Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики - так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

-

Для среднего и старшего возраста.

---

- Эту басню Крылова? - сказал Илюша. - Ну конечно, знаю!

- Нет, - отвечал Радикс, - басня- это еще не конец. Конец находится в одной арабской сказке. Говорят, что это неверно, будто бы Шехерезада кончила рассказывать свои сказки в тысяча первую ночь. На самом деле, как я слышал, она еще и потом рассказывала свои замечательные истории. И вот послушай, что она рассказала в тысяча вторую ночь. "Дошло до меня, о счастливый царь, - сказала Шехерезада, - что некогда один старый Павиан пришел к Ворону, поклонился ему и сказал: "Да продлит аллах твои дни, о Ворон! Я пришел к тебе, потому что имею великую нужду".

- 469 -

Борон отвечал: "Я из породы птиц, имя мое Ворон. Я мудрец, писец, чтец и предсказатель, я листаю книгу прошедшего и будущего, я знаю искомое и вижу взыскующего, я толкую сны, открываю клады и черчу гороскопы, я владею тайной и обладаю доказательством. А живу я один век и одно столетие. Что ты хочешь от меня, серая собака?" Павиан отвечал: "Моя госпожа прислала меня к тебе. Ты писец проницательный! Я целую прах у ног твоих и говорю тебе: напиши письмо!" Ворон отвечал: "Уплати мне три дирхема!" А когда деньги были уплачены, Ворон воскликнул: "Слушаю и повинуюсь! Кому и о чем должен я писать?" - "О Ворон, - отвечал Павиан, - моя госпожа вдова, она из породы обезьян, и имя ее Мартышка. Дряхлость пришла к ней, и она в старости слаба глазами стала..." - "Эту басню я уже слышал. Продолжай!" - "Увы мне! - отвечал Павиан. - Увы, покровитель бедных, если ты знаешь эту басню, то мне нет нужды повторять ее. Но слушай, что было дальше и что привело меня к тебе. Когда очки сынов Адама не помогли госпоже моей, то некий могучий Джинн посоветовал ей поискать очки у себя в лесу, а госпожа моя сказала:

"О Джинн, отец ужаса! У кого же в лесу могут быть очки?"

И тогда страшный Джинн высунул язык из правого глаза я громко захлопал ушами, которые росли у него на месте носа, поднял свое левое копыто, посреди которого сиял адским пламенем его глаз, и прошипел: "Слушан и внимай, о мать обезьян! В лесу очки есть у очковой змеи!"

Ворон сказал: "Хвала аллаху! Он знает, зачем дал обезьяне скорлупу дохлого жука вместо головы, чтобы она вызывала безобразных духов и слушала их речи, которых не станет слушать даже безумец. Знаешь ли ты, косматая собака, сын собаки и отец тысячи лысых собак, что такое очковая змея?"

Павиан весь затрясся от страха и прошептал: "Аллах велик!

Я ничего не знаю. Я только припоминаю, как учила меня мать моя, что я погибну в ту минуту, когда узнаю это!"

- 470 -

Ворон ответил: "Узнай же, что это неприступный владыка, мрачный визирь вечной тьмы, которую он носит в зубе. Узнай еще, что когда ему приспеет время служить тьме и он ответит ей: "С любовью и охотой", то он надевает клобук ярости, и на нем-то он носит своп страшные очки, которые есть знак разрушения. Если ты увидишь их, то не успеешь сосчитать, сколько у тебя пальцев на руке, как уже коршуны будут слетаться на твою падаль!" Павиан вытер слезы и сказал: "О покровитель павианов! Ты мудрец и чтец будущего! Госпожа моя проливает слезы и не принимает пищи. Она, как я сказал тебе, слаба глазами стала и недавно чуть не съела мою старую туфлю, приняв ее сослепу за банан. И шакал шел за ней по пятам и поносил ее по всему базару, ибо она дернула его за хвост, потому что ей показалось, что это гроздь винограда. Что делать, покровитель бедных? Госпожа моя плачет и не знает сна. А я сплю с испуганным сердцем, и дни мои гибнут в пучине размышлений. Кланяюсь тебе и лобзаю прах у ног твоих. Напиши раболепное письмо отцу мрака!"

"Аллах велик! - отвечал ему Ворон. - Я живу в чистом воздухе и ночую на вершине пальмы, а отец мрака не охотник подниматься высоко. Давай писать!" И Ворон сочинил раболепное письмо тому, кто носит разлуку с солнцем в своем зубе, а Павиан стоял и дрожал от ужаса. А потом Ворон сочинил еще письмо соседке Мартышки и еще одно письмо соседке тетки Мартышки, а всего он сочинил три письма и надписал три конверта. И когда Павиан пришел к своей госпоже, та обрадовалась, понюхала письма и сказала своему слуге Павиану: "Заклей их в конверты и опусти в почтовый ящик!" Павиан отвечал: "Слушаю и повинуюсь!" Но прошли дни и недели, а ответа не было. И снова пошел Павиан к Ворону, тот опять написал подобострастное письмо очковой змее и еще три письма, а всего он написал четыре письма. И с ними Мартышка приказала поступить так же. И снова прошли дни, а ответа не было. И еще раз пошел Павиан к Ворону, они сочинили еще одно письмо хмурому султану тьмы, который носит клобук нежданного ужаса, и еще четыре письма, а всего они написали пять писем. И снова не было ответа. И тогда Мартышка отправилась за советом к Джиннии, чье безобразие славилось на весь подземный мир и от чьего вида тошнило даже гиену.

Джинния стала колдовать и налить жабью печень, поджелудочную железу утконоса и евстахиеву трубу пиявки, умершей от огорчения в разлуке со своим пиявом. PI когда Джинния начадила так, что сама стала чихать и кашлять, то возопила:

"Горе тебе, о мать бедных! Горе тебе, дитя опрометчивости!

- 471 -

Ты отдала свои письма и конверты слепому пустомеле и дурному чтецу. По тому, как шипит на ведьминой жаровне поджелудочная железа и как дымит печень, я вижу ясно, что этот сын невежества и враг письменных знаков перепутал конверты! И теперь я вижу, что эта путаница и есть причина всех твоих несчастий!"... Вот что рассказывала Шехерезада.

Скажи, пожалуйста, как ты думаешь, возможно ли, чтобы никто из адресатов не получил ни одного письма, если они засунуты в конверты наугад?

- А что дальше было в этой сказке? - спросил Илюша.

- Дальше начинается еще сказка, так как Джиния поясняет Мартышке свою мысль новой сказкой, где каждое из действующих лиц, в свою очередь, опять рассказывает по сказке, и так далее, как и полагается у Шехерезады. А что ты скажешь насчет вероятности того, что ни одна душа не получит своих писем?

- Хм... - сказал Илюша. - Я что-то не пойму, как и взяться за эту задачу! Есть три письма и три конверта, значит надо прикинуть, какие могут быть тут комбинации, то есть как вообще можно вложить письма в конверты.

- Правильно.

- Вот я попробую так, - решил Илюша, - сперва отмечу письма тремя буквами (большими), а потом буду переставлять конверты (я их отмечу маленькими буквами).

- Попробуй.

Илюша составил такую табличку:

Слева он поставил номера возможных комбинаций конвертов, а справа - сколько адресатов при данной комбинации конвертов получат свои письма.

- Значит, так, - сказал Илюша, - есть три письма А, Б и В и три конверта а, б и в. Если конверты расположатся при засовывании в них писем наугад так, как это у меня записано под номером первым, то все трое получат свои письма, так как каждая малая буква в этом случае соответствует большой.

Во втором случае только адресат А получит свое письмо, а Б и В не получат, ибо письмо Б засунуто в конверт для В, и наоборот. В четвертом и пятом случаях никто ничего не получит: все конверты перепутаны. Какова же вероятность того, что никто не получит? Всех возможностей шесть, а никто ничего не получает в двух случаях. Значит, вероятность равна двум шестым, или одной третьей. Верно?

- 472 -

- Правильно! Одна треть. Вот мы и нашли ответ на обезьянью задачку. Вопрос этот сейчас исчерпан полностью.

А теперь давай попробуем поговорить на ту же самую тему, только немножко поглубже копнем, куда обезьяна докопаться не сумела бы. Так вот, как ты думаешь: что же станется с этой вероятностью, если число писем, а стало быть и конвертов, начнет возрастать?

Илюша ответит не сразу. Подумав, он сказал так:

- Мне кажется, что она должна увеличиваться.

- Почему?

- Потому что может быть только один случай, когда все письма попадут по адресу, и, значит, вероятность того, что все получат своп письма, будет падать по мере увеличения количества писем, так как и число комбинаций будет расти.

- Это справедливо. Но я тебя спрашиваю не о вероятности того случая, когда все адресаты получат своп письма, а о совершенно противоположном случае, когда никто не получит своего письма, так как все конверты перепутаны, другими словами, когда в твоей табличке ни разу ни одна большая буква не совпадет с маленькой.

Илюша не знал, что ответить.

- А если попробовать для четырех писем? - сказал он.

- Ну что ж! - отвечал Радикс. - Последуем примеру нашей мартышки.

И Илюша составил табличку:

- Ну, кажется, все! - с облегчением сказал Илюша, составив эту длинную таблицу. - Значит, все получат свои письма тоже только в одном случае. Эта вероятность теперь падает от одной шестой до одной двадцать четвертой.

- 473 -

А никто не получит своего письма теперь в девяти случаях. Значит, вероятность этого равна девяти двадцать четвертым, или трем восьмым. А для трех писем получалась одна треть. Можно так написать:

1/3 и 3/8

или 8/24 и 9/24.

Значит, вероятность того, что никто не получит своего письма, немного увеличилась. На одну двадцать четвертую.