〉, |↓↓↑…↑〉, …, |↓↓↓…↓〉. Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [301], с. 162 и §4.15. Общее состояние спина 1/2 n описывается там через симметрический n-валентный спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)