Роджер Пенроуз - Тени разума. В поисках науки о сознании

• Название: Тени разума. В поисках науки о сознании
• Автор: Роджер Пенроуз
• Издательство: Институт компьютерных исследований
• Жанр: Философия
• ISBN: 5-93972-457-4, 0-19-510646-6

Книга знаменитого физика о современных подходах к изучению деятельности мозга, мыслительных процессов и пр. Излагаются основы математического аппарата — от классической теории (теорема Гёделя) до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Книга состоит из двух частей: в первой части обсуждается тезис о невычислимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики и биологии, необходимые для понимания функционирования реального мозга.

Для широкого круга читателей, интересующихся наукой.

---

Для любой точки α на сфере Римана антиподальной является точка —1/α'. Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома

a(x) ≡ a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + an - 1xn - 1 + anxn,

относительно центра сферы, то мы получим корни полинома

a*(x) ≡ a'n - a'n - 1x + a'n - 2x2 - … - (—1)na'1xn-1 + (—1)na'0xn.

Пусть состояния |α〉 и |β〉 заданы, соответственно, полиномами a(x) и b(x), где

b(x) ≡ b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + … + bn - 1xn - 1 + bnxn;

тогда их скалярное произведение имеет вид

〈β|α〉 = b'0a0 + (1/n)b'1a1 + (2!/n(n - 1))b'2a2 + (3!/n(n - 1)(n - 2))b'3a3 + … + b'nan.

Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.

Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b(x) = a*(x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)

a0an - (1/n)a1an - 1 + (2!/n(n -1))a2an - 2 - … - (—1)n(1/n)an - 1a1 + (—1)nana0.

Нетрудно заметить, что при отрицательном n все члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, P, Q, …, S, обозначается через |PQ…S〉; точка, антиподальная X, обозначается X*):

C.1 Если n нечетно, то состояние |PQR…T〉 ортогонально состоянию |P*Q*R*…T*〉.

Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:

C.2 Состояние |PPP…P〉 ортогонально любому из состояний |P*AB…D).

C.3 Состояние |QPP…P〉 ортогонально состоянию |ABC…E〉 в тех случаях, когда стереографическая проекция (из P*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из P*) точек A, B, C, …, E.

(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10, рис. 5.19.) Для доказательства C.3 развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P〉 соответствует полином xn - 1(x - χ), где χ определяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом (x - α1)(x - α2)(x - α3)…(x - αn), майораново описание которого составляют корни α1, α2, α3, …, αn, находим, что это произведение обращается в нуль, когда

1 + n—1χ'(α1 + α2 + α3 + … + αn) = 0,

т.е. когда —1/χ' равно (α1 + α2 + α3 + … + αn)/n, иначе говоря, когда точка —1/χ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек α1, α2, α3, …, αn. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P〉 соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда

α1α2α3…αn = 0,

т.е. когда хотя бы одна точка из множества α1, α2, α3, …, αn равна 0 или, что то же самое, совпадает с северным полюсом сферы — в данном случае, с точкой P*. Что, собственно, и требовалось доказать.

Свойство C.2 позволяет интерпретировать майорановы точки в физическом смысле. Исходя из него, можно предположить, что эти точки определяют направления, измерение (типа измерения Штерна—Герлаха) спина в которых дает нулевую вероятность того, что полученное в результате измерения направление оси спина окажется диаметрально противоположным тому направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК, с. 273). Кроме того, из C.2 можно вывести свойство для частного случая: если спин равен 1/2 (n = 1), то ортогональными являются исключительно те состояния, майорановы точки которых антиподальны. Свойство C.3 позволяет получить общую геометрическую интерпретацию ортогональности в случае спина 1 (n = 2). Примечателен частный случай, когда имеются два состояния, представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы под прямым углом. В случае спина 3/2 (n = 3) свойства C.3 (с некоторой оглядкой на C.1) вполне достаточно для подкрепления объяснений, предложенных в §5.18. (Геометрическую интерпретацию ортогональности в общем случае я здесь давать не буду; может быть, как-нибудь в другой раз.)

Упоминаемое в §5.18 частное следствие из C.3 относится к частному случаю, когда P и Q являются соседними вершинами куба, вписанного в сферу Римана, т.е. PQ и Q*P* — противоположные ребра этого куба. Длина отрезка PQ* (или QP*) равна длине PQ (или P*Q*), умноженной на √2. Посредством несложных геометрических рассуждений можно показать, что состояния |P*PP〉 и |Q*QQ〉 ортогональны.

6. Квантовая теория и реальность

6.1. Является ли R реальным процессом?

В предыдущей главе мы сделали попытку понять и принять головоломные Z-загадки квантовой теории. Не все эти феномены получили на настоящий момент экспериментальное подтверждение — например, квантовая сцепленность на расстоянии нескольких световых лет{72} — и тем не менее, уже накопленных экспериментальных данных, свидетельствующих о существовании такого рода эффектов, вполне достаточно, чтобы убедиться в том, что Z-загадки и в самом деле следует принимать всерьез, поскольку они отражают истинные аспекты поведения самых разных объектов, составляющих тот мир, в котором мы живем.

Процессы, протекающие в нашем физическом мире на квантовом уровне, действительно не поддаются интуитивному осмыслению и во многом совершенно отличны от «классического» поведения, которое мы наблюдаем на более привычном уровне восприятия. Эффекты квантовой сцепленности на расстоянии нескольких метров являются неотъемлемой частью квантового поведения окружающих нас объектов — по крайней мере, это справедливо для объектов квантового уровня (таких, как электроны, фотоны, атомы и молекулы). Контраст между этим странным квантовым поведением «микроскопических» объектов (пусть и разделенных вполне макроскопическим расстоянием) и более привычным классическим поведением объектов «больших» лежит в основе проблемы X-загадок квантовой теории. Может ли, в самом деле, один физический закон выступать в двух различных ипостасях — каждая для «своего» уровня феноменов?

Такое предположение несколько расходится с тем, что мы обычно ожидаем от физического закона. Одним из величайших достижений физики семнадцатого века стала динамика Галилея—Ньютона, согласно которой движение небесных тел подчиняется в точности тем же законам, что управляют движением объектов у нас дома, на Земле. Со времен древних греков (или еще более ранних) ученые полагали, что в небе должны действовать одни законы, а на Земле — другие. Галилей же с Ньютоном смогли показать, что законы одни и те же, различия исключительно в масштабе — фундаментальное прозрение, роль которого в развитии науки переоценить невозможно. Тем не менее (как указывает профессор Иэн Персивал из Лондонского университета), в отношении квантовой теории мы, похоже, решили перенять образ мышления древних греков — один набор законов у нас работает на классическом уровне, а другим, совершенно на первый непохожим, мы пользуемся для описания процессов на квантовом уровне. Я придерживаюсь мнения — и это мнение разделяет, если можно так выразиться, весьма представительное меньшинство физиков, — что такое состояние научной мысли является не чем иным, как временным ступором, и можно предположить, что отыскание соответствующих квантово-классических законов, действующих единообразно на всех уровнях феноменов, возвестит научный прорыв, сравнимый по масштабу с тем, у истоков которого стояли Галилей и Ньютон.