Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

• Название: ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
• Автор: Сергей Бобров
• Издательство: Детская литература
• Жанр: Математика
• Год: 1967

В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики - так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.

-

Для среднего и старшего возраста.

---

Вспомни Архимеда: ведь как раз его задачей и было доказать современникам, что какое бы большое число ни назвать, всегда можно построить еще большее.

- 202 -

- А все-таки непонятно: почему же мне не называть бесконечность числом? - спросил Илюша. - Ведь если говорить, что длина луча равна бесконечности или что число точек на отрезке равно бесконечности, то ведь всякому будет ясно, что это значит...

- Ну что ж, - ответил Радикс, - если употреблять эти выражения в том смысле, в каком мы с тобой только что говорили, то в этом ничего плохого нет. Но когда ты говоришь:

"Что-то превратилось в бесконечность", нельзя забывать, что это имеет определенный смысл, ибо то, что "превращается" во что-нибудь, перестает уж быть тем, чем оно было до этого: отрезок превращается в луч, множество чисел, каждое из которых ты можешь рассмотреть и назвать в отдельности, "превращается" в бесконечное множество всех чисел, в котором пересмотреть до конца элементы один за другим уже не удастся. Это "превращение" - очень хитрая штука. Ты можешь, конечно, вообразить, что тянул, тянул отрезок да и растянул его в луч, как делал с перпендикуляром, поворачивая наклонную до параллельности с ним. Но это ты только воображаешь себе. На самом деле бесконечный луч построить нельзя, а можно только представить себе бесконечный процесс удлинения отрезка. И то, что ты представляешь себе в качестве результата этого процесса, это уж совсем не отрезок, а нечто существенно отличное от отрезка.

- И затем, - сказал Илюша, - я вот еще что хотел спросить. Ты говоришь, что количество точек на отрезке прямой бесконечно, то есть эти точки нельзя исчерпать, перебирая их одну за другой. Ну хорошо, а если сказать, что бесконечность есть именно такое число, которое выражает количество точек на отрезке или вообще количество каких-либо вещей, процесс пересчитывания которых закончить невозможно?

- В некотором, строго определенном смысле можно и так говорить. Но как только ты скажешь, что бесконечность - число, то сейчас же возникает новая опасность. Числа ты можешь сравнивать по величине, складывать их, вычитать, а с бесконечностью в том смысле, как ты ее только что определил, нельзя обращаться, как с числами...

- Ты расскажи, отчего нельзя, - попросил Илюша.

- Вот отчего. Если луч удлинить на десять сантиметров, присоединив к нему в его начальной точке отрезок именно этой длины, то станет ли после этого длина нового луча действительно больше на десять сантиметров или останется прежней? Ведь если снова измерять новый луч, не зная, прибавляли ли к нему еще что-нибудь или нет, то обнаружить разницу по сравнению с тем, что было, ты не сможешь. И в том и в другом случае ты получишь бесконечную последовательность отложенных единичных отрезков и можешь даже их наложить друг на друга: первый на первый, второй на второй и так далее. Поэтому говорить, что второй луч на десять сантиметров длиннее первого, - это значит произносить фразы, не имеющие никакого смысла. Вот что получается со сложением.

- 203 -

А с вычитанием еще того хуже: накладывая два луча друг на друга, я могу сдвинуть при этом их начальные точки так, чтобы между ними образовался отрезок любой длины. А следовательно, если ты напишешь, что бесконечность минус бесконечность есть нуль, то и в этом не будет никакого смысла.

Значит, такое равенство может привести к грубым ошибкам.

Мало того, я из одного луча могу соорудить два точно таких же, так что и с делением и с умножением тоже получается неладно. Поэтому раз с бесконечностью нельзя обращаться, как с числом, то уж лучше совсем и не называть ее числом.

- Постой, как же так: из одного луча два? - спросил Илюша.

- А это тебе объяснит Мишка в следующей схолии, - ответил Радикс.

- 204 -

Схолия Двенадцатая,

где читатель снова встречает Мишеньку, который показывает талисман, замечательный своей полной неистребимостью, а Радикс рассказывает поучительную сказку об одном остроумном директоре гостиницы, а также о том, как Галилей подсчитал однажды, сколько всего есть на белом свете полных квадратов, и о том, как на школьном вечере все танцевали вальс. Тут наш герой проявляет необычайный интерес к прядильному делу, однако с этой проблемой приходится обождать, ибо в это время Илюша должен срочно разрезать одно яблоко на семнадцать миллионов частей. Далее идет очень сложное обсуждение вопроса о том, существует ли особая форма для кривых и какова она. А после того, когда все по этой части благополучно разрешается при помощи прямого угла, так что Илюше удается даже выяснить, какие у этих кривых корни, друзья наши отправляются в лес, где их встречают очень странные существа, наперерыв расхваливающие свой товар, сообщая, кстати, Илюше рецепт, с помощью которого жизнь человека удлиняется ровно вдвое. Наконец друзья приходят в прелестную столовую, где один подслеповатый повар принимает Илюшу в своем кулинарном рвении за гриб.

- Все это может быть и так, - начал снова Илюша, - но мне все-таки хотелось бы узнать у тебя еще кое-что об этой бесконечности. Как ни удивительны те числа, о которых мы говорили с тобой раньше, все-таки это ужасно странное число...

- 205 -

- Фф-у! - в величайшем негодовании воскликнул Радикс. - Я же тебе говорил, что это не число! Запомни это раз навсегда! Если ты не хочешь сейчас же и немедленно поссориться со мной, то лучше и не заикайся об этом.

- Хорошо, хорошо! - торопливо согласился Илюша. - Я только...

- Только что? - раздался тоненький голосок.

Илюша обернулся и увидел старого знакомого - плюшевого Мишку. Мишка хихикнул и сказал:

- Я страшный! Я удивительный! Я очень страшный! Это потому, что у меня есть талисман. Замечательная штучка!

Тут Мишка засунул лапку куда-то за спину, и Илюша увидел, что у этого смешного зверька в его плюшевой шубе сзади устроен еще карманчик. Мишка вытащил большую новенькую серебряную монету и с торжеством показал Илюше.

- На-ка! - важно провозгласил Мишка. - Это, по-твоему, что? Это, брат, неразменный рубль.

Илюша с удивлением взял в руки монету. На ней посреди узора из лежащих на боку восьмерок было выгравировано:

"НЕРАЗМЕННЫЙ РУБЛЬ. Отчеканен высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА и в силу оного имеет дивное хождение и чудное взлетание наравне с чудесами и дивами, каковые при его помощи очень легко приобрести. Беспрепятственно разменивается, нимало не размениваясь, на страх и удивление самым непослушным задачкам".

- Так... - нерешительно произнес Илюша, прочитав эту странную надпись и не зная, чему тут можно верить.

- А знаешь ли, как этот аппарат действует? В этом-то весь секрет! - С этими словами Мишка разломил рубль пополам.

И обе половинки вдруг стали целыми рублями! Самое странное было, однако, в том, что Илюша отлично видел, как Мишка разламывал рубль, но уследить, когда и как обе половинки снова стали целыми рублями, он не мог. Может быть, в этом и заключается секрет неразменного рубля?

Потом Мишка положил эти два рубля друг на друга, и они снова превратились в одну целую монету.

- Видал? - победоносно сказал Мишка. - Вот рублик!

Вот так Мишкина монетка! Вот меня все и боятся! А почему?

Потому что у меня есть неразменный рублик.

Илюша посмотрел с удивлением на равнодушную мину Радикса.

- Что это значит?

- 206 -

- Вот как? - с подчеркнутым удивлением сказал Радикс. - Значит, ты ничего не понял? Достойно сожаления, молодой человек! Ну, в таком случае я расскажу тебе другую историю, не менее поучительную, но, быть может, более понятную... В некотором царстве случилось великое празднество, на каковое съехалось несметное число гостей. И накануне праздника они явились в столицу этого царства и все стали толпой около гостиницы. Выходит директор гостиницы. Спрашивает: "Скажите, пожалуйста, дорогие гости, сколько вас?"

Ему отвечают: "Нас бесчисленное множество. Вот наши делегатские билеты. На них стоят номера от единицы до бесконечности". Директор говорит: "Так как в моей гостинице бесконечное число номеров и как раз они перенумерованы от единицы до бесконечности, то я размещу вас всех. Прошу вас, входите!" И все разместились. Не прошло и часа, как снова на площади перед гостиницей собралась такая же толпа. Снова выходит директор. Снова спрашивает: "Сколько вас, дорогие гости?" И опять ему отвечают: "Столько же, сколько было и в первой партии!" Директор говорит: "Так как в моей гостинице как раз бесконечное число номеров, то я размещу вас всех. Пожалуйста, входите!" Они входят. И что же он делает?

Он перемещает всю свою первую партию гостей. Гостя из номера первого он переводит в номер второй, из номера второго в четвертый, из номера третьего в шестой, из номера четвертого в восьмой, из номера пятого в десятый и так далее. Таким образом, у него все нечетные номера оказались свободными, и там-то он и разместил вторую партию гостей, которая, как и первая, заключала в себе несметное число приезжих.