Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

• Название: Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0730-4

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса. Их исследования объединила теория групп.

---

Следует отметить, что не существует ни полностью элементарных обществ, так как внутри клана всегда допускается некоторая свобода в выборе партнера, ни абсолютно сложных, так как всегда будут существовать те или иные запреты, к примеру, недопустимость инцеста. Но на теоретическом уровне такое различие вполне применимо. При изучении элементарных структур я хотел рассмотреть сложные общества, начав с племен североамериканских индейцев кроу и омаха, которые могли делиться на десятки кланов. Их нормы определяли лишь то, с кем не мог вступать в брак тот или иной человек. Это исследование стало бы логичным продолжением диссертации, но на моем пути встали «Печальные тропики», и я никогда не нашел в себе сил рассмотреть эту в высшей степени сложную задачу с точки зрения математики, так как для этого пришлось бы прибегнуть к помощи компьютеров. С ростом числа кланов число возможных вариантов брака начинает напоминать число ходов в шахматной партии: оно является конечным, но таким большим, что на практике его можно считать бесконечным. Для изучения элементарных структур мне пришлось прочесть около семи тысяч статей, но если бы я не обратился за помощью к вам, то кто знает, смог ли бы я понять более сложные модели.

ВЕЙЛЬ: Не беспокойтесь: мы ограничимся изучением элементарных структур, а прочее оставим молодым исследователям. Если вы не возражаете, я, прежде чем продолжить, напомню, что элементарные структуры удовлетворяют следующим условиям.

66

Условие 1: Все члены племени могут вступать в брак, и каждому из них соответствует единственная разновидность брака.

Обратите внимание, что в подобном обществе число возможных браков в точности равно числу кланов племени. Следовательно, в нашем примере нужно описать M1, M2, M3 и M4.

Так как все мужчины должны иметь возможность вступать в брак, необходимо как минимум четыре правила, по одному для каждого клана. Допустим, что существует еще одно, пятое правило. Оно должно относиться к мужчине определенного клана. Так как кланов всего четыре, это правило обязательно будет описывать один из уже упомянутых кланов, но в таком случае разновидность брака не будет единственной! Мы доказали, что число разновидностей брака должно в точности равняться числу кланов. Однако наши четыре правила не могут быть произвольными: в М1, М2, М3 и M4 должны учитываться не только все мужчины, но и все женщины. Приведем пример правил, для которых выполняется это условие:

(M1) мужчина А и женщина В

(M2) мужчина В и женщина С

(M3) мужчина С и женщина D

(M4) мужчина D и женщина А

ЛЕВИ-СТРОСС: Этнологи называют такую разновидность брака обобщенным обменом, поскольку никакие два клана не обмениваются женщинами: так, мужчины А вступают в брак с женщинами В, а женщины А — с мужчинами D. Теперь, когда мы описали разновидности брака, необходимо объяснить, как они распространяются на представителей следующего поколения. Вновь будем использовать упрощенное условие.

Условие 2: Разновидность брака для каждого человека зависит только от его пола и от разновидности брака его родителей.

ВЕЙЛЬ: Это означает, что существует две функции f и g, которые ставят в соответствие каждой разновидности брака Мi правила f(Мi) и g(Mi), описывающие

67

браки сыновей и дочерей, рожденных в этом браке. Следовательно, изучение структур родства сводится к определению разновидностей брака Мi и функций f и g. Вернемся к предыдущему примеру и предположим, что дети матерей из кланов A, B, С и D принадлежат кланам В, С, D и А соответственно. Посмотрим, как можно определить функции f и g. Разновидность брака М1 описывает брак между мужчиной А и женщиной В. Клан потомков определяется по матери, следовательно, дети от брака М1 будут принадлежать клану С. Так как мужчина из клана С вступает в брак по правилу М3 имеем f(M1) = М3 a g(M1) = M2 поскольку женщины из клана С подчиняются второму правилу. Повторив рассуждения для остальных разновидностей брака, получим следующую таблицу.

Обратите внимание, что функции f и g описывают перестановку разновидностей брака так, что все возможные разновидности оказываются применимы для потомков обоих полов ровно один раз. В противном случае одна из разновидностей брака в следующем поколении исчезла бы, и было бы нарушено первое условие. Помните, что я рассказывал вам о симметрической группе Sn, господин Леви-Стросс? Функции f и g — это перестановки элементов М1, M2, M3 и M4. Сочетая их несколько раз, мы можем достичь любой, даже самой дальней ветви генеалогического древа!

Независимо от сложности правил, описывающих допустимые браки, мы всегда сможем описать их на языке алгебры — достаточно лишь запастись терпением.

ЛЕВИ-СТРОСС: Посмотрим, господин Вейль. Попробуйте доказать, что женщины принадлежат к тому же клану, что и их бабушки по отцовской линии.

ВЕЙЛЬ: Я думал, вы предложите мне задачу посложнее! Допустим, что бабушка и дедушка вступили в брак по правилу Mi. Тогда их сыновья должны последовать правилу f(Mi), а женщины, рожденные в этом брачном союзе, вступят в брак по правилу g(f(Mi)). Следовательно, чтобы определить разновидность брака внучки, сначала нужно применить функцию f, затем — функцию g. Теперь ваш вопрос звучит так: совпадают ли g(f(Mi)) и Mi?

Иными словами, является ли композиция f и g тождественным преобразованием? Чтобы показать, что это не так, достаточно произвести несложные расчеты: поскольку f(M1) равно М3 a g(M3) равно M4, получим, что g(f(M1)) = M4, а не М1 как мы хотели. Следовательно, если бабушка

68

принадлежит клану В, то внучка принадлежит к клану А. Однако бабушка по отцовской линии и ее внучка действительно будут принадлежать к одному клану. Убедитесь в этом!

ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, я впечатлен! Именно такие методы требовались мне в 40-е годы при изучении запрета инцеста — проблемы, над которой до меня работал социолог Эмиль Дюркгейм. Он одним из первых указал, что запрет инцестов есть проявление более общего феномена, распространенного практически повсеместно — экзогамии. Как только мне что-то запрещают в кругу близких родственников, я вынужден покинуть клан, чтобы преодолеть запрет. Таким образом, речь идет не о моральных, а о практических соображениях. Многие опрошенные объясняли, что если женятся на своей сестре, то у них не будет зятя. «С кем я тогда буду ходить на охоту? С кем я буду отдыхать?» — говорили они. Моя точка зрения в некотором роде отличалась от той, которой придерживался Дюркгейм. Мне было интересно понять переход от природы, описываемой всеобщими законами, к культуре, где законы в разных обществах отличались. Вскоре я понял, что запрет инцеста представляет собой некое промежуточное состояние, потерянное звено цепи. Очевидно, что это правило применяется по-разному: в некоторых обществах, чрезвычайно строгих в этом отношении, смертью караются связи, которые мы бы никогда не назвали инцестом. В таком обществе я сам был бы рожден в запретном браке, так как мои родители были пятиюродными братом и сестрой. Другие общества, напротив, настолько либеральны, что в них мужчина может жениться на младшей сестре, хотя вступать в брак со старшей сестрой запрещается. Неизменно одно: всегда существует правило, запрещающее вступать в брак с кем угодно. Согласно моей гипотезе, запрет инцеста есть признак перехода от природы к культуре: в разных обществах это правило отличается, но в то же время оно весьма схоже со всеобщими законами природы.

ВЕЙЛЬ: Если я правильно помню, брак между родными братом и сестрой всегда был запрещен, но в некоторых племенах, которые вы изучали, мужчина мог вступать в брак с дочерью брата своей матери. Посмотрим, как можно записать это правило с помощью перестановок f и g. Не будем сразу же рассматривать мужчину, вступающего в брак, и вернемся на два поколения назад. Рассмотрим брак, заключенный по одному из правил Mi. Дочь, рожденная в этом браке, должна будет последовать правилу g(Mi), сын — f(Мi).

Это и будут мать и ее брат, о которых говорится в условии задачи. Следовательно, мужчина вступит в брак по правилу f(g(Mi)), а дочь брата его матери — по правилу g(f(Mi)). Чтобы оба они могли пожениться, эти правила должны совпадать: f(g(Mi)) = g(f(Mi)). Иными словами,

69

вне зависимости от исходного правила, если мы применим сначала функцию g, а затем — функцию f, то результат будет таким же, как если мы применим сначала функцию f, затем — функцию g. Как я уже объяснял в нашей последней беседе, композиция f и g является коммутативной. Это означает, что подгруппа Sn, которую порождают эти функции (то есть множество элементов, получаемых последовательным применением f и g), является абелевой. Абелевы группы с двумя порождающими элементами очень просты. Сейчас я объясню, почему это так, но вначале потребуется ввести одно новое понятие.