Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

• Название: Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.
• Автор: Хавьер Фресан
• Издательство: «Де Агостини»
• Жанр: Математика
• Год: 2014
• ISBN: 978-5-9774-0730-4

В 1881 году французский ученый Анри Пуанкаре писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью утверждать, что это высказывание справедливо по отношению к разным областям знаний: например, теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, гармонию в музыке, системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций, и многое другое. Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Из этой книги читатель узнает об истории сотрудничества (изложенной в форме диалога) двух известных ученых — математика Андре Вейля и антрополога Клода Леви-Стросса. Их исследования объединила теория групп.

---

ЛЕВИ-СТРОСС: Это та книга, которая начинается с китайской каллиграммы?

ВЕЙЛЬ: Она самая! Я попросил моего коллегу, математика Шиинг-Шена Черна написать его прекрасным каллиграфическим стилем китайскую пословицу «Старый конь знает дорогу». Поэтому на следующей странице приведена фотография барельефа с гробницы императора Тай-цзуна с изображением коня. Я счел, что эта пословица прекрасно отражает мое решение заняться историей математики, так как с возрастом мне все сложнее было вести активную исследовательскую работу. Вы не представляете, сколько математиков в последние годы жизни пали духом из-за того, что утратили прежнюю остроту ума. Я не хотел разделить их участь и стал историком. Ну вот, я заговорил о старости. Миф, связывающий математику с юностью, правдив лишь отчасти: в самом деле, некоторые математики, прожив очень короткую жизнь, навсегда оставили след в истории, однако нельзя в точности сказать, в каком возрасте угасают творческие способности. Харди в своей «Апологии математика» называет возраст в 35 лет — не потому ли, что в этом возрасте он счел,

21

Китайская пословица «Старый конь знает дорогу».

будто уже никогда не сможет доказать новых теорем? Не будем далеко ходить за примером: я сам создал лучшие из своих трудов после 35.

ЛЕВИ-СТРОСС: Тем не менее «пенсионный возраст» для членов группы Бурбаки был четко определен.

ВЕЙЛЬ: А за тем, чтобы он неукоснительно соблюдался, следил я! Не помню, когда именно мы решили, что возраст членов группы не может превышать 50 лет.

Преемственность поколений стала одной из причин успеха Бурбаки: лучшие студенты из каждого выпуска присоединялись к группе на правах подопытных кроликов,

22

и многие из них позднее становились полноправными членами коллектива. Между ними и нами существовала огромная разница: нас обучали математике по-старому, а они были первыми, кто изучил математику по-новому; они были нашими учениками. Мне кажется, французская математика второй половины XX века не знала бы таких успехов без этой плеяды студентов, работавших над общими темами при подготовке книги.

ЛЕВИ-СТРОСС: Возможно, никто не ожидал, что в 50 лет умрет и сам Бурбаки.

ВЕЙЛЬ: На самом деле это неудивительно. Наше видение математики намного лучше соответствовало дисциплинам, проверенным временем, а не тем, что находились в процессе развития. Я мог бы дать структуре формальное определение, но чтобы вы лучше меня поняли, я воспользуюсь метафорой из мира архитектуры.

Между прочим, одна из самых известных книг Бурбаки носит название «Архитектура математики». Структура — это форма, количество и взаимное положение различных частей здания, связанных между собой соединительными элементами, которые обеспечивают прочность конструкции. Структура есть нечто абстрактное: к примеру, функция арки не зависит от того, из какого материала сделан ее свод.

Структуры в математике позволяют одновременно изучать все объекты с одинаковыми свойствами — структура учитывает не их природу, а отношения между ними.

Два объекта, внешне весьма различные, могут быть воплощениями одного и того же архетипа: если мы отбросим все излишества, останется структура, нечто инертное и неизменное. Мы, члены группы Бурбаки, решили описать все структуры с помощью теории множеств, однако, быть может, настало время переформулировать исходный вопрос, на который мы стремились найти ответ. Быть может, следовало задуматься над вопросом: существует ли математика по-прежнему как единое целое?

23

Глава 2 Элементарные структуры

Подобно математике и музыке, этнография — одно из немногих подлинных занятий. Вы можете открыть ее сами, даже если никто не обучал вас ей.

Леви-Стросс, «Печальные тропики»

ВЕЙЛЬ: Господин Леви-Стросс, должен признаться, меня удивляет, что такой умный человек, как вы, изучал философию.

ЛЕВИ-СТРОСС: Боюсь, то были ошибки молодости. Впрочем, я вскоре оставил философию и занялся этнологией. Вы же с годами стали философом. Или вы уже забыли о своей статье «От метафизики к математике»?

ВЕЙЛЬ: Я бы назвал ее «историей идей». Если бы вы прочли ее, то узнали бы, что математики XVIII века называли метафизикой ряд нечетких аналогий, которые не могли определить точно, но тем не менее применяли в своих исследованиях. Мне не кажется, что это большой комплимент в адрес философии.

ЛЕВИ-СТРОСС: Называйте ее как хотите, господин Вейль. В любом случае, я пришел к философии потому, что с детства был открыт разнообразию мира. Если у всех еврейских семей и есть какая-то отличительная черта (мы оба прекрасно это знаем), то это преклонение перед культурой, активная интеллектуальная деятельность, которая не пропадает даже тогда, когда забыты все религиозные обряды. Евреи не только становились «торговцами или раввинами», как гласит поговорка,— никакой торговец не хотел, чтобы все дети унаследовали его дело и никто из них не проявил себя в учении. Когда мне нужно было определить дальнейший жизненный путь, меня интересовало слишком многое: я разрывался между живописью, музыкой и изучением древностей. Но мой отец был художником, и я на себе ощутил все финансовые трудности, с которыми может быть связано это занятие. А чтобы стать музыкантом, я был недостаточно талантлив, хотя не отказался бы дирижировать оркестром. Я подумал, что если стану изучать философию, а не какую-то другую науку, то не слишком отдалюсь от своих любимых занятий.

ВЕЙЛЬ: Вы забыли о политике.

25

ЛЕВИ-СТРОСС: Разумеется! В те годы я был очень воинственным, и политика мне по-настоящему нравилась. Я со смехом вспоминаю, как долгое время мечтал стать новым философом социализма! Все началось во время каникул, когда я познакомился с Артуром Ваутерсом, который позднее стал послом Бельгии в СССР.

Именно он заставил меня прочитать Маркса и познакомил с руководителями бельгийской социалистической партии, которые ввели меня в курс дела во всех ячейках и отделениях партии. Вернувшись в Париж, я постепенно начал путь к высоким постам во Французской секции рабочего интернационала — сперва я стал членом небольших комитетов, затем — представителем студентов-социалистов. Я даже был кандидатом во Французскую секцию рабочего интернационала на выборах, но моя предвыборная кампания продлилась всего несколько часов: мы отправились в путь на Citroёn 5 CV, хотя у меня тогда еще не было прав и я впервые в жизни сел за руль. Я подал не лучший пример...

ВЕЙЛЬ: Если бы не авария, возможно, вы стали бы членом партии. Я не понимаю, почему вы, запомнившись такими поступками в юности, позднее не подписали «Манифест 121-го» против войны в Алжире.

ЛЕВИ-СТРОСС: Если бы мне было 20 лет, я бы сам обошел людей и собрал подписи. Мне помнится, когда началась война, я был с головой погружен в работу над «Печальными тропиками». Сначала я подписал письмо, которое было опубликовано в газете L’Express в ноябре 1955-го. В письме мы требовали создать специальный комитет для сохранения мира в Алжире.

Несколько лет спустя меня попросили поддержать манифест, который позднее стал называться «Манифестом 121-го», хотя среди подписавшихся уже были многие видные имена — Сартр, Симона де Бовуар и другие. Дело в том, что известность, которой хотели воспользоваться авторы манифеста, пришла ко мне после публикации научных работ по этнологии, а нет ничего более далекого друг от друга, чем наука и политика.

При анализе данных о туземцах я чувствовал, что не мог написать ни единого слова, которое не было бы истинным или по крайней мере четко обоснованным. Девиз «истина превыше всего» противоречил политике тех лет, и я счел, что лучше всего смогу разрешить противоречия, которые к тому времени раздирали меня изнутри, если отдалюсь от политики. А как вы боролись против войны?

ВЕЙЛЬ: Не верю, что вы меня об этом спрашиваете, господин Леви-Стросс!

Разве вы забыли историю? В 1939 году я официально числился в резерве и решил дезертировать, если меня мобилизуют. То лето я провел с женой Эвелиной в Финляндии. Мы жили на берегу озера рядом с русской границей и проводили все дни за работой на лодке: я готовил статью для группы Бурбаки, а Эвелина упражнялась

26

в стенографии. Неудивительно, что хозяева нашего домика сочли меня шпионом, и на меня завели досье в комиссариате Хельсинки. Об этом я узнал лишь тогда, когда русские начали бомбить финскую столицу. Я был задержан, и у меня нашли подозрительные приглашения на свадьбу дочери Бурбаки. Меня вполне могли расстрелять. Рольф Неванлинна двадцать лет спустя рассказал, как было дело: на ужине, куда он был приглашен как полковник резерва, к нему подошел начальник полиции и заявил: «Завтра мы расстреляем шпиона, который заявил, что знаком с вами». Узнав, что речь шла обо мне, Неванлинна уговорил начальника полиции смягчить наказание и выслать меня из страны.