Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

• Название: Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0730-4

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса. Их исследования объединила теория групп.

---

Тогда е = gd = gpn + r = (gn)p gr = gr, так как gn = e. Таким образом, gr = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.

Так как xsr = е, то, по лемме 3, sr нацело делится на порядок (х) = Ik, то есть существует v такое, что sr = Ikv. Подставив в это выражение значение f, которое

133

мы только что вычислили, получим sr = trkv. Так как r — порядок элемента уt, это ненулевое целое число. Разделив на него обе части равенства, получим s = tkv.

Заключительная часть доказательства

В этом, последнем, разделе мы докажем, что группа G изоморфна прямому произведению циклических групп, порожденных х и x-vky, где v — целое число, определенное в предыдущем разделе. Имеем элементы порядка lk и t соответственно.

В первом случае доказательство не требуется. Во втором случае заметим, что

(x-vky)t = x-vkt yt = x-vkt xs = xs-vkt = e,

так как yt = xs и s = vkt. Если бы существовало другое целое число t' < t, для которого (х-vky)t' = е, то мы получили бы равенство у1 =x~vkt. Однако это выражение противоречит определению f как наименьшего целого числа, для которого у1 — степень х. Следовательно, x~vky имеет порядок f, а порядок прямого произведения <х>

<x~vky> равен Ikt.

Рассмотрим функцию φ:<x>×<x-vk>→G которая ставит в соответствие пару (хi, (x-vky)j) элементу xi-vkyj. Проведя расчеты, очень схожие с теми, что были выполнены при доказательстве леммы 1, получим, что φ определено однозначно и является гомоморфизмом групп (предлагаем читателю провести необходимые расчеты самостоятельно). Так как группы G и <х> х <x-vk> имеют один и тот же порядок, то чтобы показать, что φ — изоморфизм, достаточно доказать, что это отображение является инъективным, то есть доказать, что из xi-vkyj = e следует хi = е и (x-vky)j = е. Последнее равенство эквивалентно равенству yj = x-vkj, таким образом, уj является степенью х. Проведя рассуждения, по сути, аналогичные тем, что мы выполнили при доказательстве леммы 3, увидим, что j должно быть кратно t.

Следовательно, существует j' такое, что j = tj'. Имеем:

e = хi-vk уi = хi-vktj' уtj' = хi-(vkt)j'xsj' = хi-sj' хsj' = хi,

так как уt = хs и s = ukt. Следовательно, как и требовалось, хi = е. Мы показали, что группа G изоморфна прямому произведению двух циклических групп. Если их порядки выражаются взаимно простыми числами, эта группа изоморфна циклической группе. Теорема доказана.

134

Библиография

ARBONES, J., MlLRUD, P., La armoma es numerica. Musica y matematicas, Barcelona, RBA, 2010.

AUBIN, D., «The Withering Immortality of Nicolas Bourbaki: a Cultural Connector at the Confluence of Mathematics, Structuralism and the Oulipo in France», Science in Context, 10 (2), 1997, 297-342.

BERTHOLET, D., Claude Levi-Strauss, Granada, Universidad de Granada, 2003.

BOREL, A. ET AL., Andre Weil (1906-1998), numero especial de la Gazette des Mathematiciens, 1999.

BROUE, M., «Les tonalites musicales vues par un mathematicien», en «Le temps des savoirs», Revue de l’Institut Universitaire de France, 4, eds. D. Rousseau & M.

Morvan, Paris, Odile Jacob, 2002, 37-78.

BOURBAKI, N., «Foudations of Mathematics for the Working Mathematician», Journal of Symbolic Logic 14, 1949, 1-8. N.

—: Theorie des ensembles, Paris, Hermann, 1954.

—: «L’architecture des mathematiques», en Les grands courants de la pensee mathematique, Paris, ed. F. Le Lionnais, Cahiers du Sud, 1948, 35-47.

CALVINO, I., «Rapidez» en Seis propuestas para el proximo milenio, Madrid, Siruela, 1990.

CARTIER, P., «Le defi post-hilbertin», prologo a Jeremy J. Gray, Le defi de Hilbert. Un siecle de mathematiques, Paris, Dunond, 2003.

—: «Matematicos sin fronteras», Gaceta de la RSME, aparecera.

—: «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques III. Le structuralisme en mathematiques: mythe ou realite?, Prepublications de flHES M/98/28.

CARTIER, P., ChEMLA, K., «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques II. La creation des noms mathematiques: l’exemple de Bourbaki», Prepublications de ITHES M/98/20.

DIOFANTO, La «Aritmetica» y el libro «Sobre los numeros poligonales», ed. M. Benito Munoz, E. Fernandez Moral y M. Sanchez Benito, Tres Cantos, Nivola, 2007, 2 vols.

ERIBON, D., Levi-Strauss, C., De cerca y de lejos, Madrid, Alianza, 1990.

FRESAN, J., «Le chateau de groupes. Entretien avec Pierre Cartier» en «Notes sur l’histoire et la philosophie des mathematiques V. Le probleme de l’espace», Prepublications de ITHES M/09/41. Un resumen en ingles se ha publicado en EMS Newsletter, diciembre 2009, 30-33.

135

—: «Lejos de las cigarras inclementes», Revista de Libros, n• 158, febrero 2010, 7-8.

—: «En casa de los Weil», Clarin: revista de nueva literatura, XVI, n• 93,15-20.

JAMES, J., The Music of the Spheres: Music, Science and the Natural Order of the Universe, Nueva York, Grove Press, 1993.

JOULIA, E., Levi-Strauss. Lhomme derriere Ioeuvre, Paris, JC Lattes, 2008.

LEVI-STRAUSS, C., Las estructuras elementales del parentesco, Barcelona, Paidos, 1998.

—: Mirar, escuchar, leer, Madrid, Siruela, 1994.

—: Tristes tropicos, Barcelona, Paidos, 2006.

MARCHAND, J.J., Entretien avec Claude Levi-Strauss, disponible con subtitulos en espanol en http://www.youtube.com/watch?v=_Vg4Jx3wzo4 y sucesivos.

SENECHAL, M., «The Continuing Silence of Bourbaki — An Interview With Pierre Cartier», The Mathematical Intelligencer 20 (1), 1998, 22-28.

TODOROV, T., «Jakobson y Bajtin», en La experiencia totalitaria, Barcelona, Galaxia Gutenberg, 2010.

WEIL, A., Memorias de aprendizaje, Tres Cantos, Nivola, 2002.

—: Number Theory. An Approach Through History from Hammurapi to Legendre, Boston, Birkhauser, 1994.

—: (Euvres scientifiques: collected papers, Berlin, Springer, 2009, 3 vols.

WEIL, S., ?uvres, Paris, Gallimard, 1999.

—: En casa de los Weil. Andre y Simone, Madrid, Trotta, 2011.

WRIGHT, D., Mathematics and Music, Providence, American Mathematical Society, 2009.

Примечания

1

1 Сторонники Альфреда Дрейфуса, французского офицера, еврея по происхождению, незаконно осужденного по обвинению в государственной измене в конце 1894 года.

2

2 Коллеж де Франс, основанный королем Франциском I в 1530 году, — уникальное учебное заведение. Каждый год преподаватели точных и естественных наук читают курсы самого высокого уровня для всех желающих, где представляют свои исследования, которыми занимаются в настоящий момент.

3

3 Высшая нормальная школа Парижа — престижное высшее учебное заведение, где готовят преподавателей и исследователей по всем точным и естественным наукам. Среди выпускников школы двенадцать нобелевских лауреатов и одиннадцать лауреатов Филдсовской премии. Для поступления в Нормальную школу нужно пройти двухлетние подготовительные курсы, по окончании которых сдаются письменные и устные экзамены.

4

1 Морис Оден работал над докторской диссертацией в Университете Алжира и был схвачен, подвергнут пыткам и казнен французскими властями за ожесточенное противодействие их колониальной политике. Диссертация была защищена в Париже в его отсутствие.

5

1 Понятие изоморфизма групп подробно рассматривается в начале приложения.

6

1 Заинтересованный читатель найдет полное доказательство в приложении. Чтобы вы могли полностью понять доказательство, рекомендуем сначала прочесть первую часть следующей главы.

7

2 Перевод А. М . Эфроса.

8

1 Докажем это! Пусть d = НОД (m, n). Допустим, что результат деления m на n равен f, остаток равен r, то есть m = л/ + r. Заметим, что r делится на d. В самом деле, по определению существуют числа р и q такие, что m = dp и n = dq. Подставив эти выражения в первое равенство, получим: r = m — nt = dp — dqt = d (p — qt), следовательно, r делится на d. Чтобы показать, что НОД (n, r) = d, достаточно доказать, что эти два числа не могут иметь общий делитель, больший d. Это вновь следует из формулы m = nt + r: если бы такой делитель существовал, он также был бы делителем m, следовательно, был бы общим делителем m и n, большим d, но d — наибольший общий делитель по определению.

9

1 Как объяснял один из членов Британского института стандартов, «частота, используемая в трансляциях ВВС, определялась осциллятором, в котором использовался пьезоэлектрический кристалл с частотой колебаний в 1 миллион герц. Эта частота уменьшалась электронными средствами до 1000 Гц, затем умножалась на 11 и делилась на 25. Так получалась требуемая частота в 440 Гц. Так как число 439 является простым, его нельзя получить подобным способом».

1

1 Автор выражает благодарность Густаво Очоа за помощь в подготовке приложения.

2

2 На самом деле мы доказали следующий, более точный результат.

Пусть С — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами а и b. Пусть порядок (а) = p1e1 ... m prer и порядок (b) = p1f1 ... m prfr, где р — простые числа, e1 и f1 — целые неотрицательные числа, m и n — взаимно простые. Следовательно, группа G изоморфна группе, порожденной двумя элементами х и у такими, что порядок (х) = p1h1 ... prhr, mn и порядок (у) = p1g1 ... prgr, где h = max(е, f) и g = min(e, f) для всех i = 1,...,r.