Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

• Название: Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0730-4

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса. Их исследования объединила теория групп.

---

Так на свет появлялись скрытые аллитерации. Кено зашел еще дальше: он написал десять сонетов так, что читатель мог менять местами строчки произвольным образом. Так получились «Сто тысяч миллиардов стихотворений».

ЛЕВИ-СТРОСС: Мы уже несколько раз заговаривали о структуре, но в те годы я еще не был структуралистом, а если и был, то не осознавал этого.

Я помню момент озарения, случившийся в конце 1939-го, хотя я не уверен, что не придумал эту историю позже, ведь память подобна коробке со старыми фотографиями.

39

Когда я служил в армии, мне поручили цензурировать телеграммы, но цензура вгоняла меня в такую тоску, что я попросил дать мне любую другую работу.

В результате каким-то образом я с тремя-четырьмя сослуживцами оказался на самой линии Мажино, где мы провели всю зиму в ожидании английских разведчиков, которые появились лишь тогда, когда немецкие войска перешли в наступление.

На одной из прогулок — а мы только и делали, что прогуливались, — я залюбовался одуванчиком. Это был одуванчик, а не роза, поэтому у меня есть все основания полагать, что я не выдумал эту историю. Меня поразил скромный одуванчик, и вдруг я понял: все, что я могу сказать об этом одуванчике, будет либо сравнением, либо противопоставлением чему-то иному. Если мы забудем все, что знали, то сможем сказать об одуванчике только одно: он существует. Существовало некоторое множество взаимосвязей, образовывавших структуру, без которой, возможно, ничего не существовало бы.

ВЕЙЛЬ: Такую структуру Якобсон нашел в лингвистике.

ЛЕВИ-СТРОСС: Знакомство с Романом Якобсоном для меня было сродни путешествию, откуда нет возврата, и оставило неизгладимый след.

Мы прибыли в Нью-Йорк одновременно и встретились в Ecole libre des hautes etudes, «Вольной школе высших исследований» — университете, организованном французским правительством в изгнании. Покинуть родину меня вынудили законы режима Виши, а Якобсона — Октябрьская революция. Он не любил говорить на эту тему — кто-то писал, что в Якобсоне было «благородство от науки, которое не могли поколебать никакие невзгоды»,— но я знаю, что в сложившейся политической обстановке ему пришлось учиться ускоренными темпами, чтобы быть интеллектуально готовым к грядущим событиям. Он поспешно организовал отъезд и отправился в Чехословакию как переводчик Красного креста, где вместе с русским князем Трубецким основал Пражский лингвистический кружок. Якобсон и Трубецкой заложили основы современной фонологии. Величайшим ее достижением стало разложение звука, по своей природе непрерывного, — любой человек произносит звуки по-разному — на дискретные единицы — фонемы, образующие замкнутое множество. Ах если бы мы могли проделать то же с семантикой!

Якобсон прослушал несколько моих курсов, я — несколько курсов, которые вел он. По окончании занятий мы обычно продолжали разговор в одном из ближайших кафе. Якобсон, подобно древним грекам, любил застольные беседы. Он всегда, даже в научной работе, предпочитал диалог монологу, поэтому выполнил множество совместных исследований с разными учеными. К примеру, мы с ним вместе подготовили комментарий к «Кошкам» Бодлера, где «любовник пламенный» противопоставляется

40

тому, «кому был ведом лишь зов познания», и двух героев стихотворения объединяет исключительно любовь к кошкам. Мне кажется, это был единственный случай, когда в журнале по антропологии был опубликован анализ французского стихотворения XIX века. Но Якобсон не просто любил диалог — он обладал особым даром вдохновлять собеседников, с которыми неизменно был на ты. Не важно, о чем шла речь — о русском формализме или о взаимосвязи генетического и лингвистического кодов, — с ним любой ощущал себя, как сказал Исайя Берлин, словно на восходящей кривой: более чувствительным и интересным, чем на самом деле.

Интересно, где сейчас Якобсон. Ему следовало бы присоединиться к нам!

ВЕЙЛЬ: Возможно, мы бы поспорили о том, кто знает больше языков.

ЛЕВИ-СТРОСС: В этом споре вам бы пришлось нелегко — он в совершенстве владел шестью или семью языками. Мне кажется, вы славно бы повеселились.

Между прочим, именно Якобсон вдохновил меня написать «Элементарные структуры родства» по окончании курса по этой теме, который я прочел зимой 1942-го.

Именно тогда я решил проследовать в этнологии тем же путем, что Якобсон с коллегами — в лингвистике. Но мне кажется, мы не сможем продолжить нашу беседу, если вы не расскажете мне, о чем же говорится в этой теории групп, которая вам так хорошо знакома.

41

Глава 3 История групп

Математика — всего лишь история групп.

Анри Пуанкаре

ВЕЙЛЬ: Присаживайтесь, господин Леви-Стросс.

ЛЕВИ-СТРОСС: Вы объясните мне, что такое группа?

ВЕЙЛЬ: Постараюсь. Мне хотелось бы начать с одного примера — он очень прост, но в нем постепенно раскрывается большинство основных понятий теории групп. Представьте себе равносторонний треугольник — надеюсь, вы помните, что это треугольник, все стороны которого равны. Меня интересуют движения, которые не меняют положение треугольника, то есть такие, когда сторонний наблюдатель не сможет увидеть разницу между треугольниками «до» и «после». Говорят, что треугольник инвариантен относительно таких преобразований.

ЛЕВИ-СТРОСС: Простите, я перебью вас, господин Вейль. Я кое-что не понял: если фигура в результате этих преобразований не меняется, то как определить, выполнили мы это преобразование или нет? Ведь треугольники не имеют памяти!

ВЕЙЛЬ: Хороший вопрос. Я как раз собирался ответить на него. Нужно пронумеровать вершины треугольника. Он будет выглядеть так же, однако в результате преобразования положение вершин изменится, таким образом, преобразование оставит свой след. Вершины нумеруются исключительно из соображений удобства.

Первая разновидность движения, которую мы рассмотрим, — поворот на 120° против часовой стрелки относительно центра треугольника.

Обозначим это преобразование через R. Как я уже говорил, увидеть результат R нельзя, но если мы бы, к примеру, пронумеровали вершины треугольника, начиная с верхней, против часовой стрелки, то можно было бы сказать, что R переводит первую вершину в третью, вторую — в первую, третью — во вторую. Проще всего показать это на рисунке.

43

Результат поворота R.

Видите? Треугольник не изменился, но теперь его вершины пронумерованы 3—1—2, а не 1—2—3.

R не единственное преобразование, оставляющее треугольник неизменным.

Представьте себе осевую симметрию, ось которой пересекает треугольник. Чтобы в результате симметрии треугольник остался неизменным, нужно внимательно выбрать ось, так как при некоторых видах симметрии положение треугольника изменится.

Симметрия, при которой треугольник меняется.

Треугольник останется неизменным, если ось симметрии проходит через его центр и одну из вершин. Поворот мы обозначили через R, симметрию — через S. Та же схема, которой мы проиллюстрировали поворот R, поможет показать, как изменится положение вершин при симметрии S. Первая вершина останется на месте, а вторая и третья поменяются местами. Теперь вершины пронумерованы не 1—2—3, а 1-3-2.

Результат симметрии S.

Теперь нам известны преобразования R и S. Что с ними можно сделать?

ЛЕВИ-СТРОСС: Выполнить сначала первое, а затем — второе?

ВЕЙЛЬ: Именно! Основное свойство этих преобразований заключается в том, что для двух таких преобразований можно определить их композицию. Применим поворот R, затем — симметрию S и обозначим полученный результат как SR. Мы привыкли читать слева направо, поэтому было бы логичнее записать RS, так как поворот R выполняется первым. Однако обозначение SR имеет свои преимущества.

Найдем композицию двух исходных преобразований.

Композиция преобразований R и S.

На рисунке показано, что при движении SR вторая вершина остается неизменной, а две другие меняются местами. Следовательно, порядок следования вершин меняется с 1—2—3 на 3—2—1. Обратите внимание, что этот же результат можно

45

получить, применив к исходному треугольнику осевую симметрию, ось которой проходит через вторую вершину. Два этих преобразования совпадают.

Композиция преобразований SR представляет собой симметрию.

Теперь определим RS, то есть сначала применим S, а затем R, и посмотрим, как изменится порядок вершин.

ЛЕВИ-СТРОСС: Но от перемены мест множителей произведение не меняется.

ВЕЙЛЬ: Ах, эта юность, эта святая простота! Как же сложно по-новому посмотреть на то, что всем известно с детства. «От перемены мест множителей произведение не меняется» только при умножении чисел: трижды семь — то же, что и семью три. Однако нет никакой причины, по которой этот закон должен выполняться для других операций, например для сочетания движений, оставляющих исходную фигуру неизменной. Между прочим, это четко видно в нашем примере. Если сначала мы выполним S, а затем R, то получим...