Алексей Лосев - Хаос и структура

• Название: Хаос и структура
• Автор: Алексей Лосев
• Жанр: Математика
• Год: 1993

"Все философско–математические и логические исследования, представленные в данном томе, созданы в 30—40–х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла с уверенностью определять «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз мироустройства, — Имя, Миф, Число.

"Содержание тома можно условно разделить на две части. Первая посвящена философским вопросам математики и представлена книгой «Диалектические основы математики», вторая—философским вопросам логики, и ее образуют работы «О методе бесконечно–малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых». Завершает том небольшой фрагмент «Математика и диалектика». Работы второй части, безусловно представляя самостоятельный интерес, в то же время определенным образом восполняют утрату тех разделов «Диалектических основ математики», где должна была трактоваться содержательная сторона дифференциального и интегрального исчислений."

---

b) Конечное число, стало быть, [есть] та или иная форма объединения бесконечности с нулем, или относительное тождество бесконечности с ее собственным инобытием, относительное (т. е. некоторое, то или иное) тождество бесконечности и нуля. Необходимо в этом определении обратить самое серьезное внимание на момент относительного тождества. Относительность указывает здесь на частичность, на неполноту тождества. Бесконечность не прямо отождествляется с нулем, так, чтобы уже появилась совершенно новая категория, но конструируется только лишь степень бесконечности, ее сокращение и убыль в связи с привхождением в нее инобытийных различий. Что же касается абсолютного тождества бесконечности и нуля, то тут действительно рождается совершенно новая диалектическая категория; и о ней должен идти разговор совершенно самостоятельно.

c) Непривхождение внешнего инобытия в бесконечность обусловливает также и характерную для нее эквивалентность части и целого. Эту эквивалентность мы уже вывели раньше как бы сверху, т. е. из более общих предпосылок. Но ее можно обосновать также и «снизу», анализируя отсутствие в бесконечности внешнего <…>, который как раз и вносит в нее это количественное дробление и наличие [отдельных] частей. Раз нет этого начала, разрывающего бесконечность на абсолютно изолированные одна от другой части, то наличная в чистой бесконечности раздельность остается чисто смысловой расчлененностью целого, пребывающей в абсолютном синтезе расчленяемого, без всякого перехода в какую бы то ни было механическую внеположность, которая бы превращала все расчленяемое в (…) и взаимно изолированное. Поэтому сама по себе бесконечность абсолютно <…> ни для какого дробления; и все различия, свойственные ей, нисколько не нарушают ее повсюдной и абсолютной самотождественности. В ней различаются, например, центр и периферия, но они в то же время решительно совпадают, и нет никакой возможности понимать их как внешнераздельные точки. В ней различаются движение и покой, подвижные и покоящиеся точки, но в го же время эти точки целиком и окончательно совпадают, так что в бесконечности все решительно и движется, и покоится в одной и той же степени. И т. д., и т. д. Словом, в бесконечности всякая раздельность не есть разрыв, но полная синтетическая собранность и самотождество, приводящая к абсолютной эквивалентности в ней целого с отдельными частями.

9. Итак, последняя диалектическая формула бесконечности может быть представлена в следующем виде: бесконечность есть тождество внутреннего числового инобытия с его собственным инобытием, взятым во всем предельном напряжении. Или: бесконечность есть внутренний синтез числового инобытия с его всецелым алогическим становлением. Или: бесконечность есть число, в котором целое и часть абсолютно эквивалентны друг другу.

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности).

Прежде чем расстаться с анализом категории бесконечности, вполне уместно расширить наше исследование до таких пределов, в которых уже намечались бы и кон–крътъо–физические выводы. Разумеется, в труде, посвященном диалектическим основаниям математики, все эти темы могут быть свободно обойдены. Однако только на этих геометрических и конкретно–физических проблемах становится ясным все чудовищное своеобразие этой категории, столь упорно замалчиваемое и затираемое в обычном и популярном сознании. Как ни говорят математики, что с бесконечностью нельзя оперировать аналогично с конечными величинами, тем не менее, переходя к конкретно–физическим и геометрическим проблемам, мыслители, и большие и малые, забывают это золотое правило теоретической математики и начинают рассуждать так, как будто бы никакого своеобразия в категории бесконечности не было. Попробуем не развивать целиком соответствующее учение, а только всего наметить некоторые приблизительные вехи для будущего анализа этой величайшей проблемы о бесконечности в геометрическом и конкретно–физическом смысле, что не может не превратиться в проблематику формы бесконечности, ибо бесконечность и сама по себе есть прежде всего некая форма и обладает она в обязательном смысле некой определенной формой, которую очень трудно, но необходимо хотя бы предварительно формулировать.

О форме бесконечности

1. Бытие в целом есть или ничто, или нечто. Если оно ничто, то не существует самого понятия бытия, и оно есть только собрание бессмысленных звуков, и ни о чем нельзя сказать, что оно существует. Если же бытие есть нечто, то ему принадлежит какая–нибудь существенная для него качественность, оно есть какая–то единичность, и в этом смысле — неделимость. Абсолютная неделимость есть точка. Следовательно, бытие в целом есть некая точка. Бытие в целом есть или ничто, или точка, точка как точка и точка в своем развитии, развертывании и движении, построяющем новые и новые фигуры бытия. Бытие—одно. Это одно содержится в каждой его точке, и, следовательно, бытие есть цельность. Бытие как точка содержит эту точку в каждом своем моменте, и все эти точки слиты в одну точку. Бытие как точка есть одновременно и одна–единственная точка, и бесконечное количество точек, раздельных одна от другой и слитых одна с другою — одновременно. Точка, находящаяся сразу везде, есть одна и единственная точка.

2. Линия, являющаяся окружностью круга, сильно изогнута, если радиус круга невелик. Если радиус делается больше, то окружность круга получает меньшую кривизну и выпрямляется. Если радиус бесконечно велик, то окружность круга делается прямой линией. Прямая есть круг с бесконечно большим радиусом. Или иначе: прямая и замкнутая кривая в бесконечности есть одно и то же; прямая, продолженная в бесконечность, искривляется в замкнутую кривую и возвращается в исходную точку.

3. Если взять треугольник и его вершину отдалять от основания, то угол при вершине делается все меньше и меньше. Если вершина будет удалена в бесконечность, то угол при вершине обратится в линию. Итак, в бесконечности угол и прямая есть одно и то же. Другими словами, прямая, продолженная в бесконечность, необходимым образом имеет по крайней мере два разных направления. Однако поскольку движение вершины треугольника может начаться с любого расстояния от основания, постольку с прямой может быть отождествлен решительно любой угол. Следовательно, прямая линия, продолженная в бесконечность, имеет бесконечное количество направлений.

4. Шар, имеющий бесконечно большой радиус, очевидно, имеет нулевую кривизну своей периферии, т. е. шар с бесконечно большим радиусом не отличается ничем от обыкновенной прямой линии. Другими словами, прямая линия, продолженная в бесконечность, есть также и шаровое тело, шар.

5. Шар есть или ничто, или нечто. Если шар есть нечто, то он есть нечто в каждой своей точке, ибо в противном случае он распался бы на некоторые или на бесчисленное количество разных тел. Если же шар есть шар в каждой своей точке, то в смысле шаровости ни одна его точка ничем не отличается от другой. Следовательно, шар в смысле своей шаровости, т. е. шар, взятый как шар, как таковой, как шар в своей сущности, есть не более как точка. Шар, взятый также и с бесконечно большим радиусом, есть тоже только точка.

6. Итак, в бесконечности точка, линия, угол, круг и шар есть одно и то же.

7. Что значит двигаться по бесконечности или в бесконечности?

а) Двигаться по бесконечности от точки А до точки В—значит проходить по прямой А В.

b) Двигаться по бесконечности от А к В—это значит описать замкнутую кривую через точки В и А и вернуться в ту же исходную точку А.

c) Двигаться по бесконечности от А к В—значит сразу же по выходе из точки А пуститься одновременно по разным направлениям, причем эти направления даны решительно во все стороны и, кроме того, этих направлений бесконечное количество. Двигаться по бесконечности вперед от А к В—это значит одновременно и двигаться назад, и двигаться вправо, и двигаться влево, причем между этими четырьмя основными направлениями — бесконечное количество промежуточных направлений. И потому двигаться по бесконечности от А к В—это значит сразу двигаться решительно во всех возможных направлениях, и притом одновременно.

d) Так как в бесконечности прямая и кривая есть одно и то же, то двигаться в бесконечности — значит двигаться не только во всех возможных направлениях, но и по прямым и кривым, одинаково удаляясь от А к В и возвращаясь от В к А.

e) Поскольку всякое удаление от А к В есть одновременно приближение от В к А, постольку тело, двигающееся от А к В, не удаляется от А к В и не приближается от В к А, т. е. оно находится в покое. Двигаться по бесконечности от точки А к точке В—значит пребывать в покое в точке А.

f) Точка есть шар, и шар есть точка. Но двигаться в пределах точки — это значит быть на одном и том же месте, т. е. покоиться, так как точка не имеет измерений. Следовательно, двигаться по бесконечности в шаре (а вместе с тем и по любой линии, прямой или кривой, и в любом направлении) — значит пребывать неподвижным, быть в абсолютном покое.