Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

• Название: Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0730-4

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса. Их исследования объединила теория групп.

---

56

В общем случае группы G и Н называются изоморфными, если существует функция f, которая сопоставляет каждому элементу G некий элемент Н так, что выполняются три следующих условия:

1) различным элементам соответствуют различные отображения;

2) любой элемент Н является отображением некоторого элемента G;

3) функция f удовлетворяет определению групповой операции, а именно: если мы выполним операцию над элементами g1 и g2 множества G, после чего найдем отображение ее результата или же если мы сначала найдем отображения f(g1) и f(g2), после чего выполним операцию над ними, то полученные результаты будут одинаковы[5].

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно, что дальше?

ВЕЙЛЬ: Аксиомы, определяющие структуру группы, можно использовать при доказательстве теорем, которые будут верны для любых групп при соблюдении необходимых условий. В частности, эти теоремы будут верны для нашей группы преобразований треугольника! Пункт 2 определения группы гласит, что существует нейтральный элемент е такой, что равенство а*е = е*а = а верно для любого а, и в определении не указывается, сколько элементов группы обладают этим свойством. Но в пункте 3 определения подразумевается, что он единственный — в противном случае потребовалось бы уточнить, какому из нейтральных элементов равна композиция произвольного элемента и обратного ему. Докажем, что нейтральный элемент является единственным. Допустим, что существуют два нейтральных элемента, е1 и е2. Требуется доказать, что е1 = е2. Рассмотрим произведение е1 * е2.

С одной стороны, е1 — нейтральный элемент, поэтому он не изменяет значение элемента, записанного слева от него. Следовательно, е1 * е2 = е2. С другой стороны, е2 — также нейтральный элемент, следовательно, при умножении любого элемента на е2 этот элемент не изменится. Таким образом, е1 * е2 = е1 Мы доказали, что е1 * е2 одновременно равняется е1 и е2, следовательно, е1 и е2 должны быть равны.

Единственность нейтрального элемента. В любой группе существует только один элемент, для которого выполняется равенство а*е = е*а = а для любого а на множестве G.

ЛЕВИ-СТРОСС: Обратные элементы также будут единственными?

57

ВЕЙЛЬ: Конечно! Как и раньше, предположим, что существует два элемента b1 и b2 такие, что а*b1 = b1*а = е и а*b2 = b2*а = е. Получим, что а * b1 = а * b2 так как обе части равенства в свою очередь равны е. Это равенство по-прежнему будет корректным, если мы умножим обе его части на b1 Получим

b1 * а * b1 = b1 * а * b2

Напомню, что в произведении трех элементов скобки можно расставить как угодно. Так,

b1 * а * b1 = (b1 * а) * b1 = е * b1 = b1

поскольку b1* а = е, где е — нейтральный элемент. Аналогично,

b1 * а * b2 = (b1 * а) * b2 =e*b2 = b2

Так как оба выражения равны, имеем: b1 = b2 В силу этого свойства элемент b можно считать обратным а и записать b = а-1

Я очень рад, что вы задали этот вопрос, поскольку при ответе я упомянул одно утверждение, которое нам очень пригодится в будущем. Обратите внимание, что из равенства а * b1 = а * b2 мы вывели, что b1 = b2 Это свойство общее для всех групп: если результаты умножения двух элементов на третий элемент (в том же порядке) совпадают, то два исходных элемента равны.

Закон сокращения. Если в группе G выполняется одно из равенств

а * b = а * с или b * а = с * а, то b = с.

ЛЕВИ-СТРОСС: Но как это доказать?

ВЕЙЛЬ: Очень просто: достаточно повторить действия, которые мы уже выполнили. Допустим, дано равенство а * b = а * с. Согласно аксиоме теории групп под номером 3 для элемента а существует обратный элемент, который к тому же будет единственным. Обозначим его через a-1. Равенство по-прежнему будет верным, если мы припишем в каждую его часть слева a-1. Имеем:

a-1 * а * b = a-1 * а * с.

Теперь можно использовать свойство ассоциативности и сгруппировать элемент а и обратный ему. Так как a-1 * а равно е, то, с одной стороны,

а-1 * а * b = = (a-1 * а) * b = е * b = b,

с другой стороны,

a-1*а*с = (a-1*а)*с = е*с = с,

поэтому обязательно будет выполняться соотношение b = с. Если исходное равенство будет записано не в виде a*b = a*c, а в виде b * а = с * а, достаточно будет провести аналогичные рассуждения, но приписать обратный элемент не слева, а справа.

58

ЛЕВИ-СТРОСС: А для чего нужно это свойство?

ВЕЙЛЬ: Оно, в частности, позволяет доказать, что таблица умножения конечной группы — это латинский квадрат. Напомню: латинский квадрат — это таблица чисел, в каждой строке и в каждом столбце которой записаны все элементы группы.

Обозначим их через а1 а2... аn. Приведем доказательство для второго столбца таблицы; для любого другого столбца оно будет аналогичным. Какие элементы записаны во втором столбце? Те, что определяются умножением а2 на все элементы группы, то есть а2 * а1, а2 * a2, а2 * а3 ... и так далее до а2 * аn. Допустим, что два выражения из этого списка равны, то есть существуют два индекса j и k такие, что а2 * аj = а2 * ak. Так как а2 приводится в обеих частях выражения, по закону сокращения имеем аj = ak. Таким образом, в этом столбце нет двух одинаковых элементов!

Но так как группа состоит из n элементов, а в столбце таблицы нужно записать n неповторяющихся элементов, то в этом столбце будут записаны все элементы группы! Понимаете?

ЛЕВИ-СТРОСС: Для строк это свойство доказывается аналогично — достаточно поменять множители местами.

ВЕЙЛЬ: Вы определенно делаете успехи, господин Леви-Стросс. Мне кажется, вы готовы ко встрече с новыми группами. Помните, совсем недавно я говорил, что групповая операция на множестве из трех элементов определяется единственным образом? Теперь я объясню, почему это так, но прежде чем изучить случай с тремя элементами, рассмотрим группы порядка 1 и 2. Я уже объяснял, что такое порядок группы? По-моему, нет. Для конечных групп порядком называется число элементов группы.

ЛЕВИ-СТРОСС: Но мы уже дали порядку другое определение, не так ли?

ВЕЙЛЬ: И да, и нет. В примере с преобразованиями треугольника я говорил, что R имеет порядок, равный трем, так как три поворота фигуры на 120°, выполненные последовательно, не изменяют ее. В общем случае порядок элемента равен n, если, выполнив операцию над этим элементом n раз (или возведя его в степень n), мы получим тождество. Вам может показаться, что это определение не имеет ничего общего с предыдущим, но сейчас я продемонстрирую, что это не так.

Рассмотрим произвольный элемент группы, например а. Мы можем составить группу степеней а, то есть <а> = {а, а2, а3...}, где а2 — сокращенное обозначение а * а, а3 обозначает а * а * а и так далее. Допустим, что а имеет порядок n в соответствии с первым определением, то есть аn — нейтральный элемент группы. Тогда перечень степеней остановится на аn = е и затем начнется сначала, так как

аn+1 = аn * а = е*а = а, аn+2 = а2

и так далее. На самом деле множество будет содержать

59

всего n элементов: <а> = {а, а2 ... аn = е}. И это непростое множество: <а>, в свою очередь, является группой: оно содержит нейтральный элемент, результат операции над двумя степенями а всегда равен степени а, и элемент аn-i является обратным для аi. Следовательно, порядок элемента — это порядок множества, состоящего из его степеней. Это новое определение носит более общий характер, чем первое.

Впрочем, интереснее другое. Я предлагаю вам поупражняться в различных действиях над группами и посмотреть, как выглядят группы наименьшего порядка.

В определении группы мы указали, что она обязательно должна содержать нейтральный элемент, поэтому группа не может быть пустой — она всегда будет содержать как минимум нейтральный элемент. Если порядок группы равен единице, она не может содержать других элементов, поэтому будет выглядеть так: G = {е}. Посмотрим, как выглядят группы из двух элементов. Они должны иметь вид G = {е, а}, где е — нейтральный элемент, а — другой элемент, отличный от е. По определению, а*е = е*а = а, а также е * е = е. Следовательно, чтобы полностью определить эту группу, достаточно найти значение а2 = а * а. Этот элемент также должен принадлежать группе, поэтому у нас есть всего два варианта: либо а2 = е, либо а2 = а.

Последний вариант можно сразу же исключить из рассмотрения: применив закон сокращения к равенству а2 = а, получим, что а = е, но мы уже отмечали, что а и е отличаются. Следовательно, существует всего одна группа второго порядка.

Группа второго порядка.