Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

• Название: Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0730-4

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса. Их исследования объединила теория групп.

---

121

ЛЕВИ-СТРОСС: Я помню, как впервые прикоснулся к этой новой музыке.

С малых лет родители по воскресеньям водили меня в оперу Гарнье и другие концертные залы. Не забывайте, моим прадедом по материнской линии был скрипач Исаак Стросс (Штраусс), который работал с Оффенбахом и был знаком с Россини.

Дух прадеда сохранился в нашей семье, но история моего знакомства с музыкой окончилась произведениями Вагнера. Я открыл для себя Шёнберга, Альбана Берга, Антона Веберна и испытал подлинную страсть к звукам, которые услышал в первый раз. Кажется, я так и не смог привыкнуть к их творчеству. Не говоря уже о сериалистах, например о Лучано Берио, которые выступают за равноправие не только частот звуков, но и их длительности, тембра и любых других измеримых параметров.

Это направление разочаровало меня и совершенно сбило с толку, поскольку некоторые голоса «Симфонии» выкрикивали тексты из моей книги «Сырое и приготовленное». Но я допускаю, что перестать быть человеком XIX века не так-то просто.

ВЕЙЛЬ: Я не удивлен, что эта музыка показалась вам принципиально новой, так как многие шедевры додекафонической музыки написаны на основе латинского квадрата. Вы уже знаете, что латинский квадрат — всего лишь таблица, в которой определенное множество символов (в нашем случае — 12 нот) записано так, что в каждой строке и в каждом столбце содержатся все символы множества. На первом шаге выбирается последовательность, состоящая из 12 нот, на основе которой по установленным правилам строится латинский квадрат. Следовательно, существует столько же «руководств по музыкальной композиции», сколько и упорядоченных последовательностей нот до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез и си, всего 479001600 последовательностей.

ЛЕВИ-СТРОСС: Это меньше, чем «Сто тысяч миллиардов стихотворений» Кено.

ВЕЙЛЬ: Однако это число достаточно велико, чтобы композиторы могли попрежнему испытывать иллюзию свободы творчества, не правда ли? Как я уже говорил, суть метода заключается в том, чтобы упорядочить 12 нот, например следующим образом:

ми — соль — фа-диез — ля — соль-диез — до — фа — ре — ре-диез —

— до-диез — си — ля-диез.

В ключе соль эта последовательность записывается так:

122

ми соль фа-диез ля соль-диез до фа ре ре-диез до-диез си ля-диез

а в ключе фа — следующим образом:

ми соль фа-диез ля соль-диез до фа ре ре-диез до-диез си ля-диез

Следовательно, первая строка таблицы будет выглядеть так:

ми | соль | фа-диез | ля | соль-диез | до | фа | ре | ре-диез | до-диез | си | ля-диез

Первую строку таблицы можно записать и по-другому, определив место каждой ноты в «группе часов». При выполнении операций, позволяющих построить весь латинский квадрат на основе первой строки, крайне полезно сопоставить «полдень» «группы часов» первой выбранной нами ноте, то есть сделать ноту ми нейтральным элементом группы.

Следовательно, повернем «часы» так, чтобы нота ми заняла положение, которое обычно занимает нота до, после чего скопируем числа последовательности.

123

Напомню, что мы записали числа в квадратных скобках, чтобы указать: [3] обозначает не только число 3, но и все числа, которые можно получить, прибавив или отняв 12: 3, 15, 27,—9,—21. Таким образом, первую строку нашего латинского квадрата можно записать в следующем виде:

[0] | [3] | [2] | [5] | [4] | [8] | [1] | [10] | [11] | [9] | [7] | [6]

ЛЕВИ-СТРОСС: Понятно. Каким будет второй шаг?

ВЕЙЛЬ: После того как мы получили основную последовательность, заполним первый столбец таблицы, применив инверсию. Любые две ноты первой строки разделены некоторым интервалом. Инверсия заключается в том, чтобы воспроизвести те же самые интервалы в противоположном направлении. К примеру, ми и соль разделены тремя восходящими полутонами (ми — фа — фа-диез — соль), следовательно, инверсия этого интервала заключается в том, чтобы отсчитать три полутона вниз: ми — ре-диез — ре — до-диез. Получается, во второй клетке первого столбца запишем: до-диез. Другой пример: соль и фа-диез разделены восходящим полутоном, следовательно, нужно подняться на один полутон от ноты до-диез, которую мы только что получили. В результате имеем ноту ре. Выполнив аналогичные действия, получим первый столбец:

ми — до-диез — ре — си — до — соль-диез — ре-диез — фа-диез — фа —

соль — ля — ля-диез.

Теперь, господин Леви-Стросс, скажите мне, что означает слово «обратный» применительно к теории групп?

ЛЕВИ-СТРОСС: Элемент группы называется обратным другому, если результат операции над этими элементами — нейтральный элемент.

ВЕЙЛЬ: Именно! Я хочу показать, что обращение интервалов — это всего лишь особый способ, позволяющий найти обратные элементы «группы часов». Рассмотрим первый случай: нота соль соответствует элементу [3]. Какой элемент будет обратным для [3]? Велик соблазн сказать, что этим элементом будет [—3], но мы рассматриваем только положительные числа, поэтому к исходному элементу нужно прибавить 12. Получим [9], который действительно будет обратным [3], так как

[3] + [9] = [12] = [0],

то есть нейтральному элементу. А какая нота соответствует [9]?

Это нота до-диез — та же самая нота, которую мы вычислили методом обращения!

Если я не убедил вас, перейдем к следующей клетке квадрата. Ноте фа-диез соответствует элемент [2],

124

обратным ему является [10], так как [2] + [10] = [12] = [0].

А какой ноте соответствует [10]? Ноте ре! Следовательно, первый столбец нашего «руководства по музыкальной композиции» содержит элементы, обратные элементам основной последовательности, записанной в первой строке:

[0] [9] [10] [7] [8] [4] [11] [2] [1] [3] [5] [6].

ЛЕВИ-СТРОСС: Отлично, мы получили одну строку и один столбец. Мне кажется, я понял, как составить всю таблицу.

Теперь мы можем вычислить интервал, отделяющий ми от каждой ноты в столбце, и транспонировать первую строку так, чтобы структура мелодии не изменилась. Ми отделяют от до-диез девять полутонов. Прибавим этот интервал к каждой из нот в исходной последовательности:

до-диез | ми | ре-диез | фа-диез | фа | ля | ре | си | до | ля-диез | соль-диез | соль

ВЕЙЛЬ: Именно! А чтобы выполнить эту транспозицию, можно повернуть додекафонический круг на девять полутонов или же прибавить [9] к элементам первой строки. Вторая строка латинского квадрата будет выглядеть так:

[9] | [0] | [11] | [2] | [1] | [5] | [10] | [7] | [8] | [6] | [4] | [3]

Выполним аналогичные действия для десяти оставшихся строк.

ми

соль

фа-диез

ля

соль-диез

до

фа

ре

ре-диез

до-диез

си

ля-диез

до-диез

ми

ре-диез

фа-диез

фа

ля

ре

си

до

ля-диез

соль-диез

соль

ре

фа

ми

соль

фа-диез

ля-диез

ре-диез

до

до-диез

си

ля

соль-диез

си

ре

до-диез

ми

ре-диез

соль

до

ля

ля-диез

соль-диез

фа-диез

фа

до

ре-диез

ре

фа

ми

соль-диез

до-диез

ля-диез

си

ля

соль

фа-диез

соль-диез

си

ля-диез

до-диез

до

ми

ля

фа-диез

соль

фа

ре-диез

ре

ре-диез

фа-диез

фа

соль-диез

соль

си

ми

до-диез

ре

до

ля-диез

ля

фа-диез

ля

соль-диез

си

ля-диез

ре

соль

ми

фа

ре-диез

до-диез

до

фа

соль-диез

соль

ля-диез

ля

до-диез

фа-диез

ре-диез

ми

ре

до

си

соль

ля-диез

ля

до

си

ре-диез

соль-диез

фа

фа-диез

ми

ре

до-диез

ля

до

си

ре

до-диез

фа

ля-диез

соль

соль-диез

фа-диез

ми

ре-диез

ля-диез

до-диез

до

ре-диез