Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

• Название: Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0730-4

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса. Их исследования объединила теория групп.

---

Октава на клавиатуре пианино.

ВЕЙЛЬ: Интервалу в одну октаву соответствует удвоение частоты, следовательно, отношение f13 к f1 равно 2. Обратите внимание, что мы также можем записать

112

отношение f13 к f1 через все промежуточные частоты так, что частоты, записанные в знаменателе и числителе, последовательно сократятся:

f13 / f1 = f13 / f12 · f12 / f11 · ... · f3 / f2 · f2 / f1

В равномерно темперированном строе все множители в приведенном выше произведении равны одной и той же величине (обозначим ее через d). Следовательно, отношение f13 к f1 равно 2, а также равно числу d, умноженному само на себя 12 раз.

Таким образом, получим уравнение d12 = 2. С помощью этого уравнения для любой данной частоты мы всегда можем вычислить частоту следующей ноты, умножив ее на корень 12-й степени из 2, который равен примерно 1,05946. К примеру, если частота ноты ля, как мы уже говорили, равна 440 Гц, то частота ноты си (на две клавиши «выше») будет равна примерно 494 Гц, а частота ноты соль (на две клавиши «ниже») — около 392 Гц.

до - 261,63

до-диез - 277,18

ре - 293,66

ре-диез - 311,13

ми - 329,63

фа - 349,23

фа-диез - 369,99

соль - 392

соль-диез - 415,30

ля - 440

ля-диез - 466,16

си - 493,88

Таблица частот для основных нот пианино.

ЛЕВИ-СТРОСС: Получается, частота ноты ля в 440 Гц выбрана по договоренности, а частоты всех остальных нот определяются однозначно.

ВЕЙЛЬ: Да, но при условии, что октава делится на 12 нот так, что соотношение между частотами соседних нот всегда будет неизменным. Таковы основные предпосылки равномерно темперированного строя. Впрочем, инструменты в оркестрах не всегда настраиваются точно так, как мы объяснили. Кроме того, музыкальный строй в современной музыке серьезно отличается, не говоря уже о музыке других культур, где используются совершенно иные системы. В индийской музыке, к примеру, равномерно темперированного строя нет.

ЛЕВИ-СТРОСС: Мне стыдно признаться, но я почти не интересовался так называемой этнографической музыкой. В моих экспедициях в Бразилии мне довелось услышать несколько удивительных мелодий, сегодня забытых.

113

Мне помнится, что в звуках флейт индейцев намбиквара я различил мелодию «Действа старцев — человечьих праотцов» из «Весны священной» Стравинского. В поездке я потратил много сил на то, чтобы как можно точнее записать услышанную музыку, насколько мне позволяли знания. По возвращении во Францию мой знакомый пианист помог мне улучшить партитуры и исполнил их. Так я смог выбрать те мелодии, что точнее всего осели в моей памяти. Знаете, что произошло потом? Редактор, ответственный за публикацию партитур, забыл их в такси. Возможно, именно из-за этого случая я вновь всерьез принялся за изучение музыки лишь 30 лет спустя, хотя редкие дни моей жизни не сопровождались произведениями Равеля, Дебюсси или Шопена.

Один из их этюдов особенно помог мне избавиться от тоски, охватившей меня в джунглях. Музыка стала путеводной нитью моих «Мифологик». Сперва я думал, что музыка поможет организовать сложный материал со множеством вариаций одной и той же темы. Все мы поступаем так же — даже вы, господин Вейль, в своих записках не обошли музыку стороной. Последняя глава — это балет-буфф с прелюдией, фугой и интермеццо. Впрочем, я вскоре обнаружил еще одну, более глубокую причину: когда просветительскую функцию древних мифов взяли на себя романы, музыка пришла на смену агонизирующей мифологии. Должно быть, именно эта мысль сыграла ключевую роль в создании тетралогии «Кольцо Нибелунгов» Вагнера.

ВЕЙЛЬ: Вернемся к теме нашего разговора. Позвольте напомнить: только что вы сами сказали, что если мы отсчитаем 13 клавиш от данной ноты, то получим прежнюю ноту, но на октаву выше. Октава делится на 12 частей. Благодаря этому принципу теория групп может сыграть интересную роль в изучении музыкальной гармонии. На самом деле мы используем одну и ту же ноту, например ля, для обозначения разных звуков, отстоящих друг от друга на одну октаву.

Не будем далеко ходить за примером — на клавиатуре пианино восемь разных ля, и, по сути, мы могли бы сдвигать их на одну октаву выше и ниже до бесконечности, если бы человеческие уши различали неограниченный диапазон частот. Согласно приведенным выше вычислениям, будем называть нотой ля все ноты с частотой 33, 110, 220, 440, 880, 1760 Гц и так далее. Эта ситуация вовсе не нова — вспомните, когда я рассказывал о группе часов, то объяснил, что при взгляде на циферблат мы никак не можем различить шесть утра, шесть вечера, шесть утра следующего дня и шесть вечера предыдущего дня. Одна октава вверх — двенадцать часов вперед. Одна октава вниз — двенадцать часов назад. Нет никакой разницы! Поэтому очень удобно представить клавиатуру пианино в виде так называемого додекафонического круга.

114

ЛЕВИ-СТРОСС: Интервал, отделяющий каждую ноту круга от соседней, называется полутоном. Как и следовало ожидать, два полутона образуют тон, а три полутона — так называемую малую терцию. Более того, в классической музыке свое название имеет каждый интервал.

3 - Малая терция

4 - Большая терция

5 - Чистая кварта

6 - Тритон

7 - Чистая квинта

8 - Малая секста

9 - Большая секста

10 - Малая септима

11 - Большая септима

12 - Чистая октава

Обратите внимание, что квинта состоит из семи полутонов, а им соответствуют ровно восемь клавиш пианино, которые мы отсчитывали от данной ноты.

ВЕЙЛЬ: Как вам известно, транспонирование мелодии заключается в прибавлении (или вычитании) фиксированного числа полутонов к каждой ноте. Допустим, что по какой-то причине нам нужно повысить на одну квинту три ноты, которые повторяются в первых тактах «Лунной сонаты» Бетховена.

Первые ноты «Лунной сонаты« Бетховена.

115

Это ноты соль-диез, до-диез и ми. Прибавив к ним семь полутонов, получим ре-диез, соль-диез и си. Произвести нужные расчеты на пальцах несложно, но представьте, что вам нужно транспонировать всю сонату целиком! Здесь крайне полезной окажется модель, основанная на теории групп. Чтобы транспонировать всю сонату, достаточно повернуть додекафонический круг на семь полутонов против часовой стрелки. Что скажете?

Транспонирование на одну квинту.

Записав внутри круга исходные ноты, мы получим искомое соответствие, которое поможет нам транспонировать мелодию без особого труда. Посмотрите, как просто транспонировать этим способом прекрасный лейтмотив «Паваны» Габриэля Форе:

Применив новый метод, мы в мгновение ока преобразуем исходную последовательность нот

фа-диез — соль-диез — ля — си — ля — соль-диез — ля — фа-диез — соль-диез — ля — соль-диез — фа-диез — соль-диез — ми — фа-диез — фа — до-диез

в последовательность

116

до-диез — ре-диез — ми — фа-диез — ми — ре-диез — ми — до-диез — ре-диез — ми — ре-диез — до-диез — ре-диез — си — до-диез — до — соль-диез.

ЛЕВИ-СТРОСС: Впечатляюще, господин Вейль! Однако мне не дает покоя один вопрос. Сначала мы сказали, что восприятие мелодии не изменится, если мы умножим частоты всех нот на некий общий множитель, а теперь мы прибавляем к нотам полутона. Быть может, эти две операции совпадают?

ВЕЙЛЬ: Прекрасный вопрос. Действительно, в начале разговора мы указали, что отношение частот двух последовательных нот неизменно. Именно благодаря этому мы смогли записать таблицу частот начиная с ноты ля. Обратите внимание, что разность двух последовательных частот вовсе не постоянна. Разница частот нот до и до-диез равна 277,18 — 261,63 = 13,55 Гц, а разница между частотами нот ля-диез и си равна 493,88 — 466,16 = 27,72 Гц — почти в два раза больше! Чтобы преобразовать произведения в суммы, а отношения — в разности, нужно использовать логарифмы. По всей видимости, первым важность логарифмов в музыкальных расчетах понял Исаак Ньютон. Позвольте мне вкратце напомнить вам, что такое логарифм — возможно, в последний раз вам объясняли это почти сто лет назад.

Для двух положительных чисел а и b логарифмом а по основанию b (обозначается logb(a)) называется степень, в которую нужно возвести b, чтобы получить а.

Иными словами, с — логарифм а по основанию b, если числа а, b и с удовлетворяют соотношению bc = а. К примеру, известно, что log2(4) = 2, log2(8) = 3, так как 22 = 4, а 23 = 8. Вычислить логарифмы не всегда так легко. Нужно понимать, что логарифм преобразует частное в разность:

logb(x/y) = logb(x) - logb(y)

Продолжим рассматривать наш пример. Если основание логарифма равно b = 2, х = 8 и у = 4, то их частное равнялось бы 2, следовательно, левая часть выражения была бы равна log2(2) = 1. С другой стороны, мы уже знаем, что log2(8) = 3, log2(4) = 2.